河南省周口市2010届高三数学上学期期末调研(文)人教版

河南省周口市2010届高三上学期期末调研（数学文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数)4(log 5.0x y -=的定义域是（ ）
A ．)4,(-∞
B ．[3，4]
C ．（3，4）
D ．[3，4)
2．“4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行 ”的（ ）
.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件
.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件
3．{}n a 是等差数列，满足10041006OC a OA a OB =+，而AB AC λ=，则数列{}n a 前2009
项之和2009S 为（ ）
A ．2009
B ．
2009
2
C ．2010
D ．1005
4．设有直线m ，n 和平面α，β，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，m
n P =，则//αβ
②若m ，n 异面，m α⊂，//m β，n β⊂，//n α，则//αβ ③若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥
④若αβ⊥，m β⊥，且m α⊄，则//m α 其中正确的命题有：（ ）
A ．①③
B ．①②
C ．②④
D ．③④ 5．将函数x y 2log =的图象按向量a 平移后，得到4
1
log 2+=x y 的图象，则 ：
A ．a =（1，2）
B ．a =（1，－2）
C ．a =（－1，2）
D ．a =（－1，－2）
6.函数2
2
3
)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为（ ） A. )11,4(- B. )3,3(- C. )3,3(-或)11,4(- D.不存在
7. 把函数x x y sin cos 3-=的图象向左平移)0(>m m 个单位，所得图象关于y 轴对
称，则m 的最小值为（ ）
A ．
65π B ．6π C ．3π D ．6
π- 8．若直线0(022>=+-a by ax ，)0>b 被圆01422
2
=+-++y x y x 截得的弦长为
4，则
b
a 1
1+的最小值为（ ） A ．1 B ．12 C ．4 D ．16
9. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切，且该球的体积为4
3
π，则这个
正三棱柱的体积为（ ）
A ．
6
3
B ．38
C ．3
D ．63 10.将6名同学分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么不同的分配方案有（ ）
A.35
B.50
C.55
D.70
11. 设M 是ABC ∆内任一点，且23AB AC ⋅=30BAC ∠=，MBC ∆、MAC ∆、MAB ∆ 的面积分别为x 、y 、z ，且1
2
z =，则在平面直角坐标系中，以,x y 为坐标的点(),x y 的轨迹图形是（ ）
12．如图，过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若||2||BF BC =，且
3||=AF ，则此抛物线的方程为（ ）
A ．x y 232
= B ．x y 2
9
2= C ．x y 32= D ．x y 92=
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．向量)5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 夹角为锐角,则λ的范围为_________；
14
．在(
2n x -的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是______．
15．如图：目标函数z kx y =-的可行域为OEFG （含边界），若点24
(,)35
是目标函数的最优解，则k 的取值范围是________.
16．下列说法:① 存在θ角使2
3cos sin >
+θθ； ②已知直线l 的倾斜角为θ，则直线l 关于x 轴对称直线的倾斜角为θπ-； ③当1≥a 时，不等式a x x <-+-|3||4|的解集非空; ④集合}31|{<<-∈=x N x A 的子集的个数是8；
⑤抛物线2
2x y =的焦点坐标是)2
1,0(.其中正确的命题有 .三．解答题：本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）
已知ABC ∆中，0
1,120,AC ABC BAC θ=∠=∠=，记()f AB BC θ=⋅.
（1）求()f θ关于θ的表达式； （2）求()f θ的值域.
Ａ
Ｂ Ｃ
120°
θ
18．（本小题满分12分）
在某次世界杯上，巴西队遇到每个对手，战胜对手的概率为12，打平对手的概率为1
3
，输的概率为
1
6
，且获胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.已知小组赛中每支球队需打三场比赛，获得4分以上(含4分)即可小组出线.
