加权总体最小二乘平差的改进算法

加权总体最小二乘平差的改进算法
闫国庆;孙同贺
【摘要】当观测向量和系数矩阵不等精度时,利用系数矩阵元素和观测向量之间的映射关系,通过误差传播定律推导了系数矩阵的协因数阵,算例结果表明,改进的加权总体最小二乘法能够得到正确、合理的参数,且本文方法简单、实用.
【期刊名称】《北京测绘》
【年(卷),期】2016(000)001
【总页数】3页(P129-131)
【关键词】误差传播定律;属性映射理论;加权总体最小二乘;协因数
【作者】闫国庆;孙同贺
【作者单位】江门市勘测院,广东江门529000;内蒙古科技大学矿业与煤炭学院,内
蒙古包头014010
【正文语种】中文
【中图分类】P207+.2
1 引言
经典Gauss－Markov模型仅假设观测向量含有随机误差，但在许多实际问题中，如直线拟合、坐标转换、GPS高程拟合、变形监测、大地测量反演等函数模型中，观测向量和系数矩阵都由观测数据组成，两者都含有随机误差，这种同时考虑观测向量和系数矩阵的方法被称为总体最小二乘法（total least squares，TLS）。

总
体最小二乘的思想最早出现在19世纪，文献［1］从数值分析的角度给出了解算
总体最小二乘的奇异值分解法（singular value decomposition，SVD）和几何
解释；文献［2］对带有等式约束的总体最小二乘法进行了研究；文献［3］推导
了加权总体最小二乘的拉格朗日迭代算法；但是，它们仅研究了观测向量和系数矩阵独立等精度的情况。

对于观测向量和系数矩阵不等精度的情形，文献［4］将设计矩阵A的协因数阵分解为两个可逆矩阵的Kronecker积形式；文献［5］则给
出了构造设计矩阵的协因数阵Q A的准则。

然而，上述两种构造设计矩阵协因数
阵的方法，都难以用计算机编程实现，尤其在观测向量和系数矩阵间的关系较复杂的情况。

本文利用矩阵的属性映射理论，从测量平差角度出发，应用协因数传播定律求出QA。

2 改进的加权总体最小二乘算法
同时考虑观测向量和系数矩阵的EIV（errors in variables，EIV）模型为：
式中，y∈Rn×1为观测向量，A∈Rn×m 为系数矩阵，ξ∈Rm×1 为参数向量，
ey ∈Rn×1 、E A ∈Rn×m分别为观测向量和系数矩阵的随机误差。

随机模型为：
关于系数矩阵定权比较成熟的方法是QA构造法，将QA分解为两个可逆矩阵的Kronecker积形式［4］，即
式中，e A＝vec（E A）是指将矩阵E A按列从左到右顺序拉直，σ20为未知的单位权方差，Q 0∈分别为观测向量和系数矩阵列向量后的协因数阵，P y∈Rn×n 、P A ∈Rmn×mn 为相应的权阵。

加权总体最小二乘的平差准则为：
然而，系数矩阵A中的元素可以是常数，也可以是观测值的线性组合，也有部分元素是观测值的非线性组合，如在GPS高程拟合中，系数矩阵A中的元素既包含常数，又包含观测值的一次函数和二次函数，此时系数矩阵不再是线性关系。

本文仅考虑线性形式，即仅考虑A的元素为常数或观测值的线性组合［6］。

从而有：
其中x 0表示观测值的真值向量，ex表示输入向量的真误差，有x＝x 0＋ex。

Aij 表示矩阵A的第i行第j列的元素，vec A ij是将矩阵A中的元素按列从左到右顺序拉直，Jij表示矩阵vec A ij中逐个元素对观测值向量的雅可比行列式，利用矩阵的属性映射理论［7］，有
根据协因数传播定律［8］，则
式中，Qx是观测值的协因数阵。

将式写成矩阵形式，则
当观测向量和系数矩阵相关，增广矩阵B＝［Ay］的协因数阵为
根据文献［5］，WTLS迭代法求解过程：
（1）按照本文所述方法求系数矩阵的协因数阵QA。

（4）重复（3），直至迭代终止。

（5）由重新构造
3 算例分析
本文以文献［9］中的真实数据作为样本观测值（表1），假设直线方程为y＝a＋bx。

表1 观测向量和权点号 x i P xi y i P y i 1 0．0 1000 5．9 1．0 2 0．9 1000 5．4 1．8 3 1．8 500 4．4 4．0 4 2．6 800 4．6 8．0 5 3．3 200 3．5 20 6 4．4 80 3．7 20 7 5．2 60 2．8 70 8 6．1 20 2．8 70 9 6．5 1．8 2．4 100 10 7．4 1．0 1．5 500
为了检验本文所提的WTLS改进算法的正确性，参照文献［4］和文献［5，10］的方法，分别构造系数矩阵的协因数阵QA，并将三种结果列于表2。

文献［4］方法：
文献［5］方法：
本文方法：
表2 直线拟合参数参数真值文献［4］WTLS算法文献［5］WTLS－0．4805334366728 b＾5．479910 5．4799107998864 5．4799105871097 5算法本文算法a＾－0．480533－0．480533477684－0．4805334366728．4799105871097
利用协因数传播定律求出的系数矩阵的协因数阵QA ，与文献［4］和文献［5，10］构造的QA完全一样，求出的回归参数与真值一致，这充分说明了本文所采
用的方法是正确的。

3 结论
（1）本文利用矩阵属性的映射理论，将系数矩阵与观测向量联系起来，利用协因数传播定律推导了系数矩阵的协因数阵QA，相比其他两种构造QA的方法，该方法简单、实用，并通过实例进行了验证。

（2）本文仅考虑了系数矩阵A的元素为常数或观测值的线性组合，当A的元素为观测值的非线性函数时，如何应用误差传播定律推导系数矩阵的协因数阵QA，将是今后重点研究的内容。

参考文献
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