最新年高中数学 模块综合评价 新人教A版选修4-5(考试必备)

模块综合评价
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a ，b ，c ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥b －c B ．ac ≥bc C.
c 2
a －b
＞0
D ．(a －b )c 2
≥0
解析：因为a ＞b ，所以a －b ＞0.
又因为c ∈R，所以c 2
≥0.所以(a －b )c 2
≥0. 答案：D
2．不等式|3x －2|＞4的解集是( ) A ．{x |x ＞2}
B.
⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ＜－23 C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＜－23或x ＞2
D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－2
3＜x ＜2
解析：因为|3x －2|＞4，所以3x －2＞4或3x －2＜－4，所以x ＞2或x ＜－2
3.
答案：C
3．函数y ＝x 2
＋2x
(x ＞0)的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：y ＝x 2＋2x ＝x 2
＋1x ＋1x
≥3
3
x 2·1x ·1
x
＝3当且仅当x ＝1时成立．
答案：C
4．已知a ，b ∈R ，则使不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |一定成立的条件是( ) A ．a ＋b ＞0 B ．a ＋b ＜0 C ．ab ＞0
D ．ab ＜0
解析：ab ＞0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，
ab ＜0时，|a ＋b |＜|a |＋|b |，
故选D. 答案：D
5．不等式|x －1|＋|x －2|≥3的解集是( )
A ．{x |x ≤1或x ≥2}
B ．{x |1≤x ≤2}
C ．{x |x ≤0或x ≥3}
D ．{x |0≤x ≤3}
解析：由x ≤1时，原不等式可化为－(x －1)－(x －2)≥3，得x ≤0.因此x ≤0. 当1＜x ＜2时，原不等式可化为(x －1)－(x －2)≥3，无解． 当x ≥2时，原不等式可化为(x －1)＋(x －2)≥3，得x ≥3. 因此x ≥3，
综上所述，原不等式的解集是{x |x ≤0或x ≥3}． 答案：C
6．设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下
列关系式中正确的是( )
A ．q ＝r ＜p
B ．p ＝r ＜q
C ．q ＝r ＞p
D ．p ＝r ＞q
解析：因为0＜a ＜b ，所以
a ＋b
2
＞ab .
又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f ⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即p ＜q .
而r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝1
2ln(ab )＝ln ab ，
所以r ＝p ，故p ＝r ＜q .选B. 答案：B
7．已知不等式(x ＋y )⎝
⎛⎭
⎪⎫1x ＋1y
≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )
A ．2
B ．4 C. 2
D ．16
解析：由(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2
＝4.
因此不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4.
答案：B
8．用数学归纳法证明当n ∈N ＋时，1＋2＋22
＋…＋25n －1
是31的倍数时，当n ＝1时原式
为( )
A ．1
B ．1＋2
C ．1＋2＋3＋4
D ．1＋2＋22
＋23
＋24
解析：n ＝1时，原式为1＋2＋…＋2
5×1－1
＝1＋2＋22＋23＋24
.
答案：D
9．函数y ＝4－2x ＋x ＋2的最大值为( ) A ．4 B ．2 3 C ．6 D ．4 2
解析：y ＝4－2x ＋x ＋2＝2·2－x ＋1·x ＋2≤ [（2）2
＋12
][（2－x ）＋（x ＋2）]＝23，
当且仅当2（x ＋2）＝2－x 时取等号，即当x ＝－2
3时，y max ＝2 3.故选B.
答案：B
10．用数学归纳法证明不等式
1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞13
24
(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )
A ．增加了1项1
2（k ＋1）
B ．增加了“12k ＋1＋12（k ＋1）”项，又减少了“1
k ＋1”项
C ．增加了2项12k ＋1＋1
2（k ＋1）
D ．增加了12（k ＋1）项，减少了1
k ＋1
项
解析：注意分母是连续的正整数，且末项可看做1
n ＋n
，故n ＝k ＋1时，末项为1
（k ＋1）＋（k ＋1）
.
答案：B
11．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，对k 的取值范围是( ) A ．k ＜3 B ．k ＜－3 C ．k ≤3
D ．k ≤－3
解析：因为|x ＋1|－|x －2|≥－|(x ＋1)－(x －2)|＝－3， 所以|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3. 所以不等式恒成立，应有k ＜－3. 答案：B
12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤2，|x 2|≤2时，|f (x 1)－
f (x 2)|≤6|x 1－x 2|，又令
g (x )＝x 2＋2x －1，则g (x )与M 的关系是( )
A ．g (x ) M
B ．g (x )∈M
C ．g (x )
M
D ．不能确定
解析：因为g (x 1)－g (x 2)＝x 21＋2x 1－x 2
2－2x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)，
所以|g (x 1)－g (x 2)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2＋2|≤|x 1－x 2|·(|x 1|＋|x 2|＋2)≤6|x 1－x 2|， 所以g (x )∈M . 答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．用数学归纳法证明：已知n 是正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1
n ，则当n ＞1时，f (2n )
＞
n ＋2
2
.其第一步是____________________．
解析：由数学归纳法的步骤易知． 答案：当n ＝2时，f (22
)＞
2＋2
2
成立 14．设x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是1，2，3，4，5的任一排列，则x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4＋5x 5的最小值是________．
解析：由题意可知x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是1，2，3，4，5的反序排列时x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4
＋5x 5取得最小值：1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1＝35.