（1）求巴西队小组赛结束后得5分的概率； （2）求巴西队小组赛未出线的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，已知ABCD 是直角梯形，︒=∠90ABC ，
BC AD //，1,2===BC AB AD ，PA ⊥平面ABCD ．
(1) 证明：CD PC ⊥；
(2) 在PA 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，找出点E ，并证明：BE ∥平面PCD ；若不存在，
请说明理由；
（3）若2=PA ，求二面角C PD A --的余弦值．
20．（本小题满分12分）已知正数数列{}n a 的前n 项和n S 满足21
(2)8
n n S a =+*()n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设1
8n n n b a a +=
⋅，*
()n N ∈且数列{}n b 的前n 项和为n T ，如果25n T m m <--对一切
*n N ∈成立，求正数m 的取值范围.
21．（本小题满分12分）
已知函数),0,()(2
3
≠∈+++=a R x d cx bx ax x f 2-是)(x f 的一个零点，又)(x f 在0x =处有极值，在区间64--（，）和20-（，）
上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反. ⑴ 求c 的值；
⑵ 当3,0,{|(),32}[3,2]b a a y y f x x =>=-≤≤⊆-且时求使成立的实数a 的取值范围；
⑶ 求a
b
的取值范围.
22．（本小题满分12分）
如图，,E F 是x 轴上的点，,,G H P 是坐标平面上的动点，点P 在线段FG 上，点H 在线
段
EG
上，并且
||23,||4,EF FG EO OF ===（O 是平面
直角坐标系原
点），0,2=⋅=EG HP EG EH ．
（1）求P 点的轨迹方程； （2）若直线:l y x m =+与P 点的轨
迹有两个不同的
交点,A B ，且2>⋅OB OA ，求实数m 的取值范围．
参考答案
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
B
B
C
D
A
A
C
D
B
A
C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.56310-≠<
λλ且 14. 7 15.)103
,512(-- 16.④
三.解答题：本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）解：（1）设,,a b c 分别是ABC ∆角,,A B C 所对的边， 由正弦定理：
0,1,120sin sin sin a b c
b B A B C
====且
得： ()000
sin 60sin ,sin120sin120a c θθ-==
……..2分 ∴()()0002()cos 60sin sin 60,0603
f AB BC a c θθθθ=⋅=⋅⋅=⋅-<<
………..5分
（2）(
)()0221
()sin sin 6021cos 23
34f θθθθθ⎤=⋅-=--⎥⎣⎦
()011
sin 23036
θ=
+- ……..8分 000006030230150θθ<<∴<+< ,
1()0,6f θ⎛
⎤∈ ⎥⎝
⎦ …….10分
18. （本小题满分12分）
解：（1）记“巴西队小组赛结束后得5分”为事件A ，必为一胜两平.
则2
23111(),326P A C ⎛⎫== ⎪
⎝⎭
∴巴西队小组赛结束后得5分的概率为1
6
……5分
（2）记“巴西队小组赛未出线”为事件B ,ξ为巴西队小组赛结束后得分
则3
2
2
2
3
12133333()(4)(0)(1)(2)(3)1111111163636263111111216361824276
P B P P P P P C C C C ξξξξξ=<==+=+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++++= ∴巴西队小组赛未出线概率为1
6
……………………………..12分
19. （本小题满分12分） 证明：（1）由已知易得2=
AC ，2=CD ． …………1分
∵ 2
2
2
AD CD AC =+，∴ ︒=∠90ACD ，
即CD AC ⊥． 又 ∵ PA ⊥平面ABCD ，⊂CD 平面ABCD ， ∴ CD PA ⊥． ∵ A AC PA = ， ∴ ⊥CD 平面PAC ．∵ ⊂PC 平面PAC ， ∴ ⊥CD PC ． …………4分
(2) 存在．取PA 的中点为E ,连结BE ,则BE ∥平面PCD ．
证明如下：取AD 的中点为F ,连结EF BF ,． ∵2=AD ，1=BC ， ∴FD BC //，且FD BC =，∴四边形BCDE 是平行四边形，即CD BF //． ∵ ⊄BF 平面PCD ，∴ //BF 平面PCD …………6分
