福建省仙游县第三教研片高三数学毕业班质量检查 理 新人教A版

2014年仙游县第三教研片毕业班质量检查
理 科 数 学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数21
log (2)
y x =
-的定义域为
A ．()∞+，2
B ．()32，
C ．()∞+，3
D ．()()∞+⋃，，332
2. 如图给出的是计算111
1
246
100
S =
++++
的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是
A ．100?i >
B ．100?i ≤ C.50?i > D ．50?i ≤
3. 仙游县共有义工60人，编号为01到60，现根据编号，用系统抽样 的方法抽取4人在五一小长假期间去仙门寺做保洁，已知抽出的前3人 是03号、18号、33号，那么最后一个被抽中的义工编号是 A ．60号 B ．48号 C ．45号 D ．59号
4. 已知A 是三角形ABC 的内角，则“2
2
cosA =
”是“2
2
sinA =
”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5. 若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,
x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩且x y 4z -=的最大值为
A ．12
B ．16
C ．0
D ．32
6. 已知正四棱锥ABCD OA AB OA 与底面，则中，=-ABCD O 所成角的正弦值等于
A
．
2
1
B C ．
2
2 D ．
13
7. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,2a a 7S 71014
==， ,则9a =
A ．-4
B ．4
C ．2-
D ．2
8. 已知函数()f x 是定义在
R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞上单调递减. 若实a
密---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
封----------------------------------------------------------------------------------------------
线
学校_____________________
考
号
___________________________
姓名 _____________________
班级________________________
满足()()1f 2a log f a log f 212≥⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+, 则a 的取值范围是 A ．[1,2] B ．10,2
⎛
⎤ ⎥⎝
⎦ C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．(0,2]
9. 如图抛物线方程为x 8y
2
=，圆0x 4y x 22=-+
的圆心为F ，过点F 斜率为2的直线与抛物线和圆相交于 A 、B 、C 、D 四点，则BC AD ⋅的值是
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
10. 已知()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数，
)(x g ≠，且
)()(x g a x f x ⋅=(0a >，且(1)(1)5
1),
(1)(1)2
f f a
g g -≠+=-，在有穷数列 ()(1,2,10)()f n n g n ⎧⎫=⎨⎬
⎩⎭
中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于15
16的概率是 A.
45 C.25 D.1
5
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11. 已知复数()()i 1i 1z -+=(i 是虚数单位),则z =____________.
12. 设常数a ∈R .若5
2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中7
x 项的系数为-15,则a =_______.
13. 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值是____________.
14. 已知函数22,0,
()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩
,若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 _________.
15. 设a 是已知的平面向量，向量a ，b ,c 在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题:
①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;
②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;
③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ; ④若→
a =2，存在单位向量
b 、
c 和正实数λ，μ,使λμ=+a b c ，则633≥+μ
λ
其中真命题是____________.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分13分)
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，角A 、B 、C 成等差数列 （Ⅰ）求B
(Ⅱ)若b=2,求△ABC 面积的最大值 17. (本题满分13分)
下图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天
（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）设Ｘ是此人停留期间空气质量优良的天数，求Ｘ的分布列与数学期望
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 18. .(本题满分13分)
在三棱柱ABC C B A -111中，A A 1⊥平面ABC ，A A 1 BC=22，点D 是BC 的 中点。

（Ⅰ）求证：B A 1∥平面D AC 1
（Ⅱ）在棱BC 上是否存在一点P ，使平面1APC 与平面A 1所成二面角（锐角）的余弦值为3
3
？若存在，确定P 明理由。

19. （本小题满分13分） 已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆C 过点)2
3,1(Q
，且点Q 在x 轴的射影恰为该椭圆的一个焦点F 1. （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）命题：“关于双曲线C 的命题为：过双曲线13
22
=-y x 的焦点F 1（2，0）作与x
轴不垂直的任意直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则
|
||
|1M F AB 为定值，且定值是.3”命题中涉及了这么几个要素；给定的圆锥曲线E ，过该圆锥曲线焦点F 的弦AB ，AB 的垂直平分线试类比上述命题，写出一个关于椭圆C 的类似的正确命题，并加以证明：
（III ）试推广（II ）中的命题，写出关于圆锥的曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一
的一般性命题（不必证明）.
20.（本小题满分14分）设函数()(,,)n
n f x x bx c n N b c R +=++∈∈.x
e x g x 1
4)(-=,]2,1[∈x
（Ⅰ）设2n ≥，1,
1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，[]2,1x ∈有)(|)()(|21x g x f x f ≤-，求b 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内的零点，判断数列23,,,n
x x x 的增减性。

