3-4.4(直线与平面的位置关系)--线性代数PPT

3x 4 y z 10 0，且与直线 l1 :
x1 3
y3 1
z 2
相交.
答案： 1. 4x 6 y 3z 8 0;
2. x 1 y z 4 . 48 37 4
空间直线
空间直线
整理得 : x (4 3) y z (24 17) 0
由 (2，2，1) (1，4 3，) 0 解得： 10
7
代入 : x (4 3) y z (24 17) 0 化简： : 7x 2 y 10z 2 0 从而投影直线为：
l :
l与l 的夹角 称为l与的夹角.
则
n
s
l
s，n
2
s，n
2
， ，
s，n
2
s，n .
2
l
从而 sin s n
Am Bn Cp
sn
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
空间直线
例1 判定直线 l : x 1 y 2 z
1 2 2
与平面 : x 4 y z 1 0
过 M 作平面 与l1 垂直， 与l1的交点即为N.
M
l
N
i
l1 的方向向量
s1 1
j 1
k 2
9i 5 j 7k.
341
空间直线
过M(2,5,-2)且与l 垂直的平面
: -9(x - 2) +5(y - 5) +7(z + 2) = 0.
9x - 5y - 7z - 7 = 0. (1)
从而投影直线为
l :
7x 2 y 10z 2 0 2x 2 y z 11 0
空间直线
主要 1. 直线与平面的位置关系 内容 2. 平面束
练习: 1. 求过点P(1,1,2)及直线l : x 2 y 1 z 2
3 2 0 的平面方程.
2. 过点M (1,0,4)引直线 l，使它平行于平面
l 的方程 x 2 y 5 z 2 . 1 6 3
注： 在求交点N 的坐标时，也可将l1 化为的 参数方程:
x 1 9t
y
1 5t
z 1 7t
（2）
代如平面方程(1)而求得
空间直线
平面束
设直线 l 的方程为
A1 x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
的位置关系，若相交则求出交点与夹角.
解
直线的方向向量
s
(1，-2，2)，
平面的法向量
n
(1，4，
1)，
由
s
n
9
0
直线与平面相交.
(1) 设二者夹角为，则
sin s n
sn
9
18 9
1， 则 2
.
4
空间直线
(2) 直线 l 的参数方程：
x 1t
y
2
2t
z 2t
代入 : x 4 y z 1 0 得：
第四讲 空间直线
空间直线的方程
1. 点向式方程 2. 参数式方程 3. 一般式方程 点到直线的距离
直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 内容小结
三、直线与平面的位置关系
直线 l : x x0 y y0 z z0
m
n
p
平面 : Ax By Cz D 0
直线的方向向量：s (m，n，p)，点M0( x0，y0，z0 ) ，
9t 8 0 t 8 9
将其代入直线参数方程得
x 1，y 2，z 16
9
9
9
故交点为 (1，- 2，- 16) .
99 9
空间直线
例2 直线l 过点M(2,5,-2)且与直线
x y 2z 4 0
l1 :
3x 4y z
0
垂直相交，求l 的方程.

解 只需求出交点N的坐标即可.
4 1 3
: 2x 2 y z 11 0 上的投影 l .
解1 过直线l 作一平面与 垂
直，则 与 的交线 l 就是l
l
在 上的投影.
改写 l 的方程为
l:
x4 4
y5 1
y5 1
z
3
3
l
即
l:
x 4 y 24 0 3 y z 17 0
经过直线 l 的平面束方程：x 4 y 24 (3 y z 17) 0
7x 2 y 10z 2 0 2x 2 y z 11 0
空间直线
解2 如图
的法向：
i j n s n 4 1
22
k
3 (7，2，10)
1
n l
s l
则 : 7(x 4) 2( y 5) 10(z 2) 0
即 : 7x 2 y 10z 2 0
将直线l1 与的方程联立：
x y 2z 4 0
3x 4y z 0
9x y 7z 7 0
1 0 0 1
A
0 0
1 0
0 1
11
解得：x =1, y = -1, z =1.
这就是l1与 的交点 N 的坐标(1,-1,1).
空间直线
直线l 的方向向量
s MN = (-1,-6,3).
0 (1) 0(2)
则除(2)所表示的平面外，经过直线 l 的所有平
面都可以由下式表示
A1x B1 y C1z D1 ( A2 x B2 y C2z D2 ) 0 （3）
经过直线 l 的全体平面称为过直线 l 的平面束， 方程(3)称为经过直线 l 的平面束方程。
空间直线
例3 求直线 l : x 4 y 5 z 2 在平面
平面的法向量：
n
(
A，B，C
).
(1) l与平行
s
n
0
但
Ax0
By0
Cz0
D
0
；
n
s .M0 l
(2)
l
s
n
0且Ax0
By0
Cz0
D
0
；
(共面)
n
n
sl
s .M0 l
(3)
l与相交
s n 0.
l 与 的夹角:
空间直线
过 l 作一平面 与 垂直，则 与 的交线 l
称为 l 在 上的投影。