(好题)高中数学必修五第一章《数列》检测卷(有答案解析)(2)

一、选择题
1．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11
3,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *
-*
-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
2．对于数列{}n a ，定义11222n n
n a a a Y n
-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数
列{}n a 的“美值”1
2n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的
*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．712,
35⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．712,35⎛⎫
⎪⎝
⎭ C ．167,73⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ D ．167,73⎛⎫
⎪⎝
⎭ 3．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且()
*
2122n n n a a a n N ++-+=∈，若[]
x 表示不超
过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
++
+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
＝
（ ） A ．2018
B ．2019
C ．2020
D ．2021
4．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若5
5
2a b =，则
9
9
A B =( ) A ．512
B ．32
C ．8
D ．2
5．已知数列1a ，21
a a ，…1n
n a a -，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2log n a =（ ）
A ． (1)n n +
B ． (1)4
n n -
C ．
(1)
2
n n + D ．
(1)
2
n n - 6．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2
B ．3
C ．
269
D ．
259
7．若数列{}n a 满足
*111
(n n
d n N a a +-=∈，d 为常数)，则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为调和数列，且2222
12320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为
（ ） A ．2
B ．2
C
．22
D ．4
8．已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线22
22x y m n
-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若
c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( )
A ．3
B ．2
C ．
14 D ．
12
9．设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2
n a ，③{}2
n
a ，④{}2
log
||n a .
其中一定为等比数列的是（ ） A ．①③
B ．②④
C ．②③
D ．①②
10．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）
A ．153
B ．190
C ．231
D ．276
11．已知数列{}n a 的通项公式为2
11n a
a n n n
=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[40,25]--
B ．[40,0]-
C ．[25,0]-
D ．[25,0]-
12．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1
224,[0,1)()3,[1,2]
x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨
⎪-+∈⎩，设f (x )在[2n -2,2n )上的最大值为*
()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n
均成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．27,8⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
B ．27,8⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
C ．27,4⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
D ．27,4⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
二、填空题
13．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=，则
3
9121239
S S S S a a a a +++⋅⋅⋅+=___________.
14．数列{}n a 中，16a =，29a =，且{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，则
n a =______.
15．数列{}n a 满足11a =，22a =，且2
221sin 2cos 2
2n n
n n a a ππ+⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝
⎭
（*n N ∈），则2020a =__.
16．若数列{}n a 满足12a =
，141n n a a +=+，则使得2
2020n a ≥成立的最小正整
数n 的值是______.
17．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________.
18．已知数列{}n a 的前n 项和()2*
32n n n S n +=∈N ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前10项和为______．
19．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2
2n n n S a a =+，
1
121
(2)(2)
n n n n n n b a a +++=++，对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，则k 的最小值是__________．
20．若数列}{
n a
2*
3()n n n N =+∈，则
n a =_______．
三、解答题
21．已知()2
3f x x x =-，数列{}n a 前n 项和为n S ，且()n S f n =.
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 满足43
n
n n
a b =
⨯，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对于任意*n ∈N ，总存在[]
2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，求实数m 的取值范围. 22．已知数列{}n a 满足：*
111,21,n n a a a n n N +=-=-∈
（1）证明{}n a n +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设21
,n n n n b S a n
+=
+为数列{}n b 的前n 项和，求n S 23．在①2
42n n n S a a =+，②12a =，12n n na S +=这两个条件中任选一个，补充到下面
横线处，并解答.
已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ， ． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足13
1
log 12
n n b a =
-，且n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n M . 注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.
24．已知等差数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，519a =，321S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1
n n b S n
=
+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．从①1a 、2a 、5a 成等比数列，②525S =，③222n n
S S n n
+-=+，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47a =， ，12
2
n a n n
b a +=+，求数列{}n b 的前
n 项和为n T .
