江苏省南通市启东中学2019_2020学年高一数学上学期第一次月考试题(含解析)

江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试
题（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.若1∈{x ，x 2
}，则x =（ ） A. 1
B. 1-
C. 0或1
D. 0或1或
1-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果 【详解】根据题意，若1∈{x ，x 2}，则必有x =1或x 2=1， 进而分类讨论：
①、当x =1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去， ②、当x 2
=1，解可得x =-1或x =1（舍）， 当x =-1时，x 2
=1，符合题意， 综合可得，x =-1， 故选B ．
【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.
2.已知集合{|1}P x y x ==+，集合{|1}Q y y x ==+，则P 与Q 的关系是（ ）
A. P Q =
B. P Q ⊆
C. P Q ⊇
D. P Q φ⋂=
【答案】C 【解析】
试题分析：因为集合
代表的是函数的定义域，
代表函数的值域，
，
.所以
，故选C.
考点：集合的包含关系.
3.已知集合A ={a -2，2a 2
+5a ，12}，-3∈A ，则a 的值为（ ） A. 1-
B. 32
-
C. 1或32
-
D. 1-或
32
- 【答案】B 【解析】 【分析】
根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果 【详解】∵-3∈A ∴-3=a -2或-3=2a 2+5a ∴a =-1或a =-
32
， ∴当a =-1时，a -2=-3，2a 2
+5a =-3，不符合集合中元素的互异性，故a =-1应舍去
当a =-32时，a -2=-7
2，2a 2+5a =-3，满足． ∴a =-32
．
故选B ．
【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.
4.如果集合S ={x |x =3n +1，n ∈N }，T ={x |x =3k -2，k ∈Z }，则（ ） A. S n T B. T S ⊆
C. S T =
D. S T ≠
【答案】A 【解析】 【分析】
先将两集合元素表示形式统一，再比较确定包含关系.
【详解】由T ={x |x =3k -2=3（k -1）+1，k ∈Z }={x |x =3（k -1）+1，k -1∈Z } 令t =k -1，则t ∈Z ，则T ={x |x =3t +1，t ∈Z } 通过对比S 、T ，且由常用数集N 与Z 可知N n Z
故S n T. 故选A ．
【点睛】本题考查集合间包含关系，考查基本分析判断能力，属基础题.
5.已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ）
A. 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. []1,4-
C. 1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D. []
5,5-
【答案】C 【解析】
∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−1
2
⩽x ⩽2，
即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，
本题选择C 选项.
6.函数()
f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）
A. ()0,4
B. [)0,4
C. []0,4
D. (]0,4
【答案】B 【解析】
【详解】试题分析：由题意可知210mx mx ++>恒成立，当0m =时10>恒成立；当0
m ≠时需满足0
m >⎧⎨∆<⎩，代入解不等式可得04m <<，综上可知实数m 的取值范围是[)0,4
考点：函数定义域
7.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪
⎝⎭
x 取值范围是（）
A. 12,
33⎛⎫
⎪⎝⎭
B. 1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
C. 12,23⎛⎫
⎪⎝⎭
D. 1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意可得1(21)()3f x f -<，再利用函数的单调性和奇偶性可得1
213
x -<，由此求得x 的取值范围，得到答案.
【详解】由题意，函数()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞上为单调递增函数，
又因为1
(21)()03f x f --<，即1(21)()3f x f -<，
所以1213x -<，即112133x -<-<，求得12
33
x <<，故选A.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用，其中根据函数的奇偶性和函数的单调性，把不等式转化为1
213
x -<求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
8.下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. ()3f x x =- B. 2
()3f x x x =- C. 1()1
f x x =-+ D. ()f x x =-
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意知A 和D 在（0，+∞）上为减函数；B 在（0，+∞）上先减后增；c 在（0，+∞）上为增函数，根据基本函数的性质判断即可.