答案：35
15．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2
－2a －1在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是________．
解析：|x －1|＋|x －3|表示数轴上的x 对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值等于2，
由题意|x －1|＋|x －3|≤a 2
－2a －1的解集为空集， 可得|x －1|＋|x －3|＞a 2
－2a －1恒成立， 故2＞a 2
－2a －1，解得－1＜a ＜3. 答案：(－1，3)
16．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2
＋4b 2
＋9c 2
的最小值为________． 解析：因为a ＋2b ＋3c ＝6，所以1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.
所以(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝
13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝2
3
时取等号． 答案：12
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．
(1)求m ＋n 的值；
(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.
(1)解：由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，得1≤x ≤2， 所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3. (2)证明：若|x －a |＜1，
则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.
18．(本小题满分12分)设f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；
(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2
＋2b 2
＋c 2
＝m ，求ab ＋bc 的最大值． 解：(1)当x ≤－1时，－4<f (x )＝3＋x ≤2； 当－1＜x ＜1时，f (x )＝－1－3x ＜2； 当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4. 故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2.
(2)a 2
＋2b 2
＋c 2
＝(a 2
＋b 2
)＋(b 2
＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )， 当且仅当a ＝b ＝c ＝
2
2
时，等号成立． 此时，ab ＋bc 取得最大值1.
19．(本小题满分12分)(1)求不等式|x －5|－|2x ＋3|≥1的解集； (2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1
2，求证：a ＋b ≤1.
(1)解：当x ≤－3
2时，－x ＋5＋2x ＋3≥1，
解得x ≥－7，所以－7≤x ≤－3
2；
当－3
2＜x ＜5时，－x ＋5－2x －3≥1，
解得x ≤13，所以－32＜x ≤1
3
；
当x ≥5时，x －5－(2x ＋3)≥1，解得x ≤－9，舍去． 综上，－7≤x ≤1
3
.
故原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪⎪－7≤x ≤13.
(2)证明：要证 a ＋b ≤1，只需证a ＋b ＋2ab ≤1， 即证2ab ≤12，即证ab ≤1
4
.
而a ＋b ＝12≥2ab ，所以ab ≤1
4成立．
所以原不等式成立．
20．(本小题满分12分)设f (n )＞0(n ∈N ＋)，对任意自然数n 1和n 2总有f (n 1＋n 2)＝
f (n 1)f (n 2)，且f (2)＝4.
(1)求f (1)，f (3)的值；
(2)猜想f (n )的表达式，并证明你的猜想．
解：(1)由于对任意自然数n 1和n 2，总有f (n 1＋n 2)＝
f (n 1)·f (n 2)，
取n 1＝n 2＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)，即f 2
(1)＝4. 因为f (n )＞0(n ∈N ＋)， 所以f (1)＝2，
取n 1＝1，n 2＝2，得f (3)＝23
.
(2)由f (1)＝21
，f (2)＝4＝22
，f (3)＝23
，初步归纳猜想f (n )＝2n
. 证明：①当n ＝1时，f (1)＝2成立； ②假设n ＝k 时，f (k )＝2k
成立．
f (k ＋1)＝f (k )·f (1)＝2k ·2＝2k ＋1，
即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．
由①②得，对一切n ∈N ＋，f (n )＝2n
都成立．
21．(本小题满分12分)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1
b
＝ab .
(1)求a 3＋b 3
的最小值．
(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．
解：(1)由ab ＝1a ＋1b
≥2
ab
，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．
故a 3＋b 3≥2a 3b 3
≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3
＋b 3
的最小值为4 2.
(2)不存在，由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3. 由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)若f (x )的最小值为4，求实数a 的值；
(2)当－1≤x ≤0时，不等式f (x )≤|x －3|恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|≥|(x ＋a )－(x －2)|＝|a ＋2|. 所以|a ＋2|＝4，即a ＋2＝±4.
所以a＝2或－6.
(2)原命题等价于f(x)≤|x－3|在[－1，0]上恒成立，
即|x＋a|＋2－x≤3－x在[－1，0]上恒成立，
即|x＋a|≤1在[－1，0]上恒成立，
即－1－x≤a≤1－x在[－1，0]上恒成立，
－1，0，即(－1－x)max≤a≤(1－x)min，x∈[]
所以0≤a≤1.。