26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(
)*
224n n S a a n N =-∈，且1
a ，2a ，3
1a
-成等差
数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()222221log log +=
n n n b a a ，{}n b 的前项和为n T ，对任意*n N ∈，23
n m
T >恒成
立，求m 的取值范围.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】
当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,
a a a +++成等比数列，公比为2，1
219102
n n a --+=⨯，
即1
211029n n a --=⨯-，
当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又
2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，
126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，
所以210(12)10(12)
9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，
714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，
所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．
2．C
解析：C 【分析】
由1112222n n n n a a a Y n -+++⋅⋅⋅+==，可得11
12222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得
22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解
【详解】
由1112222n n n n a a a Y n
-+++⋅⋅⋅+==可得11
12222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，
当2n ≥时()2
12122
21n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，
又因为11
12222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，
两式相减可得：()()1
112
2221n n n n n n n n a -+=--=+，
所以22n a n =+， 所以()22n a tn t n -=-+， 可得数列{}n a tn -是等差数列， 由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立， 可得：660a t -≥，770a t -≤， 即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤，
解得：16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出11
12222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一
式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，
3．B
解析：B 【分析】
由2122n n n a a a ++-+=，可得()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出． 【详解】
2122n n n a a a ++-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，214a a -=．
{}1n n a a +∴-是等差数列，首项为4，公差为2．
142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+．
2n ∴≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+ (1)
22(1)..2222(1)2
n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯
=+． 2(1)1n n n a n
++∴=．
∴当2n ≥时，2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦n n n a n ． 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
. 故选：B ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．A
解析：A 【分析】
直接利用等比数列的性质化简
99A B ,再代入5
5
2a b =即得解. 【详解】
由题得
9
9912
91928559912
9192855()()()2512()()()
A a a a a a a a a a
B b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】
(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则
2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 5．D
解析：D 【分析】
根据题意，求得1
n n a a -，再利用累乘法即可求得n a ，再结合对数运算，即可求得结果.
【详解】
由题设有111
122(2)n n n
n a n a ---=⨯=≥， 而(1)121
3
22
1121
122
(2)n n n n n n a a
a a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯
⨯=⨯=≥，
当1n =时，11a =也满足该式，故(1)2
2
(1)n n n a n -=≥，
所以2(1)
log 2
n n n a -=， 故选：D. 【点睛】
本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.
6．C
解析：C 【分析】
由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】
因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，
当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，
111a S ==适合上式，故43n a n =-，
因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269
k = 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.
7．C
解析：C 【分析】 先由题设21n x ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
为调和数列
{}2
n x ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得22
92010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可.
【详解】
解：由题设知：
22
122
11111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数)， {}
2
n x ∴是等差数列， 222
222120181
2
3
2018
2018()
40362
x x x x x x
++++⋯+==
， 2222
12018920104x x x x ∴+==+，
22
92010920102x x x x +(当且仅当92010x x =时取“等号“)， 2229201092010()2()8x x x x ∴++=，
9201022x x ∴+
(当且仅当92010x x =“等号“)，
92010x x ∴
+的最大值为
故选：C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题.
8．D
解析：D 【解析】
由题意可知2n 2=2m 2+c 2． 又m 2+n 2=c 2， ∴m=
2
c
． ∵c 是a ，m 的等比中项， ∴2c am =， ∴2
2
ac c =， ∴1
2
c e a =
=．选D ． 9．D
解析：D 【分析】
设1
1n n a a q -=，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.
【详解】
设1
1n n a a q -=，
①,1
12=2n n a a q
-,所以数列{}2n a 是等比数列；
②，2222
22111=()n n n a a q
a q --=，所以数列{}
2
n a 是等比数列； ③，1
11
12
111211
222=2,2
22n n n n n n n n a a q a a q
a q a q a a q -------==不是一个常数，所以数列{}
2n a 不是等比数列； ④，122122121log ||log |q |log ||log |q |
n n n n a a a a ---=不是一个常数，所以数列{}2log ||n a 不是等比数列. 故选D 【点睛】
本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10．C
解析：C 【分析】
根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成
等差数列，累加求得2
2n a n n =-，将11n =代入求得结果.
【详解】
记第n 个六边形数为n a ，
由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，
32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，
114(1)n n a a n --=+-，
累加得21(1)[543]
59[14(1)]212
n n n a a n n n -+--=++
++-=
=--，
即2
2n a n n =-，
所以2
1121111231a =⨯-=，
故选：C. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.
11．D
解析：D 【分析】
由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】
由题设有5n a a ≥恒成立，
故2
1125555a a
n n n -+
≥-+恒成立即()()()5565a n n n n
---≥， 当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤， 当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-， 当5n =时，a R ∈， 故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】
本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.
