2021届上海市静安区高三4月教学质量检测(二模)(文理)数学试题
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【详解】
： ，
（舍 或 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查指数方程的求解，解题时要认真审题，注意有理数指数幂运算性质的合理运用及整体换元．
4．
【分析】
利用复数的运算法则，巧用共轭复数即可得出答案．
（1）问游轮自码头A沿 方向开往码头B共需多少分钟？
（2）海中有一处景点P（设点P在 平面内， ，且 ），游轮无法靠近，求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标.
34．已知函数 ，若在区间 内有且只有一个实数 ，使得 成立，则称函数 在区间 内具有唯一零点.
（1）判断函数 在区间 内是否具有唯一零点，说明理由：
21．已知数列 满足 ， ， ，则数列 的前 项和 的最大值为______.
22．设关于 的实系数不等式 对任意 恒成立，则 _______.
二、单选题
23．（文） 的展开式中 的系数为（）
A．1B．4C．6D．12
24．下列不等式一定成立的是（）
A．lg(x2＋ )>lgx(x>0)B．sinx＋ ≥2(x≠kπ，k∈Z)
9．抛物线 上的一点到焦点的距离为1，则点 的纵坐标为_________.
10．设函数 ，则不等式 的解集为．
11．（理）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为__________.
12．关于的函数 的最大值记为 ，则 的解析式为__________.
36．（理）已知数列 满足 （ ），首项 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ， 是△ABC的内角，若 对于任意 恒成立，求角 的取值范围．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
求出集合 ，然后求解集合的补集即可．
【详解】
全集 ，集合 ，
则集合 的补集 ．
（2）已知向量 ， ， ，证明 在区间 内具有唯一零点.
（3）若函数 在区间 内具有唯一零点，求实数 的取值范围.
35．(文)已知各项为正的数列 是等比数列，且 ， ；数列 满足：对于任意 ，有 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的通项公式；
（3）在数列 的任意相邻两项 与 之间插入 个 （ ）后，得到一个新的数列 .求数列 的前2016项之和.
A．1B．－1C．2D．－2
28．已知实数 满足 则 的最大值为（）
A．9B．17C．5D．15
29．（理）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为，则E等于（）
A．4B．4.5C．4.75D．5
三、解答题
30．（文）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）.
17．已知 外接圆 的半径为2，且 ， ，则 ______.
18．已知不等式组 表示的平面区域为M，若直线 分平面区域M为面积相等的两部分，则实数 的值为________．
19．如图所示，以过原点的直线的倾斜角 为参数，则圆 的参数方程为____.
20．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 和 ，则复数 为实数的概率为．
故答案为： ， ， ．
【点睛】
本题考查集合的补集、一元二次不等式求解，考查运算求解能力．
2．
【分析】
化简 ，再进行极限运算，从而求得答案．
【详解】
因ห้องสมุดไป่ตู้ ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查极限的求法，关键在于分子分母同时除以 ，属于基础题．
3．
【分析】
由方程看成关于 的二次方程，解得 （舍 或 ，从而得到方程的解．
2021年上海市静安区高三4月教学质量检测（二模）（文理）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（文）已知全集 ，集合 ，则集合 的补集 ________.
2．（理）计算： _________.
3．（文）指数方程 的解是__________.
求：正六棱锥P—ABCDEF的体积和侧面积．
31．（理）已知 分别是椭圆 （其中 ）的左、右焦点，椭圆 过点 且与抛物线 有一个公共的焦点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆 的右焦点且斜率为1的直线 与椭圆交于 、 两点，求线段 的长度．
32．设点 分别是棱长为2的正方体 的棱 的中点．如图，以 为坐标原点，射线 、 、 分别是 轴、 轴、 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
（1）求向量 与 的数量积；
（2）若点 分别是线段 与线段 上的点，问是否存在直线 ， 平面 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
33．如图，A、B是海岸线OM、ON上两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为 、 ，测得 ， ，以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，一艘游轮以 小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线BB经过点Q）.
4．（理）设复数 满足 （ 为虚数单位），则 _________.
5．（文）已知无穷等比数列 的首项 ，公比 ，则无穷等比数列 各项的和是__________.
6．坐标原点和点 在直线 的两侧，则实数 的取值范围是______.
7．函数 的递增区间为__________
8．算法流程图如图所示，则输出的 值是__________.
C． D． >1(x∈R)
25．（文）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积 ，∠A的弧度数为（）
A． B． C． D．
26．（理）在极坐标系中,圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
27．若函数 为奇函数，且g（x）= f（x）＋2，若f（1）=1，则g（－1）的值为：（）
13．（文）如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若 ，则该几何体的体积等于________．
14．如图，正四棱锥 的底面一边 的长为 ，侧面积为 ，则它的体积为___．
15．圆心在直线 上的圆C与 轴交于两点 ， ，则圆C的方程为______．
16．（理）已知双曲线 的渐近线与圆 没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为_____.
