第三节离散程度的统计描述

1
f
n
(xi x)2 f
i 1
简单式标准差 加权式标准差
方差（标准差）数值越大，说明总体集中趋势越弱，平 均数的代表性越差；
方差（标准差）数值越小，说明总体集中趋势越强，平 均数的代表性越强。
例一：计算两组的平均日产量，并比较它们的代表性
甲组日产量 （件）xi
50 60
离差
xi x —20
（二）比较计量单位相同，而平均数差异悬殊的两 组变量的离散程度
（三）比较总体不同，计量单位也不相同的两组变 量的离散程度
因此，需计算离中趋势的相对数，即离散系数
V x 100%
n
x
xi fi
i 1 n
fi
3100 100
31(千克)
1
f
n
(xi x)2 f
i 1
4900 7(千克) 100
i 1
V
x
100%
7 100% 31
22.58%
作用：
（一）比较总体相同，而计量单位不同的两组变量 数列的离散程度
12
1
13
2
14
3
15
4
16
5
17
4
18
3
19
2
20
1
合计
25
n
x
xi fi
i 1 n
400 16(件) 25
fi
i 112Fra bibliotek-416
16
26
-3
9
18
42
-2
4
12
60
-1
1
4
80
0
0
0
68
1
1
4
54
2
4
12
38
3
9
18
20
4
16
16
400
——
——
100
1 f
n
(xi x)2 f
—10
(xi x)2
400 100
70
0
0
80
10
100
90
20
400
合计
——
1000
n
x
xi
i 1
350 70(件)
n
5
甲
1 n
n i 1
( xi
x)2
1000 14.14(件) 5
乙组日产量 （件）xi 68 69 70 71 72
合计
离差 xi x —2 —1
0 1 2 ——
i 1
100 2(件) 25
例三：计算标准差
日产量 工人人
（千克）
数（人） fi
组中值
xi
xi fi
xi x (xi x)2 (xi x)2 f
15~25 20 25~35 50 35~45 30
20 400 30 1500 40 1200
合计 100 —— 3100
n
xi fi
x
i 1 n
(xi x)2
4 1 0 1 4 10
n
x
xi
i 1
350 70(件)
n
5
乙
1 n
n i 1
( xi
x)2
10 1.414 (件) 5
例二：计算标准差
日产量 （件）xi
工人人数 （人）fi
总产量x f
离差 离差平方 离差平方加权 xi x (xi x)2 (xi x)2 f
二、方差和标准差
方差和标准差是最重要、最常用的离散程度的度量方法。
（一）方差 概念：
各变量值减去平均数 即 (x x)
是描述变量数列分散程度的一种度量方法，它是各变 量值相对于平均数的离差的平方的平均数。用σ2表示
公式：
2
1 n
n
( xi
i 1
x)2
原始数据
2
1 f
n
(xi x)2 f
变量的离散趋势越大，说明集中趋势越差，平均 数的代表性越弱。 变量的离散趋势越小，说明集中趋势越高，平均 数的代表性越强。
描述离散程度的测量值有： 极差、标准差、离散系数
一、极差（全距）
全距（R）=最大变量值—最小变量值 =最高组的上限—最小组的下限
评价： 极差主要反映变量值的离散范围。 极差值越小，说明变量值离散范围小，离散程度较小， 变量值较集中，平均数的代表性较大。 极差值越大，说明变量值离散范围大，离散程度较大， 变量值较分散，平均数的代表性较小。
举例：三个数列，各含5个数值（单位：元） 甲数列：80 80 80 80 80 乙数列：70 75 80 85 90 丙数列：2 18 25 96 259 三组极差分别为：0、20、257
用极差来反映离散程度 优点：计算简便，易懂 缺点：不能反映其他数值的差异，当极端值相差较 大，中间值分而较均匀时，便不能得到确切的反映 极易受两端值的影响
i1
分组数据
举例：三个数列，各含5个数值（单位：元）
甲数列：80 80 80 80 80
乙数列：70 75 80 85 90
丙数列：2 18 25 96 259
2
1 n
n
( xi
i 1
x)2
2 甲
0
2 乙
50
2丙 9050
（二）标准差 方差的算术方根
1 n
n i1
( xi
x)2
评价：
fi
i 1
3100 31(千克) 100
—11 —1 9 ——
121 1 81 ——
2420 50 2430 4900
1 f
n
(xi x)2 f
i 1
4900 7(千克) 100
三、离散系数
标准差带有计量单位，如果研究的总体不相同，或 计量单位不相同，或平均数相差悬殊，它们离中趋 势的绝对数（极差、方差、标准差）是不可以比较 的。
第三章 总体变量分布特征的统计描述 第三节 离散程度的统计描述
举例：三个数列，各含5个数值（单位：元） 甲数列：80 80 80 80 80 乙数列：70 75 80 85 90 丙数列：2 18 25 96 259 求：各数列的平均数，并比较三个数列平均数的代表性
平均指标反映了变量的集中趋势，要全面的了解变 量数列的特性，还需要了解其离中趋势 。