12．B
解析：B 【分析】
运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值，由递推式可得数列{}n a 为首项为94，公比为1
3
的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值 【详解】
解：当[0,2]x ∈时，且1
224,[0,1)
()3,[1,2]
x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，
可得01x ≤<时，()f x 的最大值为(0)2f =，
12x <≤时，()f x 的最大值为39
()24
f =，
即当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为9
4
， 当24x ≤<时，1()(2)3
f x f x =-的最大值为912，
当46x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为9
36
， ……
可得数列{}n a 为首项为
94，公比为1
3
的等比数列，
所以91(1)2712743(1)183813
n n n
S -==-<-， 由S n <k 对任意的正整数n 均成立，可得278
k ≥
， 所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
，
故选：B 【点睛】
此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题
二、填空题
13．【分析】由推得得到数列表示首项为公比为的等比数列求得和进而得到再结合等比数列求和公式即可求解【详解】由数列的前项和且满足当时两式相减可得即令可得解得所以数列表示首项为公比为的等比数列所以则所以所以故 解析：1013
【分析】
由1n n a S +=，推得
11
(2)2n n a n a -=≥，得到数列{}n a 表示首项为12，公比为12
的等比数列，求得n a 和 n S ，进而得到21n n
n
S a =-，再结合等比数列求和公式，即可求解. 【详解】
由数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=， 当2n ≥时，111n n a S --+=，
两式相减，可得()11120n n n n n n a a S S a a ----+-=-=，即11
(2)2
n n a n a -=≥， 令1n =，可得11121a S a +==，解得112
a =
， 所以数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 则11122
111212
n
n n
S ⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以1122112n
n n n n S a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，
所以
(
)
293
9
12123
9
222(111)S S S S a a a a ++++
=+++-++
+
(
)910
21292
11101312
-=
-=-=-.
故答案为：1013. 【点睛】
关键点睛：由1n n a S +=，利用1,1
=,2
n n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩，推得
11(2)2n n a n a -=≥从而证得数列{}n a 为等比数列是解答本题的关键.
14．【分析】由是以2为公差的等差数列可得：再利用累加求和方法等差数列的求和公式即可得出【详解】∵是以2为公差的等差数列∴∴故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式累加求和方法考查了推理能 解析：25n +
【分析】
由{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，可得：121n n a a n --=-，再利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出. 【详解】
∵{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列， ∴()()1212221n n a a a a n n --=-+-=-，
∴()()()12116321n n n a a a a a a n -=+-+⋯⋯+-=++⋯⋯+-
()
2121552
n n n +-=+=+，
故答案为：25n +. 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
15．2020【分析】当n 为偶数时可得出故偶数项是以2为首项公差为2的等差数列求出通项公式代值计算即可得解【详解】当n 为偶数时即故数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列所以所以故答案为：2020【点睛
解析：2020 【分析】
当n 为偶数时，可得出22n n a a +=+，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解. 【详解】 当n 为偶数时，
2223cos 1sin 2cos 1cos 2222n n n n n n n a a a n a ππππ+-⎛⎫=+⋅+=⋅++=+ ⎪⎝⎭
， 即22n n a a +=+，故数列{}n a 的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列， 所以2122n n a n ⎛⎫
=+-⨯=
⎪⎝⎭
， 所以20202020a =. 故答案为：2020. 【点睛】
本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n 为偶数时，可得出2n a +与n a 的关系式，进而求出{}n a 的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
16．【分析】根据递推关系式可证得数列为等比数列根据等比数列通项公式求得代入不等式结合可求得结果【详解】数列是以为首项为公比的等比数列由得：即且满足题意的最小正整数故答案为：【点睛】本题考查根据数列递推关 解析：11
【分析】
根据递推关系式可证得数列
}
1，代
入不等式，结合n *∈N 可求得结果. 【详解】
(
)
2
1411n n a a +=+=，1=，
)
12
1=，
∴数列}111=为首项，2为公比的等比数列， )
1
112n -+=⨯，)
1121n -=
⨯-，
由2
2020
n a ≥2020≥，即)
1
2
20211837n -≥
=⨯≈，
92512=，1021024=且n *∈N ，∴满足题意的最小正整数11n =.
故答案为：11. 【点睛】
本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求解.