【详解】观察函数∵f (x )=3−x 在(0,+∞)上为减函数，∴A 不正确； ∵2
()3f x x x =-是开口向上对称轴为3
2
x =的抛物线,所以它在(0,+∞)上先减后增，∴B 不正确；
()1
1
f x x =-
+Q 在()0,∞+上y 随x 的增大而增大，所它为增函数，∴C 正确；
∵f (x )=−|x |在(0,+∞)上y 随x 的增大而减小，所以它为减函数，∴D 不正确，故选C. 【点睛】一次函数的单调性由k 的正负确定。

二次函数的开口向上，在对称轴的左边递减，右边递增,开口向下，在对称轴的左边递增，右边递减,绝对值函数与二次函数的单调性判断方法一致.
9.已知函数2
()41f x x kx =+-在区间[]1,2上是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）
A. (,16][8,)-∞-⋃-+∞
B. [16,8]--
C.
,8][4,)-∞-⋃-+∞（ D. [8,4]--
【答案】A 【解析】
试题分析：对称轴位于区间两侧，即18k -≤或28
k
-≥，解得8k ≥-或16k ≤-. 考点：函数的单调性.
10.已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2,3⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
B. 2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
C. ()0,2
D. ()0,+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
利用函数y=f （x ）在定义域（﹣1，1）上是减函数，将f （2a ﹣1）＜f （1﹣a ）转化为：2a ﹣1＞1﹣a 求解．
【详解】函数y=f （x ）在定义域（﹣1，1）上是减函数，
则有：1211
111211a a a a --⎧⎪
--⎨⎪--⎩
＞＞＜＜＞，
解得：213
a ＜＜， 故选：B ．
【点睛】本题考查了函数的性质的运用，利用了减函数这性质，注意定义域的范围，属于基础题．
11.函数()2
x
f x = ） A. 0
B. 12
- C. 1-
D.
14- 【答案】C 【解析】 【分析】
t ，将函数化为二次函数形式，再根据二次函数性质求最值
t ,t ≥0，则x =t 2
-1, 解析式化为y =
()2
211111222
t t t --=--,t ≥0， 所以t =1时，原函数的最小值为-1. 故选C .
【点睛】本题考查二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
12.已知函数f （x ）（x∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2−2x −3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1
=m
i i x =∑
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
【答案】B 【解析】
试题分析：因为2
(),23y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称，所以它们图像的交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=；当m 为奇数时，其和为1
212
m m -⨯+=，因此选B.
【考点】 函数图像的对称性
【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2
a b
x +=
；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2
a b
+.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设集合M ={x |-1＜x ＜2}，N ={x |x -k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则k 的取值范围是______ ． 【答案】()1,-+∞ 【解析】 【分析】
根据交集的定义，结合数轴确定k 的取值范围.
【详解】∵集合M ={x |-1＜x ＜2}，N ={x |x -k ≤0}={x |x ≤k }， 且M ∩N ≠∅，
∴k 的取值范围是：(-1，+∞）． 故答案为(-1，+∞）．
【点睛】本题考查根据集合交集结果求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.若集合{}
25A x x =-≤≤，{}
121B x m x m =+≤≤-，且A B B =I ，则实数m 的取值范围是_________________。

【答案】3m ≤ 【解析】
【详解】由A B B ⋂=，可知B 是A 的子集. 当B =∅时，121m m +-＞，得2m ＜；
当B ≠∅时，有21,
215,12 1.m m m m -≤+⎧⎪
-≤⎨⎪+≤-⎩
解得23m ≤≤，所以3m ≤.
