【新结构】重庆康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断考试数学试题+答案解析

【新结构】重庆康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第
二次联合诊断考试数学试题❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在()
A.第一象限内
B.第二象限内
C.第三象限内
D.第四象限内
2.已知a，b是空间中的两条直线，则是的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知集合，，若，则()
A. B. C. D.
4.若函数在上单调递增，则的最小值为()
A. B. C. D.
5.已知等比数列满足：，且是与的等差中项，则()
A.32
B.2
C.1
D.
6.有男、女教师各1人，男、女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有()
A.10种
B.12种
C.15种
D.20种
7.已知圆，P是圆O外一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，若，则()
A. B.3 C. D.
8.设函数，点，，其中，且，则直线AB
斜率的取值范围是()
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数，且，则()
A.是奇函数
B.
C.的值域是
D.在上单调递减
10.英国经济学家凯恩斯研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派——凯恩斯学派.凯恩斯抽象出三个核心要素：国民收
入Y，国民消费C和国民投资I，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：其中
常数表示房租、水电等固定消费，为国民“边际消费倾向”.则()
A.若固定I且，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大
B.若固定Y且，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高
C.若，则收入增长量是投资增长量的5倍
D.若，则收入增长量是投资增长量的
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线
与C相交于点M，与C的一条渐近线相交于点记C的离心率为e，那么()
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某体育器材店在两个购物平台上均开设了网店，平台一有1万人给出评分，综合好评率为，平台二有2万人给出评分，综合好评率为，则这家体育器材店的总体综合好评率为__________.
13.将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的底面边长为1cm和2cm，则它的高为__________
14.记正项数列的前n项和为，若，，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题13分
如图，直棱柱中，底面ABCD为梯形，，且，E，F分别是棱AB，
AD的中点.
证明：平面平面
已知，，求直线与平面所成角的正弦值.
16.本小题15分
在中，内角
A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且若于点E，求AE的长;
若D为边BC的中点，，求
17.本小题15分
某商场推出“云闪付”购物活动，由于推广期内优惠力度较大，吸引了越来越多的顾客使用这种支付方式.现统计了活动刚推出一周内每天使用“云闪付”支付的人数，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用该支付方式的人数，统计数据如下表所示：
x1234567
y613254073110201
根据散点图判断，在推广期内，支付的人数y关于天数x的回归方程适合用表示.
求该回归方程，并预测活动推出第8天使用“云闪付”的人数的结果精确到
推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
支付方式云闪付会员卡其它支付方式
比例
商场规定：使用会员卡支付的顾客享8折，“云闪付”的顾客随机优惠，其它支付方式的顾客无优惠，根
据统计结果得知，使用“云闪付”的顾客，享7折的概率为，享8折的概率为，享9折的概率为设顾客购买标价为a元的商品支付的费用为X，根据所给数据用事件发生的频率估计相应事件发生的概率，写出
X的分布列，并求
参考数据：设，，，，
参考公式：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二
乘估计公式分别为：，
18.本小题17分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B是其左、右顶点，点P为C上
异于A，B的点，满足直线PA与PB的斜率之积为，的周长为
求椭圆C的方程;
直线l过点，与椭圆C交于D，E两点，当外接圆面积最小时，求直线l的方程.
19.本小题17分
已知函数
求的单调区间;
当时，，求实数a的取值范围;
已知数列满足：，且证明：
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查纯虚数的概念以及复数的代数形式的几何意义，属于基础题.
由已知求出a，得出即可判断.
【解答】
解：因为复数为纯虚数，所以，，
于是，它在复平面上的对应点的坐标为，位于第一象限内.故选
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分条件，必要条件判断，考查直线与直线的位置关系，属于基础题．
根据空间直线和平面的位置关系，利用充分条件和必要条件进行判断即可．
【解答】
解：空间内两条不同的直线a，b，
若""，"与b没有公共点"，即
若，即“a与b没有公共点"，不能推出“”，
因为a，b可能平行，也可能为异面，故空间内两条不同的直线a，b，
则是的必要不充分条件，
故选
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合间的关系，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
由题意可得，又，故，求解即可.【解答】
解：因为，所以
又
，
所以，解得，即
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查正弦型函数的单调型，属于基础题.
根据三角函数的单调性列不等式组，求解即可.
【解答】
解：令，，
则，
函数在上单调递增，
则，解得，
则的最小值为
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式，考查等差中项的概念，属于基础题.
根据已知条件列出方程组，求出该数列的首项和公比即可求出
【解答】
解：设等比数列的公比为q，则由已知可得，
解得：，所以
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分类加法计数原理，考查组合数的应用，属于基础题.
分有1名女教师及没有女教师两种情况，根据分类加法计数原理即可求解.
【解答】
解：①若有1名女教师，则选派方案有种.
②若没有女教师，则选派方案有种，
故不同的选派方案有种.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的数量积，直线与圆的位置关系，属于中档题.
设，则，，则，求解，可得【解答】
解：由题可知圆心，半径
设，，
，，
，
又，所以，
，
，
解得或舍
由题意可知为锐角，所以，，
所以
故选：
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查斜率公式、对数均值不等式，属于难题.
，令，可得根据，得
利用导数证明即可.
【解答】
解：，令，
则
由，得，
即，则
构造函数，
则
，
所以在上单调递减，
所以，即
所以，
即，即，即
因为，所以，
所以，即，
所以，
故直线AB斜率的取值范围是
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查指数型函数的性质，属于基础题.
对于A，直接利用函数奇偶性的概念求解即可；对于B，代入求值验证即可；对于C，结合基本不等式直接求解即可；对于D，任取，然后利用作差法分类讨论与0的大小关系即可.