∵F E ,分别是AD PA ,的中点，∴ PD EF //．∵ ⊄EF 平面PCD ， ∴ //EF 平面PCD ．∵ F BF EF = ，∴平面//BEF 平面PCD ． ∵ ⊂EF 平面BEF ，∴//BE 平面PCD ．…………8分
（3）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系xyz O -，则有)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,2,0(D ，)2,0,0(P ，)0,0,1(=AB ，,1,1(-=CD PD 由题意知，⊥AB 平面PAD ，所以AB 是 平面PAD 的法向量．
设),,(z y x n =是平面PCD 的法向量，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
PD n CD n ，即⎩⎨⎧=-=+-0220z y y x ． 所以可设)1,1,1(=n ．…………10分 所以3
3
||
||||
,cos =
>=<AB n AB n ． 结合图象可知，二面角C PD A --的余弦值为3
3
．…………12分 20. （本小题满分12分） 解：（I ）∵21
(2)8
n n S a =+， ∴2111
(2)8
n n S a ++=
+， ……………2分 两式相减得22111844n n n n n a a a a a +++=-+-，∴22
11440n n n n a a a a ++---=，
∴11()(4)0n n n n a a a a +++--=，又{}n a 是正数数列，
∴140n n a a +--=，∴14n n a a +-=，∴{}n a 是等差数列． ………4分 ∵2111
(2)8
S a =
+，∴12a =，∴*42,()n a n n =-∈N ． ………6分
（II ）∵42n a n =-， ∴211
(21)(21)2121
n b n n n n =
=--+-+， ……………7分
∴12111
111
11335
212121
n n T b b b n n n =+++=-+-+
+
-=-
-++， ……………9分
∴对一切*
n ∈N ，必有1n T <． ……10分
故令2
51m m --≥，∴2m ≤-或3m ≥，又0m >，∴3m ≥． ……12分 21. （本小题满分12分）
解：（I ）c bx ax x f d
cx bx ax x f ++='∴+++=23)()(22
3
又f （x ）在x=0处有极值 .0,0)(=='∴c x f 即………………………………3分 （II ）d ax ax x f a b ++=-=2
3
3)(2,3是且 的一个零点
a d d a a f 40128)2(-=∴=++-=-∴ 从而a ax ax x f 43)(2
3-+=
.20,0)(.63)(2-==∴='+='∴x x x f ax ax x f 或令…………………………6分
列表讨论如下：
∴当a >0时，若－3≤x≤2，则－4a≤f （x ）≤16a
…………………………8分
从而0
16243a a a >⎧⎪≤⎨
⎪-≥-⎩
即108a <≤∴实数a 的取值范围是1
(0,]8
……10分 （III ）由（I ）知：0)(23)(2
='+='x f bx
ax x f 令 a
b
x x 320-
==∴或 又∵f （x
在区间（－6，－4）和（－2，0）上单调且单调性相反
632324≤≤
-≤-
≤-∴a
b
a
b
故 ………12分 22. （本小题满分12分）
解（1）∵2,0EH EG HP EG ==,∴H 是EG 的中点且EG ⊥HP ，即HP 是EG 的垂直平分线， ……….1分
∴||||PG PE =，||||||||||4PF PE PG PF FG +=+==． …….3分 ∴P 点的轨迹是以E 、F 为焦点，长轴长为4的椭圆．又∵||23EF
=，且EO OF =
∴P 点的轨迹方程是2
214
x y +=． ……..5分
（2）将y =x ＋m 代入2
214
x y +=得5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)=0． ……6分 由已知Δ=64m 2－80(m 2－1)=80－16m 2>0,设m 2<5 ………7分
设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则24(1)
,55
A B A B m m x x x x 8-+=-=．….8分 由2>⋅OB OA 得2A B A B x x y y +>， 而()()A B A B A B A B x x y y x x x m x m +=+++
222
2
4(1)8582()2(),
555
A B A B m m m x x m x x m m m --=+++=⨯+⨯-+=
…………….10分
于是25825
m ->即2
185m > ② ……………11分
由①、②得218
55
m <<，故m 的取值范围为310
((
,5
….12分。