棱锥的概念和性质1[1]22页PPT
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面的 距离分别为2、3、6，求这点与三棱锥顶点的距离。 3、正六棱锥S-ABCDEF,求侧面SAB、SBC所成角的取值范围。
4、已知四棱锥V-ABCD的高为h，底面是菱形， 侧面VCD和侧面VDA的夹角是60°，且均垂直 于底面，另两个侧面与底面的夹角都是45°， 求这个四棱锥的表面积。
5：正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高 2a,求此正三棱锥的全面积。
求证：SC⊥面MAB
例4：三棱锥 S-ABC 的底面是边长为 4 2 ,
的正三角形，SC长2，且垂直于底面，E、 D分别为BC、BA的中点。 求：异面直线CD、SE所成角的大小
例5：设三棱锥P—ABC的顶点P在 面ABC上的射影为O，求证：
(1) 若侧棱PA、PB、PC与底面所成 的角相等，则O是△ABC的外心
棱锥
棱锥的概念 定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点
的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
棱锥各部 S
棱锥的顶点
分的名称
棱锥的侧棱
棱锥的高
D
棱锥的侧面
EO AB
C
棱锥的底面
棱锥的分类：
根据底面多边形的边数 可分为三棱锥、四棱锥、 S 五棱锥……
D O
A
C M B
例 :已 知 棱 锥 P — A B C D E 中 ， 平 面 平 行 平 面 A C ， 且 截 棱 锥 得 多 边 形 A 1B 1C 1D 1E 1,P H平 面 A CHP HH 1 ， 求 证 ：
6：在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为边 长为a的正方形，△VAD为正三角形，且面 VAD⊥底面ABC 求此四棱锥的全面积。
谢谢！
⑴侧棱和高被这个平面分成比例线段；
⑵截面和底面是相似多边形；
⑶截面面积和底面面积之比等于顶点 到截面与顶点到底面的距离平方之比。
例 2：
一棱锥底面面积为80，平行于底 面的截面面积为45，底面与这截 面的距离为6，求高。
例3：三棱锥 S-ABC 中，S在底面上的射影N位 于底面的高CD上，M是侧棱SC上一点，使 截面ABM与底面所成的二面角的平面角等 于∠NSC.
正棱锥的基本性质
1、各棱相等，各侧面是
全等的等腰三角形。
S
2、正棱锥的侧棱、高、
斜高和斜高在底面上的
D
E
O
G
AB
射影组成四个直角三角 形。
C F
正棱锥中的基本图形
推广到一般正棱锥中都存在这 个小 三棱 锥， 它是正棱 锥中的基 本 S
图形 ，是 正棱 锥的关键 部分。它 集
中反 映了 正棱 锥的线面 关系，将 正
棱 锥 中 基 本 量 L ， h， h ′ ， a ， R ， r， 以及 侧棱 与底 面所成角 ，侧面与 底 h
面所 成的 角， 通过四个 直角三角 形
有机 地联 系在 一起，因 而解题时 可
r
将题 目中 各量 转化进这 个小三棱 锥 O
中进行计算。
R
h’
aM
B2
正棱锥的侧面积
S正棱锥侧 12ch'
（ 1 ） P H 1P A 1P B 1P C 1P D 1P E 1 P H P A P B P C P D P E
(2)截面A1B1C1D1E1∽ 截面ABCDE
(3) SA1B1C1D1E1 PH12
α
SABCDE PH2
棱锥的基本性质：
如果一个棱锥被平行与底面的一个平 面所截，那么
(2) 若侧面PAB、PBC、PCA与底 面所成的二面角相等，且O在 △ABC的内部，则O是△ABC的 内心
(3) 若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为 △ABC的垂心
本例说明了三棱锥的顶点在底面上的射影与侧棱、
侧面、底面所成角之间的联系
类似还有：
P AP BPC O 为 AB 的 C外心
P到AB、BC、CA的距离相等 O在 且ABC内部 O是ABC的内心
PABPAC PBAPBC
PCAPCB
P、 A P、 B P两 C 两 O 为 垂 A直 的 BC 垂
正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多边形， 并且顶点在底面上的射影是底面的 中心，这样的棱锥叫正棱锥。
（4）侧面与底面所成的角； S
D
O A
C M B
例8:已知：正三棱锥V－ABC，VO
为高，AB＝6，VO＝6 . 求: 侧棱长及斜高。
V
A
C
D
O
B
例9、已知棱锥的中截面把棱锥截成两部 分，试求这两部分的侧面积之比。
课堂练习 1、正方体的八个顶点中，有四个恰为正四面体的顶点，
求正方体的全面积与正四面体的全面积之比。 2、三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，底面内一点到三个侧
其中为正棱锥底面的周长h‘为 ，斜高
例6.判断题: ①侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥. ②正四面体是四棱锥. ③侧棱长相等的棱锥是正棱锥. ④各面是全等的等腰三角形的三棱锥是正四面体. ⑤各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥. ⑥侧棱长相等、各侧面与底面所成的角相等的棱
锥是正棱锥。