15.已知集合2
{|320,}A x ax x a R =-+=∈，若集合A 中只有一个元素，则实数a 的取值为______ ． 【答案】0或98
【解析】 【分析】
由题意，集合A 中只有一个元素，转化为方程2320ax x -+=只有一个解，分类讨论，即可得到答案．
【详解】因为集合2
A {x |ax 3x 20,x R,a R}=-+=∈∈有且只有一个元素， 当a 0=时，2ax 3x 20-+=只有一个解2x 3
=
， 当a 0≠时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，即98a 0=-=V 即9a 8
=． 所以实数a 0=或
9
8
． 【点睛】本题主要考查了集合中元素个数的判定与应用，其中根据题意把集合A 中只有一个元素，转化为方程2320ax x -+=只有一个解，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了转化思想，及分类讨论数学思想的应用．
16.已知函数()()2,(1)42,12x mx x f x m x x ⎧->⎪
=⎨⎛⎫
-+≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩是R 上的递增函数,则实数m 的取值范围是__________ 【答案】10m ≤- 【解析】
【详解】依题意,函数是R 上的递增函数，则2
12402412112m
m m m ⎧≤⎪
⎪
⎪
->⎨
⎪
⎪⎛⎫-⨯+≤-⨯ ⎪⎪⎝
⎭⎩，解得10m ≤-，
故答案为10m ≤-.
点睛：本题主要考查了一次函数，二次函数以及分段函数的单调性，基础性较强；要使分段函数在整个定义域内单调递增，必须满足1x =左侧的一次函数单调递增，在1x =右侧的二次函数单调递增，更重要的是左侧的最大值不大于右侧的最小值.
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17.求值：
（1）127(2)9-（-π）0
-2310(2)27
-+320.25-；
（2）已知0＜x ＜1，且x +x -1
=3，求11
22x x --． 【答案】（1）5
848
；（2）1- 【解析】 【分析】
（1）根据分数指数幂运算性质求解，（2）先平方得（11
22x x --）2=1，再根据范围取负值
【详解】（1）12729（）-（-π）0-2
310(2)27-+320.25-
-1-2364()27-+3
21
()4
-
=53-1-2
327()64+324
=
23-9
16+8 =8548
. （2）由题意：0＜x ＜1， ∴1
1
22x x --＜0
因为（1
1
22x x --）2=x +x -1-2=3-2=1． ∴（112
2x x
--）2=1,
故得11
22x x --=-1.
【点睛】本题考查分数指数幂运算，考查基本分析求解能力，属基础题.
18.设集合A={x|x 2
＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}． （1）求集合A∩B；
（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为A∪B，求a ，b 的值． 【答案】（1）{x |3x 2}-＜＜（2）2,24a b ==- 【解析】
【详解】试题分析：（1）先解不等式化简集合，画数轴分析可得A B I 。

（2）由不等式的解集可知方程等于0的两根，再由韦达定理可求,a b 的值。

试题解析：解：（1）因为2
A {x |x 9}{x |3x 3}==-＜＜＜，
B {x |x 2(4)0}{x |4x 2}x =-+=-（）＜＜＜．
A B {x |3x 3}{x |4x 2}{x |3x 2}∴⋂=-⋂-=-＜＜＜＜＜＜；
（2）A B {x |3x 3}{x |4x 2}{x |4x 3}⋃=-⋃-=-＜＜＜＜＜＜ 因为220x ax b ++<的解集为A B ⋃， 所以220x ax b ++<的解集为{x |4x 3}-＜＜， 所以 4和3为220x ax b ++<的两根，
故432432
a
b ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，
解得：2,24a b ==-．
考点：1集合的运算；2一元二次不等式。

19.已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0，a ∈R }，
（1）若A 只有一个元素，试求a 值，并求出这个元素； （2）若A 是空集，求a 的取值范围；
（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2）1a >；（3）0a =或1a ≥
【解析】
【
分析】
（1）根据方程为一次方程与二次方程分类讨论，对应求解得结果，（2）根据方程无解条件列不等式，解得结果，（3）A 中至多只有一个元素就是A 为空集，或有且只有一个元素，所以求
（1）（2）结果的并集即可. 【详解】（1）若A 中只有一个元素，则方程ax 2+2x +1=0有且只有一个实根， 当a =0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x =-12， 当a ≠0，此时△=4-4a =0，解得：a =1，此时x =-1， （2）若A 是空集，
则方程ax 2+2x +1=0无解，
此时△=4-4a ＜0，解得：a ＞1.