【解答】
解：对于A，因为，所以的定义域为R，且，所以为偶函数，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，当且仅当，即时，取等号，故C正确；
对于D，任取，则，
若，则，，，故，此时在上单调递减，
若，则，，，故，此时在上单调递减，
故在上单调递减，D正确.
故选
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查函数模型的应用，考查函数的单调性，属于一般题.
对于A，由可得，判断单调性即可；对于B，由可得，判断时的单调性即可；对于C，由，可得，即可判断；对于D，，即可判断.
【解答】
解：对于A，由可得，
故
因为，所以a是关于Y的增函数，
所以国民收入越高，“边际消费倾向”越大，故A正确；
对于B，由可得，
即，
当时，I是关于a的减函数，
此时“边际消费倾向”越大，国民投资越高，故B错误；
对于C，由，可得，
当，则，即，
故收入增长量是投资增长量的5倍，故C正确；
对于D，当，，即，
收入增长量是投资增长量的，故D错误.
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义、渐近线与离心率，考查余弦定理，属于较难题.
由题意可得，，，对于A，根据结合离心率公式即可判断；对于B，由，可得，结合离心率公式即可判断；对于C，可得，代入双曲
线方程即可判断；对于D，由，，求出，，根据即可判断.
【解答】
解：由条件知，，，，
联立，可得，，，
对于A，，，
因为，所以，
即，，
所以，故A正确；
对于B，由，则有，
又，所以，故，即，
所以，B错误;
对于C，由，则，
因为M在C上，所以有，可得，
所以，故C正确；
对于D，由，，
解得，
由，即，解得，
所以，故D错误.
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查加权平均数的计算，属于基础题.
根据加权平均数的计算公式即可求解.
【解答】
解：这家体育器材店的总体综合好评率为
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查球与棱台的体积，属于基础题.
根据棱台的体积等于球的体积即可求解.
【解答】
解：半径为的球的体积为，
设正四棱台形状的铁锭的高为h，
则，
即，解得
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的前n项和及与的关系，考查利用导数研究函数的最值，属于中档题.
首先利用与的关系，求出，得到，然后构造函数利用导数研究其单调性，再根据的值的特征即可判断并求出的最小值.
【解答】
解：因为，并且，
所以当时，，；
当时，由，
得：，，
所以数列是首项为1，公差也为1的等差数列，
从而，
于是
构造函数，
因为，
所以当时，，递减，
当时，，递增，
又因为，
而，，
所以当且仅当时，取得最小值，最小值为
故答案为：
15.【答案】解：在中，E，F分别为AB，AD的中点，所以，因为平面，平面，
所以平面
因为，，
由题意，，
所以且，四边形为平行四边形，
故
因为平面，平面，
所以平面
因为EF，为平面中两相交直线，
所以平面平面
在中，，，，
所以，，则AD，DB，两两垂直，
以DA，DB，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图.
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，取，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为
【解析】本题考查面面平行的判断，考查向量法求直线与平面所成的角，属于中档题.
证明，，根据面面平行的判定定理即可证明；
建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
16.【答案】解：由及余弦定理，有，
由及正弦定理，有，
所以的面积，
从而，
在中，由正弦定理，有，所以
因为的面积，
所以
，，
解得或，
所以或
【解析】本题考查正余弦定理及三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式，属于一般题.
由余弦定理求出a，由正弦定理得，根据三角形面积公式及等面积法即可求解；
由正弦定理可得，故由，得，从而可求解.
17.【答案】解：由，得，
设，则
，，，
把样本中心点代入方程得，
所以，即，
其回归方程为，
当时，人.
的可能取值为：，，，a，
，，
，，
分布列如下：
X a
P
所以，购物的平均费用为：
【解析】本题考查非线性回归分析，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于一般题.
设，则，求出v关于x的回归直线方程，从而可得y关于x的回归方程，再代入即可求解；
的可能取值为：，，，a，求出对应的概率即可得分布列与期望.
18.【答案】解：，，设，有，
又，，
由题意，，，即，解得，
所以椭圆C的方程为
设直线，联立，得，
设，，，，
则，
，，
点到直线l的距离为，
面积
设外接圆半径为R，
由正弦定理，有
令，，则
令，，则，
因为，
所以，在上单调递增，
从而当，即时，R取最小值，即外接圆面积最小，
此时直线
l的方程为：
【解析】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，考查正弦定理及三角形面积公式，考查利用导数
研究函数的单调性与最值，属于难题.
由直线PA与PB的斜率之积为，可得，由的周长为6，可得，从而可得椭圆C的方程;
设直线，联立，设，，则，，，点到直线l的距离为，面积
设外接圆半径为R，故
，令，，则
，利用导数即可求解.
19.【答案】解：的定义域为，，
令，则
当时，
当
时，
所以，从而
，
故
在单调递增，在
上单调递增.
的单调递增区间为，
，无单调递减函数.
当时，由
，得
，即
令，
，则
，
①若
，即，
，
在单调递减，所以，不合题意;
②若
，即，
，
在单调递增，所以
，符合题意;
③若，即，
当时，，单调递增，
当，
，单调递减，所以
，不合题意.
综上
由题意，，
若
，则
，
，
由知，在
上单调递增，所以，
综上，若，则
因为，所以
，
由知，当
时，
取时，
所以，有所以
，
又，故
由知，
单调递减，所以
，
从而
，故
综上所述，
【解析】本题考查导数的综合应用，属于难题.
的定义域为
，
，令
，利用导数
即可求解；
转化为时，
，令
，
，对a 分类讨论即
可求解；
，可得
，
由知，当
时，
取
时，故，有
，即可证明
又
单调递减，
所以，即，累乘即可证
明。