北京市顺义区2012届高三尖子生综合素质展示 理科数学试题

顺义区2012届高三尖子生综合素质展示
数 学 试 卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．计算21i
i
- 得 ( )
A ．3i -+ B. 1i -+ C. 1i - D. 22i -+
2.某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B 的值是 ( ) A ．63 B ．31 C ．15 D ．7 3．直线3
π
=
x ，2
π
=
x 都是函数)
, 0)(sin()(πϕπωϕω≤<->+=x x f 的对称轴，且函数)(x f 在区间]2
, 3[π
π上单调递减，则( )
A ． 2
π
ϕ=
B ．6=ω，2
π
ϕ-
=
C . 6=ω，2
π
ϕ= D ．3=ω，2
π
ϕ-
=
4．函数1
cos y x x
=⋅在坐标原点附近的图象可能是
5. 等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若205=S ，则142a a +=（ ） A. 9 B.12 C.15 D.18
6．已知函数22, 1,
(), 1,
x ax x f x ax x x
⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩ 则“2a ≤-”是“()f x 在R 上单调递减”的
A
B
C D
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7. 直线1ax by +=与圆122=+y x 相交于不同的A,B 两点（其中b a ,是实数）， 且0OA OB ⋅>(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点1
(0,)2
距离的取值范围为（ ）
A.(1,)+∞
B. 1(,)2+∞
C. 1(2
D. 11
(,
22+
8．对于任意x ，][x 表示不超过x 的最大整数，如[1.1]1,[ 2.1]3=-=-. 定义R 上的函
数()[2][4][8]f x x x x =++，若{}(),01A y y f x x ==≤≤，则A 中所有元素的和为
（ ）
A ．55 B. 58 C.63 D.65
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9．已知12,F F 为双曲线C:22
11620
x y -= 的左、右焦点，点P 在C 上，若19,PF =则
2PF = .
10.设函数(),()f x g x 在(0,5)内导数存在，且有以下数据：
则曲线在点(1,(1))f 处的切线方程是 ；函数(())f g x 在2x =处的导数值是 ． 11．已知sin cos tan ()cos x x x
f x x
++=
在[1,1]x ∈-上的最大值为2，则最小值为 .
12．设)11()3
11)(2
11(2
2
2
n
a n -
-
-
= ),3,2( =n ，则4a 的值是 ；
10a 的值是 .
13. 已知M 、N 是⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≥+-≥≥6
0111y x y x y x 所围成的区域内的不同两点，则||的最大值是 .
14．已知下列四个命题：
① 函数x x f 2)(=满足：对任意R x x ∈21,，有)]()([2
1
)2(2121x f x f x x f +<+； ② 函数)1(log )(22x x x f ++=,1
22
1)(-+
=x
x g 均是奇函数； ③ 若函数)(x f 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足)()4(x f x f =-，那么
(2)(2012)f f =；
④ 设21,x x 是关于x 的方程)1,0(log ≠>=a a k x a 的两根，则1=21x x . 其中正确命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）
已知角α的顶点在原点，始边与x
轴的正半轴重合，终边经过点(P -. （Ⅰ）求sin 2tan αα-的值；
（Ⅱ）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=---，
求函数2(2)2()2y x f x π=
--在区间2π03⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
16．（本小题满分13分）
现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金
分别为x 和y 时，得到的回报是32
31y x P =．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最
大的回报. 17．（本小题满分13分）
设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知1a 1=，)1(--=n n na S n n （)n +∈N （Ⅰ）求n a 的表达式；
（Ⅱ）若数列}1
{
1
+n n a a 的前n 项和为n T ，问：满足209100>n T 的最小正整数n 是多少？
18．（本小题满分14分）
已知函数x ax x x f ln )(2-+=， .a R ∈
（Ⅰ）若0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然对数的底）时，函
数)(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分13分）
已知ABC ∆的顶点A 、B 在椭圆.//,2:,4322l AB x y l C y x 且上在直线点上+==+ （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC ∆的面积； （Ⅱ）当︒=∠90ABC ，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程. 20．（本小题满分14分）
已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“S -函数”.
（Ⅰ）判断函数x
x f x x f 3)(,)(21==是否是“S -函数”；
（Ⅱ）若x x f tan )(3=是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ； （Ⅲ）若定义域为R 的函数)(x f 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和
)4,1(，当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)
(x f 的值域.
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数学试题参考答案（理科）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。