例7：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，斜高为2。 求：（1）侧棱长； （2）棱锥的高； （3）侧棱与底所成的角的正切值；
4、已知四棱锥V-ABCD的高为h，底面是菱形， 侧面VCD和侧面VDA的夹角是60°，且均垂直 于底面，另两个侧面与底面的夹角都是45°， 求这个四棱锥的表面积。
5：正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高 2a,求此正三棱锥的全面积。
求证：SC⊥面MAB
例4：三棱锥 S-ABC 的底面是边长为 4 2 ,
的正三角形，SC长2，且垂直于底面，E、 D分别为BC、BA的中点。 求：异面直线CD、SE所成角的大小
例5：设三棱锥P—ABC的顶点P在 面ABC上的射影为O，求证：
(1) 若侧棱PA、PB、PC与底面所成 的角相等，则O是△ABC的外心
棱锥
棱锥的概念 定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点
的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
棱锥各部 S
棱锥的顶点
分的名称
棱锥的侧棱
棱锥的高
D
棱锥的侧面
EO AB
C
棱锥的底面
棱锥的分类：
根据底面多边形的边数 可分为三棱锥、四棱锥、 S 五棱锥……
D O
A
C M B
例 :已 知 棱 锥 P — A B C D E 中 ， 平 面 平 行 平 面 A C ， 且 截 棱 锥 得 多 边 形 A 1B 1C 1D 1E 1,P H平 面 A CHP HH 1 ， 求 证 ：
6：在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为边 长为a的正方形，△VAD为正三角形，且面 VAD⊥底面ABC 求此四棱锥的全面积。
谢谢！
⑴侧棱和高被这个平面分成比例线段；
⑵截面和底面是相似多边形；
⑶截面面积和底面面积之比等于顶点 到截面与顶点到底面的距离平方之比。
例 2：
一棱锥底面面积为80，平行于底 面的截面面积为45，底面与这截 面的距离为6，求高。
例3：三棱锥 S-ABC 中，S在底面上的射影N位 于底面的高CD上，M是侧棱SC上一点，使 截面ABM与底面所成的二面角的平面角等 于∠NSC.
正棱锥的基本性质
1、各棱相等，各侧面是
全等的等腰三角形。
S
2、正棱锥的侧棱、高、
斜高和斜高在底面上的
D
E
O
G
AB
射影组成四个直角三角 形。
C F
正棱锥中的基本图形
推广到一般正棱锥中都存在这 个小 三棱 锥， 它是正棱 锥中的基 本 S
图形 ，是 正棱 锥的关键 部分。它 集
中反 映了 正棱 锥的线面 关系，将 正
棱 锥 中 基 本 量 L ， h， h ′ ， a ， R ， r， 以及 侧棱 与底 面所成角 ，侧面与 底 h
面所 成的 角， 通过四个 直角三角 形
有机 地联 系在 一起，因 而解题时 可
r
将题 目中 各量 转化进这 个小三棱 锥 O
中进行计算。
R
h’
aM
B2
正棱锥的侧面积
S正棱锥侧 12ch'
（ 1 ） P H 1P A 1P B 1P C 1P D 1P E 1 P H P A P B P C P D P E
(2)截面A1B1C1D1E1∽ 截面ABCDE
(3) SA1B1C1D1E1 PH12
α
SABCDE PH2
棱锥的基本性质：
如果一个棱锥被平行与底面的一个平 面所截，那么
(2) 若侧面PAB、PBC、PCA与底 面所成的二面角相等，且O在 △ABC的内部，则O是△ABC的 内心
(3) 若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为 △ABC的垂心
本例说明了三棱锥的顶点在底面上的射影与侧棱、
侧面、底面所成角之间的联系
类似还有：
P AP BPC O 为 AB 的 C外心
P到AB、BC、CA的距离相等 O在 且ABC内部 O是ABC的内心
PABPAC PBAPBC
PCAPCB
P、 A P、 B P两 C 两 O 为 垂 A直 的 BC 垂
正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多边形， 并且顶点在底面上的射影是底面的 中心，这样的棱锥叫正棱锥。
（4）侧面与底面所成的角； S
D
O A
C M B
例8:已知：正三棱锥V－ABC，VO
为高，AB＝6，VO＝6 . 求: 侧棱长及斜高。
V
A
C
D
O
B
例9、已知棱锥的中截面把棱锥截成两部 分，试求这两部分的侧面积之比。
课堂练习 1、正方体的八个顶点中，有四个恰为正四面体的顶点，
求正方体的全面积与正四面体的全面积之比。 2、三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，底面内一点到三个侧
其中为正棱锥底面的周长h‘为 ，斜高
例6.判断题: ①侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥. ②正四面体是四棱锥. ③侧棱长相等的棱锥是正棱锥. ④各面是全等的等腰三角形的三棱锥是正四面体. ⑤各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥. ⑥侧棱长相等、各侧面与底面所成的角相等的棱
锥是正棱锥。
例7：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，斜高为2。 求：（1）侧棱长； （2）棱锥的高； （3）侧棱与底所成的角的正切值；