17．27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为：27【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的
解析：27
【分析】
由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论． 【详解】
∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n n a a +-=，
又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，
21n a n -=，21n a n =-，
1916171819981027S S a a a -=++=++=．
故答案为：27． 【点睛】
易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22
n n a a a a +--=
=，则可说明{}n a 是等差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．
18．【分析】根据可求得的通项公式经检验满足上式所以可得代入所求利用裂项相消法求和即可得答案【详解】因为所以所以又满足上式所以所以所以数列的前10项和为故答案为：【点睛】解题的关键是根据求得的通项公式易错 解析：
5
32
【分析】
根据1(2)n n n a S S n -=-≥可求得n a 的通项公式，经检验，112a S ==满足上式，所以可得n a ，代入所求，利用裂项相消法求和，即可得答案. 【详解】
因为()2*
32n n n S n +=∈N ，所以2213(1)1352(2)22n n n n n S n --+--+=
=≥， 所以2213352
31,(2)22
n n n n n n n a S S n n -+-+=---≥==，
又11311
22
a S ⨯+=
==满足上式， 所以(
)*
31,n a n n N
=-∈，
所以111111(31)(32)3313+2n n a a n n n n +⎛⎫
== ⎪-+-⎝⎭
-，
所以数列11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前10项和为11111111115325582932323232
⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：5
32
【点睛】
解题的关键是根据1(2)n n n a S S n -=-≥，求得n a 的通项公式，易错点为，若11a S =满足上式，则写成一个通项公式的形式，若11a S =不满足上式，则需写成分段函数形式，考查计算化简的能力，属中档题.
19．【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得：所以数列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是
解析：1
3
【分析】
首先利用n S 与n a 的关系式，求数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求n T ，再利用n T 的最值求k 的最小值. 【详解】
当1n =时，2
111122S a a a =+=，解得10a =或11a =，
0n a >，11a ∴=，
当2n ≥，2
2
11122n n n
n n n S a a S a a ---⎧=+⎨=+⎩，两式相减后可得()()()22
1112n n n n n n S S a a a a ----=-+-，
整理后得：()()1110n n n n a a a a --+--=，所以11n n a a --=，
∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，即n a n =，
()()
11
2111221221n n n n n n b n n n n +++==-++++++， 2231
111111...21222223221n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1112121
n n +=
-+++ 111321
n n +=
-++， 数列{}n T 单调递增，当n →+∞时，13
n T →
对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，
()max n k T ∴>，即13k ≥,k 的最小值是1
3
.
故答案为：1
3
【点睛】
易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
20．【分析】有已知条件可得出时与题中的递推关系式相减即可得出且当时也成立【详解】数列是正项数列且所以即时两式相减得所以（）当时适合上式所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式属于一般题 解析：()2
41n +
【分析】
有已知条件可得出116a =，2n ≥时
()()2
*131()n n n N =-+-∈，与题中的递推关系式相减即可得出
()2
41n a n =+，且当1n =时也成立．
【详解】
数列}{
n a 2*
3()n n n N =+∈
4=，即116a =
2n ≥()()2
*131()n n n N =-+-∈
22n =+， 所以()2
41n a n =+（2n ≥ ）
当1n =时，116a =适合上式，所以()2
41n a n =+ 【点睛】
本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题．
三、解答题
21．（1）24n a n =-；（2）11,,1224⎛⎫⎛
⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
【分析】
（1）易知2
3n S n n =-，再利用通项与前n 项和关系11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.
（2）易得242
4323n n n
n n b --==⨯⨯，116
0b =-<，20b =，3n ≥时，0n b >，则n T 的最小值为1
6
-
，再根据对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，由()min 16
mf x ⎡⎤->⎣⎦求解. 【详解】
（1）因为()2
3f x x x =-，()n S f n =，
所以2
3n S n n =-，
当2n ≥时，()()2
1131n S n n -=---，124n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，112a S ==-，也满足24n a n =-， 故24n a n =-.
