按图索骥,追根溯源——浅谈高中平面解析几何解题思路的拓展教学

按图索骥，追根溯源
—浅谈高中平面解析几何解题思路的拓展教学
桂小兵
(肥西县铭传高级中学安徽合肥231200)
摘要：高中阶段平面解析几何教学是教学的一个阶段性难点，在高考中的考查要求也比较高。

解析几何的特点是数与形的完美结合，学生可以用代数方法解决几何问题，亦可以将代数问题几何化，其中解题思路的拓展是解题中的重要环节。

我们可以通过分析几何元素之间的关系来拓展思路,通过点的产生、点的变化、线的移动等来分析变化过程，帮助学生拓展解题思路。

关键词：平面解析几何解题思路拓展几何元素解题素养
伟大的数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出,在解题活动中，首先分析清楚已知元素和未知元素,并找到已知元素与未知元素之间的关联。

当然，有时候二者的关联性并不明显，得不到二者的直接关联。

这时，我们需要引入一些辅助元素,或预设一些辅助问题，来沟通这些量之间的联系，从而得到一个求解问题的可行计划。

这里的数泛指已知元素，如几何中的点、线等。

解析几何解题时,求解计划的拟定是非常重要的，它是思路拓展的最终结果,这也就意味着，已知元素与未知元素的联系分析至关重要。

《普通高中数学课程标准(2017年版)》亦指出，在平面解析几何教学中，通过指引学生认真作图，分析几何图形特点，分析点的产也点的变化、线的移动的运动过程，形成解决解析几何问题的思路。

当然,在思路形成的过程中，会产生多种想法,要通过运算来看看哪一种想法更便捷。

同时，教师在教学现场，可以利用信息技术工具，向学生展示图形中点、线运动关联性，充分体会变化过程中的相互依赖、相互影响，体会参数的变化对整个曲线问题的影响,使学生理解它们之间的联系，并利用这些联系形成解题思路，拓展解题思路。

下面结合三个典型例题谈谈高中平面解析几何解题思路的拓展教学。

一、一线而连，按图索骥
典型例题1:已知抛物线C：/=—4$,过焦点F作一条斜率不为0的直线I与抛物线C交于两个不同的点，记为M、N。

连接OM、ON,直线y=—1分别与直线QW、ON交于A点和B点。

求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点。

解题思路拓展分析：
(1)教师利用几何画板软件，在课堂上分析关系并作出图形，从而演示点的产生及相互动态联系。

在作图时，要利用几何画板重点演示:直线斜率变化时，首先引起M、N点发生变化,从而引起直线OM、ON随之发生移动变化，最终引起A、B两点发生移动变化，此时以AB为宜径的圆自然亦在移动。

演示过程要简洁明了，相互影响与变化过程要清晰宜观。

动点M、N的运动变化受直线的位置影响,这个影响可以用宜线MN的斜率怡来刻画，改变怡的取值，直线MN的位置就会发生变化,M、N 两点就会相应的发生移动。

(2)A、B点是由宜线QM、ON与y=~l相交得到的，故M、N点移动时,A、B点也会随之变化。

反过来说，当怡确定时，宜线MN确定,M、N两点也确定了，直线OM、ON与y=—1相交的点A、B 也就随之确定了。

因而运动的根源在于直线MN 的相对位置变化，宜线MN的位置变化成为线索,
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按图索骥，追根溯源教硏探盍
且可以用斜率e来刻画。

从坐标运算的相互关系来说，点M、N、A、B都与参数怡有关，则它们都可以用怡来刻画，即可以表达为关于怡的表达式。

(3)引导学生利用k表达图形中的基本元素点、线。

设M(Zl，yi),NCc2，，2)，联立方程
I mn xy=kx—\
，得:r'+4虹一4=0。

所以工1+工2=一4怡，帀工2=—4。

(M、N点坐标与怡的关系)
直线OM：y=---x-j_x与y=—1联立得A(合1),同理可得B(£,—1)。

由于动点A、B两点坐标的移动受点M\N运动影响，传递下去，自然与k相关。

下面用圆的宜径式方程表达以AB为宜径的圆的方程。

G_£)G_2)+o+i)t
化简可得x2~(-+-)x+卫-+(y+iy= 0,
将Xi+d=—4怡=—4代入化简，可得re2—Mix.—4+(y+1)2=0,
再令乂=0,解得y=l或一3,即圆过y轴上的两个定点(0,1)和(0,—3)。

在整个求解过程中也的变化是整个图形运动变化的起源,顺着这条脉络走下去，结合A、B点的产生过程，用怡表达它们的代数关系，思路一线而连，连贯自然。

二、多点串联，寻根探源
典型例题2：设椭圆C：召+普=1的右焦点为Fo椭圆右顶点为A,在椭圆上任取一点BCB不为左、右顶点)，连接AB,记为2,直线厶垂直于直线2,并交直线I于点M,交y轴于点H。

若BF丄HF,且M9NMA,求直线2的斜率的取值范围。

解题思路拓展分析：
⑴教学过程中,先让学生作出图形的形状，发现有不少学生无法画出后面的M、H两点及相关直线侗时这也反映了学生没有把握几何图形的特点，没有追根溯源。