21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如
果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=11为矩阵=
A ⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-411a 属于特征值λ的一个特征向量． （Ⅰ）求实数λ,a 的值； （Ⅱ）求矩阵A 的逆矩阵.
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轻为极轴，建立极坐标系.曲线C
的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21,233（t 为参数）， (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 普通方程;
(Ⅱ)M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求|MN|的最小值. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
|1|||)(++=x x x f 的最小值为m （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）m z y x R z y x =++∈332,,,且求2
2
2
z y x ++的最小值.
2014年仙游县第三教研片毕业班质量检查答题卡
理 科 数 学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.________
2.________
3.________
4.________
5.________
6.________
7.________
8.________
9.________ 10. ________
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11.________ 12.________ 13.________ 14.________ 15.________ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分13分)
17. (本题满分13分)
18. .(本题满分13分密---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
封----------------------------------------------------------------------------------------------
线
学校_____________________
考号
___________________________
姓名 _____________________
班级________________________
19. （本小题满分13分）
20. （本小题满分14分）
21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如
果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题
号涂黑，并将所选题号填入括号中．
2014年仙游县第三教研片毕业班质量检查参考答案及评分标准
理科数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.C
7.B
8.C
9.B 10.A
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11.2 12.-3 13.2
2
-
14.[]0,2- 15.①②④ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解: （Ⅰ）∵角A 、B 、C 成等差数列
∴2B=A+C …………………………2分 ∵A+B+C=π ∴ B=
3
π
…………………………4分 (Ⅱ)由余弦定理得4=3
cos 22
2πac c a -+…………7分
∵2
2
c a +≥ac 2
∴ac ≤4 当且仅当2==c a 时，等号成立…………10分 ∴△ABC 面积S=
B ac sin 2
1
≤3 即 △ABC 面积的最大值为3 ………… 13分 17. 解: 设i A 表示事件“此人于5月i 日到达该地”（i=1，2，…，13） 依据题意P （i A ）=
13
1
，i A ⋂j A =∅（i ≠j ） （Ⅰ）设B 表示事件“此人到达当日空气质量优良” P （B ）=
13
6
…………3分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2
P （X=0）=
135 P （X=1）=134 P （X=2）=13
4
…………6分
∴X 的分布列为
……8分
∴X 的数学期望为E （X ）=
13
12
…………11分 （Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大。

…………13分 18. （Ⅰ）证明： 连接C A 1，设与1AC 交于点E ，连接X 0
1
2 P
13513
413
4
在△BC A 1中，E 为C A 1的中点，D 为BC 的中点
∴ED ∥B A 1 ………………3分 ∵B A 1⊄平面D AC 1 ED ⊂平面D AC 1
∴B A 1 ∥平面D AC 1 ………………5分
（Ⅱ）当点P 为棱BC 的中点时，平面1APC 与平面AB A 1所成二面角（锐角）的余弦值为
3
3
………6分 证明：∵A A 1⊥平面ABC
又∵AB=AC =2， BC=22
∴AB ⊥AC
以A 为顶点建立如图所示空间直角坐标系A-xyz …………7分 设P(x,y,0)
由λ=,(0≤λ≤1)得P(2-2λ，2λ,0) ∴=((2-2λ，2λ,0) 1AC =(0，2，2) 设平面1ADC 的法向量1n =（x,y,z ）可求1n =（1-11
-，，λλ）…………10分 平面AB A 1的法向量2n =（0，1，0）
3
3
=
可得λ=21
即点P 为棱BC 的中点时，平面1ADC 与平面AB A 1所成二面角（锐角）的余弦值为
3
3
………………13分
19. （I ）13
42
2=+y x …………4分 （II ）关于椭圆C 的类似命题为：“过椭圆13
42
2=+y x 的一个焦点F 作与x 轴不垂直的
任意直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则
|
|||FM AB 为定值，且定值是4”
…………6分 证明如下： 由于l 与x 轴不垂直，可设直线l 的方程为)1(-=x k y
①当0≠k 时，由.01248)43(),1(,13422222
2=-+-+⎪⎩
⎪⎨⎧-==+k x k x k x k y y x 得 依题意l 与C 有两个交点A 、B ， 所以.0>∆
设),,(),,(2211y x B y x A 则,43124,4382
2212221k k x x k k x x +-=+=+ ,436)2(22121k
k x x k y y +-=-+=+ 所以线段AB 的中点P 的坐标为),433,434(222k
k k k +-+ …………8分 AB 的垂直平分线MP 的方程为：).434(14332
2
2k k x k k k y +--=++ 令y=0，解得,4322k
k x +=即),0,43(22k k M +-所以.43)1(3||221k k M F ++=……9分 又2212221221))(1()()(||x x k y y x x AB -+=-+-=
2122124)(1x x x x k -+⋅+=
,43)1(12)43124(4)438(12222222
2
k k k k k k k ++=+---+⋅+= 所以.4|
|||1=M F AB …………10分 ②k =0时，易得结论成立。