： ，
（舍 或 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查指数方程的求解，解题时要认真审题，注意有理数指数幂运算性质的合理运用及整体换元．
4．
【分析】
利用复数的运算法则，巧用共轭复数即可得出答案．
（1）问游轮自码头A沿 方向开往码头B共需多少分钟？
（2）海中有一处景点P（设点P在 平面内， ，且 ），游轮无法靠近，求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标.
34．已知函数 ，若在区间 内有且只有一个实数 ，使得 成立，则称函数 在区间 内具有唯一零点.
（1）判断函数 在区间 内是否具有唯一零点，说明理由：
21．已知数列 满足 ， ， ，则数列 的前 项和 的最大值为______.
22．设关于 的实系数不等式 对任意 恒成立，则 _______.
二、单选题
23．（文） 的展开式中 的系数为（）
A．1B．4C．6D．12
24．下列不等式一定成立的是（）
A．lg(x2＋ )>lgx(x>0)B．sinx＋ ≥2(x≠kπ，k∈Z)
9．抛物线 上的一点到焦点的距离为1，则点 的纵坐标为_________.
10．设函数 ，则不等式 的解集为．
11．（理）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为__________.
12．关于的函数 的最大值记为 ，则 的解析式为__________.
36．（理）已知数列 满足 （ ），首项 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ， 是△ABC的内角，若 对于任意 恒成立，求角 的取值范围．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
求出集合 ，然后求解集合的补集即可．
【详解】
全集 ，集合 ，
则集合 的补集 ．
（2）已知向量 ， ， ，证明 在区间 内具有唯一零点.
（3）若函数 在区间 内具有唯一零点，求实数 的取值范围.
35．(文)已知各项为正的数列 是等比数列，且 ， ；数列 满足：对于任意 ，有 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的通项公式；
（3）在数列 的任意相邻两项 与 之间插入 个 （ ）后，得到一个新的数列 .求数列 的前2016项之和.
A．1B．－1C．2D．－2
28．已知实数 满足 则 的最大值为（）
A．9B．17C．5D．15
29．（理）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为，则E等于（）
A．4B．4.5C．4.75D．5
三、解答题
30．（文）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）.
17．已知 外接圆 的半径为2，且 ， ，则 ______.
18．已知不等式组 表示的平面区域为M，若直线 分平面区域M为面积相等的两部分，则实数 的值为________．
19．如图所示，以过原点的直线的倾斜角 为参数，则圆 的参数方程为____.
20．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 和 ，则复数 为实数的概率为．
故答案为： ， ， ．
【点睛】
本题考查集合的补集、一元二次不等式求解，考查运算求解能力．
2．
【分析】
化简 ，再进行极限运算，从而求得答案．
【详解】
因ห้องสมุดไป่ตู้ ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查极限的求法，关键在于分子分母同时除以 ，属于基础题．
3．
【分析】
由方程看成关于 的二次方程，解得 （舍 或 ，从而得到方程的解．
2021年上海市静安区高三4月教学质量检测（二模）（文理）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（文）已知全集 ，集合 ，则集合 的补集 ________.
2．（理）计算： _________.
3．（文）指数方程 的解是__________.
求：正六棱锥P—ABCDEF的体积和侧面积．
31．（理）已知 分别是椭圆 （其中 ）的左、右焦点，椭圆 过点 且与抛物线 有一个公共的焦点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆 的右焦点且斜率为1的直线 与椭圆交于 、 两点，求线段 的长度．
32．设点 分别是棱长为2的正方体 的棱 的中点．如图，以 为坐标原点，射线 、 、 分别是 轴、 轴、 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
（1）求向量 与 的数量积；
（2）若点 分别是线段 与线段 上的点，问是否存在直线 ， 平面 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
33．如图，A、B是海岸线OM、ON上两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为 、 ，测得 ， ，以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，一艘游轮以 小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线BB经过点Q）.
4．（理）设复数 满足 （ 为虚数单位），则 _________.
5．（文）已知无穷等比数列 的首项 ，公比 ，则无穷等比数列 各项的和是__________.
6．坐标原点和点 在直线 的两侧，则实数 的取值范围是______.
7．函数 的递增区间为__________
8．算法流程图如图所示，则输出的 值是__________.
C． D． >1(x∈R)
25．（文）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积 ，∠A的弧度数为（）
A． B． C． D．
26．（理）在极坐标系中,圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
27．若函数 为奇函数，且g（x）= f（x）＋2，若f（1）=1，则g（－1）的值为：（）
13．（文）如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若 ，则该几何体的体积等于________．
14．如图，正四棱锥 的底面一边 的长为 ，侧面积为 ，则它的体积为___．
15．圆心在直线 上的圆C与 轴交于两点 ， ，则圆C的方程为______．
16．（理）已知双曲线 的渐近线与圆 没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为_____.