(2)利用几何画板给出一种参考作图顺序:作出AB,连接BF,过F作FH丄FB交y轴于H点,再过H点作HM丄AB交AB于M。

从这个作图顺序中可以看出，当B点确定好以后,BF就确定了，H点就确定了，继续往下,HM也就确定，因为要与AB直线垂直，所以M点确定了。

(3)利用几何画板移动宜线位置,B点变化，点
H、M也就随之变化，这便是运动的追根溯源，解题过程从图形的运动联系角度来表达就可以了。

教师在演示作图时，要强调通过作图顺序发现运动规律,并用动点动态变化展示相互之间的影响。

用直线I的斜率怡来表示B点坐标，联立直线
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AB•y=k(x—2)与椭圆专+刍=1,消去夕，得到方程(3+4段)/—16段工+16“一12=0。

所以A点横坐标与B点横坐标为上述方程的两个根。

…162—12
2°如=3+4P，
所以如=霁恭，则％=戏畚，此时B点
坐标用参数&表达。

接着表达宜线日尸皿阴=示占，则k HF=
42—9
12k9
4&2—9
(rc—1)，所以y H
_9_4"
=12k
I hf:y
9—4段I 再用k表达直线HM:y]2&=—~[x，直
线Z与A，所以%=爲;2笃,
9+20^2
要使得MO>MA，则和=転2笃，解得◎普或X—普。

在对B、H、M三个点的分析串联过程中必是整个过程中的线索，宜线的斜率变化是图形变化的
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2021年3月中第8期(总第72期)
起因。

在实际教学时采用几何画板动态演示变化过程,能够进一步加深学生的解题印象。

三、一脉相连，兵分两路
典型例题3：设椭圆C斗+首=1卫(1,号)点
为椭圆上一点,M、N为椭圆上异于P点的两个动点，且酢k PN=0,连接MN,记MN斜率为反求证:怡=~2°
解题思路拓展分析：
(1)教学过程中,首先设计一个绘图展示活动，学生认真审题,利用题干信息，绘制出本题的图像,并清晰地介绍自己的作图思路。

在活动过程中，学生之间可以相互交流、分享，培养其作图能力和准确表达信息的能力。

(2)师生亲密合作，教师利用刚刚的作图展示活动结果，并借助几何画板，绘制本题的动态展示课件。

作图时，要体现出直线PM与直线PN的对称性，即二者斜率互为相反数。

作图时，先作出动点M,利用对称性映射到直线PN,并找到动点N,即最终呈现出的效果是，当M点发生移动时,N点随之发生移动,二者密切联系，且一一对应。

此时，教师可以指出引起M点移动的关键，是直线PM的位置，可以用直线PM的斜率b来刻画。

当怡确定时,M点确定，结合点M、N一一对应性,N点亦确定，最终MN的斜率也就与〃相关。

这里的辅助元素k便体现了一脉相承。

⑶教师设计活动，兵分两路。

引入辅助元素直线PM的斜率氛
一方面，从M点的产生角度，用k来表达M点
o22
坐标。

直线PM。

一》=皿一1)与椭圆〒+晋T 联立，得到关于P点、M点坐标的一元二次方程：(3+42)；+8怡(—k+4P—12^—3—0?
比…_4^2—12^—3Rn_肪以允p•x M=—3+4&2—，即x m=
4段_12上_3_3
~3+4&2^yM=k—Ho
另一方面,从运算的类比性角度，用k来表达N点坐标。

教师在指出运算的类比性之前,让学生先借助M点的求解过程，表达出N点坐标。

学生
会经历相同的过程，直线PN ty——=—k(允一1) 22
与椭圆^+y=l联立，得到关于P点、N点坐标的一元二次方程：
(3+4k2)sc2—%(号+町允+42+12& —3=0,
所以力
4段+12怡一3
3+4段即x N
4“+12b—3
3+4P9y N=~kCx N—1)+》。

兀N
教师利用此时的最佳的时机，介绍运算的类比性,学生恍然大悟,定然会印象深刻。

(4)合二为一，直指目标。

整理兵分两路的结果，用怡表达MN的斜率：
7_yM~yN_kQx M+x N—2)_ =二=二=
昇8段—6\
"(3+4段$丿_1
—24b_¥°
3+42
教师利用辅助元素k,充分发挥题目的示范作用,在解题活动中,有助于学生形成多维角度的思维沟通和交流。

此外，它揭示了解析几何解题的元素关联性，通过解题实际体验，理解代数运算的类比性。

数学解题探索是一件有趣又奇妙的事情。

解析几何既有代数运算特征,又有几何图形特征,对数学能力要求较高。

在分析动态变化问题时，要学会追根溯源，从开始到结束,对全局变化有一个清楚的认识,逐步形成良好的解题素养。

参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[S：|.北京:人民教育出版社,201&
[2]G•波利亚.怎样解题:数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天，译.上海:上海科技教育出版社,2017.
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