综上所述,结论成立.
（III ）过圆锥曲线E 的焦点F 作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线l 交E 于A 、B
两点，线段AB 的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M ， 则|
|||FM AB 为定值，定值是e 2（共中e 为圆锥曲线E 的离心率）…………13分
20. 解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f n (x )＝x n
＋x －1. ∵f n (
12)f n (1)＝11()1022
n -⨯<， ∴f n (x )在(12
，1)内存在零点． 又当x ∈(12
，1)时，f n ′(x )＝nx n -1＋1＞0， ∴f n (x )在(12
，1)上是单调递增的， ∴f n (x )在(12，1)内存在唯一零点．…………4分 (2)当n ＝2时，f 2(x )＝x 2
＋bx ＋c . x e x g x 14)(-=,]2,1[∈x ,21;)1(4)(x x e x g x -=-,可知,在[1,2]上,)(x g 是单调递增,则其最小值为4)1(=g
对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤)(x g 恒成立,等价于f 2(x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.
据此分类讨论如下： ①当||12
b
>，即|b |＞2时，M ＝|f 2(1)－f 2(－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾． ②当－1≤2b -
＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f 2(1)－f 2(2
b -)＝(2b ＋1)2≤4恒成立． ③当0≤2b -≤1，即－2≤b ≤0时，M ＝f 2(－1)－f 2(2b -)＝(2b －1)2≤4恒成立． 综上可知，－2≤b ≤2.…………………9分
(3)设x n 是f n (x )在(12
，1)内的唯一零点(n ≥2)， f n (x n )＝n n x ＋x n －1＝0，f n ＋1(x n ＋1)＝11n n x ++＋x n ＋1－1＝0，x n ＋1∈(
12，1)． 于是有f n (x n )＝0＝f n ＋1(x n ＋1)＝11n n x ++＋x n ＋1－1＜1n n x +＋x n ＋1－1＝f n (x n ＋1)，
又由(1)知f n (x )在(12
，1)上是递增的， 故x n ＜x n ＋1(n ≥2)．
所以，数列x 2，x 3，…，x n ，…是递增数列．………………14分
21. (1)解：（Ⅰ）由114a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭11⎛⎫ ⎪⎝⎭
=λ11⎛⎫ ⎪⎝⎭得：114a λλ+=⎧⎨-+=⎩ 2,3a λ∴== ……4分 （Ⅱ）由(Ⅰ) 知 =A 1214⎛⎫ ⎪-⎝⎭
||1426A ∴=⨯+=
=-1A 1||A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1124=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-61613132…………………… 7分
（2）（本小题满分7分）选修4—4；坐标系与参数方程
本小题主要考查圆的极坐标方程、直线的参数方程、直线与圆的位置关系等基础知识，
考查运算求解能力，考查数形结合思想、归化与转化思想，满分7分.
解：(Ⅰ)化极坐标方程为θρcos 4=为直角坐标方程0422=-+x y x ，
所以曲线C 是以（2，0）为圆心，2为半径的圆. …………2分 化参数方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21,233（t 为参数）为普通方程.033=+-y x …4分 （Ⅱ）圆心到直线l 的距离,2
531|
32|=++=d 所以|MN|的最小值为.21225=- …7分 （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力.满分7分. (Ⅰ)1|1|)(=++-≥x x x f ,所以)(x f 的最小值为1，即1=m ……3分
（Ⅱ）由柯西不等式得：
).)(332()332(2222222z y x z y x ++++≤++,1332=++z y x
,221222≥
++∴z y x 当且仅当22
3,111,332=====z y x z y x 即时，等号成立， 222z y x ++∴的最小值为.221 …………7分。