8．解答： 1[0,),()08x f x ∈=，12[,),()188x f x ∈=，23[,),()388
x f x ∈=
34[,),()488x f x ∈=，45[,),()788x f x ∈=，56
[,),()888x f x ∈=，
67[,),()1088x f x ∈=，7
[,1),()118
x f x ∈=，(1)14f =
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上，有两空的题目，
第一空3分，第二空2分。

9. 17 10. 31y x =- ，12 11. 0 12.
85；20
11 13. 17 14. ①②④ 三、解答题: 本大题共4小题,共30分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为角α终边经过点(P -，所以
1sin 2α=
，cos 2
α=-，tan 3α=- ------------3分
sin 2tan 2sin cos tan 236
ααααα∴-=-=+=-
---------6分 (2)
()cos()cos sin()sin cos f x x x x αααα=---= ，x R ∈--------8分
2cos(2)2cos 21cos 22sin(2)126y x x x x x ππ
∴=--=--=------10分
2470,02,233666x x x πππππ≤≤∴≤≤∴-≤-≤ 1sin(2)126x π∴-≤-≤，22sin(2)116
x π
∴-≤--≤------------------12分
故：函数2(2)2()2y x f x π=
--在区间2π03⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围是[2,1]-
---------------------------13分 16. （本小题满分13分）
解：由于10000=+y x ，所以100000,)10000(32
313231≤≤-==y y y y x P ．
------------------------4分 考虑23)10000(y y P -=，由0320000)(23=-='y y P 得3
20000
,021=
=y y ， -----------------------------8分
由于当320000<
y 时，0)(3>'P ；当320000
>y 时，0)(3<'P ，---------10分 所以3
20000
2=y 是3P 的极大值点，从而也是P 的极大值点．---------------12分
故当投到产品开发的资金为3
20000
元时，得到的回报最大. ----------------13分
17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当2n ≥时，11(1)2(1)n n n n n a S S na n a n --=-=---- ……2分
⇒ 122)n n a a n --= (≥
⇒ 数列}{n a 是以11=a 为首项，以2为公差的等差数列
∴21n a n =- ……6分 （Ⅱ）数列}1
{
1
+n n a a 的前n 项和为n T 122311*********(21)(21)
111111111[()()()()]
2133557212111(1)22121
n n n T a a a a a a n n n n n n n +=
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯-⨯+ =-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--+ =-=
++……10分
⇒
10021209n n >+ ⇒ 1009n > ⇒满足209
100
>n T 的最小正整数n 是12. ……13分
18．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当0a =时2()ln f x x x =-， ………1分
所以'
'1
()2(1)1f x x f x
=-
⇒=，又(1)1f = ………2分 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0x y -=；………3分
（Ⅱ）因为函数在[1,2]上是减函数，所以：
01
212)(2'
≤-+=-+=x
ax x x a x x f 在[]2,1上恒成立， ………4分
令 12)(2-+=ax x x h ，有⎩⎨⎧≤≤0)2(0)1(h h 得,2
71
⎪⎩⎪
⎨⎧-≤-≤a a ………6分
得2
7
-≤a ； ………7分
（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x g ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，
x a x g 1)('-=x ax 1
-=
①当0≤a 时，'()0g x <，所以：
)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，e
a 4
=（舍去），
②当e a
≥1
时，'()0g x <在],0(e 上恒成立
所以)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，e
a 4
=（舍去）
………10分
③当e a <<
1
0时，令'1()00g x x a
<⇒<<， 所以)(x g 在)1,0(a 上单调递减，在],1
(e a 上单调递增
∴3ln 1)1
()(min =+==a a
g x g ，2e a =，满足条件． ………12分
综上，存在实数2
e a =，使得当],0(e x ∈时)(x g 有最小值3． ………14分
19．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为,//l AB 且AB 通过原点（0，0），所以AB 所在直线的方程为.x y =
由⎩
⎨⎧==+x y y x 4
322得A 、B 两点坐标分别是A （1，1），B （-1，-1）。