（2）因为24n a n =-，43n
n n
a b =⨯， 所以242
4323n n n
n n b --=
=⨯⨯，116
0b =-<，20b =， 当3n ≥时，0n b >，
故12T T =为n T 的最小值，n T 的最小值为1
6
-
， 因为对于任意*n ∈N ，总存在[]
2,4x ∈，使得()n T mf x >成立， 所以()min 1
6mf x ⎡⎤-
>⎣
⎦， 因为[]2,4x ∈，()2
239324f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝
⎭，
所以()[]2,4f x ∈-， 当0m >时，()min
16mf x ⎡⎤->⎣⎦，即126m ->-，解得1
12m >； 当0m <时，()min
16mf x ⎡⎤-
>⎣⎦，即146m ->，解得1
24
m <-， 0m =时，1
06
-
>，显然不成立. 故实数m 的取值范围为11,,1224⎛⎫⎛
⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
【点睛】
结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域
的子集 ．
22．（1）证明见解析，2n
n a n =-；（2）()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+
⎪⎝⎭
. 【分析】
（1）根据条件可得
11211
2n n n n a n a n n a n a n
++++-++==++，从而可证，所以数列{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列，得出答案. （2）由题意可得2121
2
n n n n n b a n ++==+，由错位相减法可得答案. 【详解】
（1）数列{}n a 满足111,21n n a a a n +==+-
11211
2n n n n a n a n n a n a n
++++-++∴
==++
即公比12,12q a =+=
∴数列{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列；
2n n a n ∴+=
（2）由题意，2121
2
n n n n n b a n ++=
=+ 所以12312335721
2222
n n n n S b b b b +=+++⋅⋅⋅+=
+++⋅⋅⋅+.........① 234113572121 (222222)
n n n n n S +--=+++++………② 由①－②，得
12323411357
2135721212222222222n n n n n n n S ++-+⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
23413111
121
2?··222222
n n n ++⎛⎫=
+++++- ⎪⎝⎭
()1
111122121512251222212
n
n n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯
-=-+⋅ ⎪⎝⎭
- 从而()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭
【点睛】
关键点睛：本题考查由递推公式求数列的通项公式和利用错位相减法求和，解答本题的关键是根据2121
2
n n n n n b a n ++=
=+得出求和的方法，利用错位相减法求和时计算要仔细，考查运算能力，属于中档题.
23．（1）条件性选择见解析，2n a n =；（2）1
931223n n M n -⎫⎫⎛⎛=-+⨯ ⎪ ⎪
⎝⎝⎭⎭
.
【分析】
（1）若选①，先求出12a =，由242n n n S a a =+可得1112
42n n n S a a +++=+，两式相减可
得()()1120n n n n a a a a +++--=，从而12n n a a +-=得出答案; 若选②，由12n n na S +=可得
1(1)2n n n a S --=，两式相减可得
11
n n a n a n
++=，由累乘法可得答案. (2)由（1）可得
13
log 1n b n =-，则
1
13n n b -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，于是1
123n n n n c a b n -⎫⎛==⨯ ⎪⎝⎭
，由错位相
减法可求和得出答案. 【详解】
（1）选①时，当1n =时，2
11142a a a =+，因为10a >，所以12a =， 由2
42n n n S a a =+，① 可得1112
42n n n S a a +++=+，②
②－①得，22
111422n n n n n a a a a a +++=-+-， 整理得22
11220n n n n a a a a ++---=，
所以()()1120n n n n a a a a +++--= 因为0n a >，所以12n n a a +-=，
所以数列{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列， 所以2n a n =； 选②时， 因为12n n na S +=①
所以当2n ≥时，1(1)2n n n a S --=②
①－②得：1(1)n n na n a +=+，即
11
n n a n a n
++= ①中，令1n =，得2124a a ==，2
1
2a a =适合上式 所以当2n ≥时，12
32
1123
21n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=
⋅⋅⋅⋅12322212321
n n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅⨯⨯=--- 又1n =，1221a ==⨯ 所以对任意*N n ∈，2n a n = （2）因为13
log 12
n
n a b =
-即13log 1n b n =-
所以1
13n n b -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，
于是1
123n n n n c a b n -⎫⎛==⨯ ⎪⎝⎭
，
2
1
11121462333n n M n -⎫⎫
⎛⎛=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪
⎝⎝⎭⎭
③
2
3
11111246233333n
n M n ⎫⎫⎫
⎛⎛⎛=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭④ ③－④得231
211111222222333333n n
n M n -⎫⎫⎫⎫
⎛⎛⎛⎛=+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎝⎝⎝⎭⎭⎭
⎭
1111212333n n
n -⎡⎤⎫⎫⎛⎛=⨯++⋯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭⎢⎥⎣⎦
1113221313
n
n
n ⎫⎛- ⎪⎫⎛
⎝⎭=⨯-⨯ ⎪⎝⎭-
所以1
931223n n M n -⎫⎫⎛⎛=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭
【点睛】
关键点睛：本题考查求数列的通项公式和应用错位相减法求数列的前n 项和，解答本题的关键是按照步骤求解，考查计算能力，由
2
1
11121462333n n M n -⎫⎫
⎛⎛=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪
⎝⎝⎭⎭
，得出
2
3
11111246233333n
n M n ⎫⎫⎫
⎛⎛⎛=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭
，两式相减再化简得出答案，属于中
档题.