（3）若A 中至多只有一个元素，
则A 为空集，或有且只有一个元素，
由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a =0或a ≥1.
【点睛】本题考查方程的解与对应集合元素关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
20.近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总
成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16
x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）；
（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？
【答案】（Ⅰ）20.51212,016(){21210,16
x x x f x x x -+-≤≤=-> ;（Ⅱ）12 . 【解析】
试题分析：（1）先求得()P x ，再由()()()f x Q x P x =-，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.
试题解析：（1）由题意得()1210P x x =+
∴()()()20.51212,016{21210,16
x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> . （2）当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元
当016x ≤≤时，函数()()2
0.51260f x x =--+
当12x =时，()f x 有最大值60万元
所以当工厂生产12百台时，可使利润最大60万元 . 【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).
21.设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）．
（1）求f （0）；
（2）证明f （x ）是奇函数；
（3）解不等式12f （x 2）—f （x ）＞12
f （3x ）． 【答案】（1）0；（2）见解析；（3）{x|x&lt;0或x&gt;5}
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f （0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f （x ）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求
解不等211()()(3)22
f x f x f x ->的解集即可． 试题解析：（1）令0x y ==，得(0)(00)(0)(0)f f f f =+=+，
∴(0)0f =
定义域关于原点对称
y x =-，得()()(0)0f x f x f +-==，
∴()()f x f x -=∴()f x 是奇函数
211()()(3)22f x f x f x ->，()
()232f x f x f x ->（）， 即232f x f x f x （）（）＞（），+- 又由已知得：()
()2(2)232f x f x f x x f x =∴->（）， 由函数f x （）是增函数，不等式转化为223250x x x x x ->∴->．，
∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．
考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．
【方法点睛】解决抽象函数问题常用方法：1．换元法：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法；
2．方程组法：运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题；
3．待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题；
4．赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决；
5．转化法：通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便；
6．递推法：对于定义在正整数集N*上的抽象函数，用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解；
7．模型法：模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法；应掌握下面常见的特殊模型：
22.已知二次函数()24f x ax x b =-+满足()()4f x f x =-，且()
12f =-． (1)求a , b 的值；
(2)若1m ≠，()f x 在区间[],2m m +上的最小值为()1f x ，最大值为()2f x ，求212x x -的取值范围．
【答案】（1）1,1a b ==（2）()(),04,-∞+∞U
【解析】
【分析】
（1）根据条件得对称轴，再结合()12f =-，列方程组解得结果，（2）根据对称轴与定义区间位置关系分类讨论，确定对应最值取法，分别求得212x x -的取值范围，最后求并集得结果.
【详解】（1）根据题意得，f (1)=a -4+b =-2，
又因为()()4f x f x =-，
所以二次函数的对称轴为2x =422a
-∴-
=，解得a =1， 所以b =1，
(2)由（1）可知， ()()224123f x x x x =-+=--，
当m >2时，
最小值()()1f x f m =，最大值()()22f x f m =+，
所以2124x x m -=+；
当m +1<2<m +2，即0<m <1时，
最小值为()()12f x f =，最大值()()2f x f m =，
所以21222x x m -=-；
当m≤2<m+1，即1<m≤2，
最小值为()()12f x f =，最大值为()()22f x f m =+，
所以21222x x m -=+；
当m +2≤2时，即m ≤0时，最小值为()()12f x f m =+，最大值()()2f x f m =，
所以2122x x m -=-；
所以212,022,01222,124,2
m m m m x x m m m m -≤⎧⎪-<<⎪-=⎨+<≤⎪⎪+>⎩， 函数的图象如下：
观察图象可知，函数的值域为()()04-∞+∞U ，
，. 【点睛】本题考查二次函数解析式、二次函数最值以及分段函数值域，考查基本分析求解能力，属中档题.。