22)()(||221221=++-=∴y y x x AB ………2分
又l h AB 等于原点到直线边上的高 的距离。

.2||2
1
,2=⋅=
=∴∆h AB S h ABC ………5分 （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为m x y +=
由.0436*******=-++⎩⎨⎧+==+m mx x m
x y y x 得 因为A ，B 两点在椭圆上，所以
,064122>+-=∆m
即.3
3
4334<<-
m ………7分
设A ，B 两点坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则
,4
43,2322121-=-=+m x x m x x
且.,2211m x y m x y +=+= ………8分
221221221)(2)()(||x x y y x x AB -=-+-=∴
2
632)4349(2]4)[(222
2212
21m m m x x x x -=
+-=-+= ………9分
又l m BC 到直线的长等于点),0( 的距离，
即.2
|
2|||m BC -=
.)1(11102||||||22222+-=+--=+=∴m m m BC AB AC
AC m ,1时当-=∴边最长。

（显然3
3
41334<-<-） ………12分
所以，AB 所在直线的方程为1-=x y ………13分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）若x x f =)(1是“S -函数”，则存在常数),(b a ，使得 (a +x )(a-x )=b.
即x 2=a 2-b 时，对x ∈R 恒成立.而x 2=a 2
-b 最多有两个解，矛盾，
因此x x f =)(1不是“S -函数”.……………………………………………………2分
若x
x f 3)(2=是“S -函数”，则存在常数a ,b 使得a x a x
a 2333
=⋅-+，
即存在常数对（a , 32a
）满足.
因此x x f 3)(2=是“S -函数”………………………………………………………4分 （Ⅱ）x x f tan )(3=是一个“S -函数”，设有序实数对（a , b ）满足:
则tan(a -x )tan(a +x )=b 恒成立.
当a =Z k k ∈+
,2
π
π时，t an (a -x )t an (a +x )= -cot 2(x )，不是常数 ……………5分
因此Z k k a ∈+
≠,2π
π，Z m m x ∈+
≠,2
π
π,
则有
b x
a x
a x a x a x a x a =--=⋅-+⨯⋅+-2222tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan . 即0)(tan tan )1tan (222=-+-⋅
b a x a b 恒成立. ………………………7分
即⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅11
tan 0
tan 01tan 2
2
2b a b a a b Z k b k a ∈⎪⎩⎪
⎨
⎧
=±=,1
4ππ, 当Z m m x ∈+
=,2
π
π,4
π
π±
=k a 时，t an (a -x )t an (a +x )=cot 2
(a )=1.
因此满足x x f tan )(3=是一个“S -函数”的常数（a , b ）=Z k k ∈±
),1,4
(π
π (9)
分
(Ⅲ) 函数)(x f 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(， 于是,4)1()1(,1)()(=-⋅+=-⋅x f x f x f x f
即]1,0[2]2,1[,4)2()(4)1()1(∈-∈=-⇔=-⋅+x x x f x f x f x f 时，,
]4,2[)
2(4
)(∈-=
x f x f ，]4,1[)(]2,0[∈∈∴x f x 时，.……………………10分
)(4)2()2(4)()(1)(4)1()1(1)()(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f =+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
+=
-=-⇒⎩⎨⎧=-⋅+=-⋅ ……11分 ].
2,2[)(,
]2012,2010[],
2,2[)(,]22,2[],
2,16[)(,]6,4[],16,4[)(]4,2[201220102226∈∈∈+∈∈∈∈∈+x f x x f k k x x f x x f x k k 时时依次类推可知时时，
因此]2,1[)(]2012,0[2012∈∈x f x 时，, ……………………………………13分
].1,2[)(]2,1[)(],2012,0[,)
(1
)(,]0,2012[20122012-∈⇒∈-∈--=
-∈x f x f x x f x f x 时
综上可知当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域为]2[22012-2012，.……………14分
说明：其它正确解法按相应步骤给分.。