24．（1）41n a n =-；（2）2(1)
n n
T n =+.
【分析】
（1）由已知列方程求出首项和公差，可得答案； （2）求出n S 及n b 的通项公式，由裂项相消求和可得答案. 【详解】
（1）∵313321S a d =+=①，51419a a d =+=② 由①②得13a =，4d =． ∴1(1)41n a a n d n =+-=-； （2）由（1）知41n a n =-，13a =，
()
234122
n n n S n n +-∴=
=+；
∴111112(1)21n n b S n n n n n ⎛⎫
===- ⎪+++⎝⎭
， ∴1111111
1122233412(1)n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、数列求和，解题关键点是求出数列的首项和公差以及裂项相消求和，考查了学生的基础知识、基本运算. 25．答案见解析. 【分析】
选①，设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，可求得数列{}n a 的通项公式，可求得n b ，进而可求得n T ；
选②，设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，可求得数列{}n a 的通项公式，可求得n b ，进而利用分组求和法可求得n T ； 选③，设等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式求出d 的值，可求得1a 的值，求出数列{}n a 的通项公式，可求得n b ，进而利用分组求和法可求得n T . 【详解】
解:选①，设数列{}n a 的公差为d ，则由47a =可得137a d +=，
由1a 、2a 、5a 成等比数列得()()2
1114a a d a d +=+，可得2
12d a d =，
所以，12
1372a d d a d +=⎧⎨
=⎩，解得170a d =⎧⎨=⎩或11
2a d =⎧⎨=⎩
， 若17a =，0d =，则7n a =，23n b =，23n T n =；
若11a =，2d =，则()1121n a a n d n =+-=-，212n
n b n =-+，
()()()()23123252212n
n T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦
()()23
135212222n n =+++
+-++++
+⎡⎤⎣⎦
()()1
2212
1212
2212
n
n n n n +-+-=+
=+--；
选②，设数列{}n a 的公差为d ，则由47a =可得137a d +=， 由525S =得154
5252
a d ⨯+
=，即125a d +=， 联立以上两式可得11a =，2d =，
所以，()1121n a a n d n =+-=-，212n
n b n =-+，
()()()()23123252212n
n T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦
()()23
135212222n n =+++
+-+++++⎡⎤⎣⎦
()()1221212122212
n
n n n n +-+-=+=+--；
选③，设数列{}n a 的公差为d ，则由47a =可得137a d +=，
()112n n n d S na -=+，()112n n d S a n -∴=+，()2
1122
n n d S a n ++∴=++， 由
222n n
S S n n
+-=+得2d =，则11a =， 所以，()1121n a a n d n =+-=-，212n
n b n =-+，
()()()()23123252212n n T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦
()()23
135212222n n =+++
+-+++++⎡⎤⎣⎦
()()1
2212
1212
2212
n
n n n n +-+-=+
=+--.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法
求和. 26．（1）12n n a ；（2）233
m <
. 【分析】
（1）根据题设中的递推关系有12n n a a -=，算出1a 后可求{}n a 的通项. （2）利用裂项相消法可求n T ，求出n T 的最小值后可得m 的取值范围. 【详解】
（1）因为(
)*
224n n S a a n N
=-∈，故1
1224n n S
a a --=-，
所以1244n n n a a a -=-即12n n a a -=，其中2n ≥，所以322a a =且212a a =， 因为1a ，2a ，31a -成等差数列，故21321a a a =+-即111441a a a =+-，故11a =且
10a ≠，
故0n a ≠，故1
2n
n a a -=即{}n a 为等比数列且公比为2，故12n n a .
（2）()()()()2222211111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫
===- ⎪-+-+⎝⎭
,
所以111111
1111213352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦， 因为0n b >，故{}n T 为增数列，故()1min 13n T T ==，故1323m
>即233
m <
. 【点睛】
方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.。