高考数学一轮复习随机事件的概率

第4节随机事件的概率
最新考纲i•了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以
及频率与概率的区别；2•了解两个互斥事件的概率加法公式.
I基础摻断丨回归教材，夯实基础
知识梳理
1. 频率与概率
(1) 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A) = n A为事件A出现的频率.
(2) 对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f p(A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率.
3.概率的几个基本性质
(1) 概率的取值范围：0 w P(A)w 1.
(2) 必然事件的概率P(E) = 1.
(3) 不可能事件的概率P(F) = 0.
(4) 互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，贝U P(A U B) = P(A) + P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A) = 1- P(B).
［常用结论与微点提醒］
1 .从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1) 几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2) 事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2. 概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，
即
P(A1 U A2U-U A n)= P(A1)+ P(A2)+…+ P(A n).
3. 一般概率加法公式
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A A B).
诊断自测
1. 思考辨析(在括号内打“V”或“X”)
(1) 事件发生的频率与概率是相同的.()
(2) 在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.()
(3) 若随机事件A发生的概率为P(A),则0< P(A)w 1.( )
(4) 6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()
答案(1)x ⑵V ⑶V ⑷X
2. (2018金华十校联考)有各不相同的5个红球、3个黄球、2个白球，事件A:
从红球和黄球中各选1球，事件B:从所有球中选取2球，则事件A发生是事件
B 发生的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
解析 事件A :从红球和黄球中各选1球，能推出事件B :从所有球中选取2球, 是充分条件， 事件B :从所有球中选取2球，推不出事件A :从红球和黄球中各选1球，不是 必要条件. 答案 A
3. （2016天津卷）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
1 1
所以甲不输的概率 P = P(A U B) = P(A) + P(B) = + 3=
答案
1 解析 由题意知，所求概率P =7+ 35—35. 17
答案15
35
5.袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、 白球的概率分别是0.40和0.35,那么黑球共有 __________ . 解析 任取一球是黑球的概率为 1 —（0.40+ 0.35）= 0.25,二黑球有100X 0.25=
25(个).
答案 25 6. （2018嘉兴测试）口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从
中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为
0.4,摸出的球是红球或白球
1 1 2,甲
获胜
则甲不输的概率为（） A.5
B .2
C-6 D.3
解析 设“两人下成和棋”为事件A , “甲获胜”为事件 B.事件A 与B 是互斥
事件,
4.围棋盒子中有多粒黑子和白子,
1
已知从中取出2粒都是黑子的概率为7,都是
12
白子的概率是西，则从中任意取出 2粒恰好是同一色的概率是 12= 17
的概率为0.9，那么摸出的球是黄球的概率为 _____________ ;是白球的概率为
解析设摸出红球的概率是P(A)，摸出黄球的概率是P(B)，摸出白球的概率是
P(C),「. P(A) + P(B)= 0.4, P(A) + P(C) = 0.9，A P(C) = 1-P(A)- P(B)= 0.6, P(B) =1-P(A)- P(C) = 0.1.
答案0.1 0.6
I考点突破丨分类讲练■、以俺求沱
考点一随机事件间的关系
【例1】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数
和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中，是对
立事件的是()
A •①
B •②④
C •③
D •①③
解析从1, 2, 3, 4, 5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇
数，两个偶数.
其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件.
又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件.
答案C
规律方法(1)本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试
验结果，从而断定所给事件的关系.
(2)准确把握互斥事件与对立事件的概念.
①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生.
②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且
仅有一个发生.
【训练1】口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中取出2 球, 事件A=“取出的2球同色”，B=“取出的2球中至少有1个黄球”，C=“取出的2球至少有1个白球”，D=“取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有1个白球” •下列判断中正确的序号为____________________________ .
①A与D是对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C U E) =1;⑤ P(B)= P(C).
解析当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确•当取出的2 个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则③不正确•显然A与D是对立事件，①正确；
C U E不一定为必然事件，P(C U E)< 1,④不正确•由于P(B)=
4 3
5，P(C)=5，所以⑤不正确.
答案①
考点二随机事件的频率与概率
【例2】(2016全国U卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的
投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次
01234> 5
数
保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:
160%”，求P(B)的估计值；
(3) 求续保人本年度平均保费的估计值.
解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2,由所给数据知，一年内出险
次数小于2的频率为一20^ = 0.55,故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1且小于4,由所给数据知，一年内
故P(B)的估计值为03 (3) 由所给数据得
调查的 200名续保 人的平 均保费为 O.85a 0.30 + a 0.25 + 1.25a 0.15 +
1.5a X 0.15+ 1.75a x 0.10+ 2a X 0.05_ 1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.
规律方法 (1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计 算频率，用频率估计概率.
(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确 定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小， 通过大量的重复试验, 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机 事件概率的估计值.
【训练2】 某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种 商品的情况，整理成如下统计表，其中“V”表示购买，“x”表示未购买 .
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
出险次数大于 1且小于4的频率为 30+ 30_
200 0.3,
(2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3种商品的概率；
(3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解
(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙, 所以顾
客同时购买乙和丙的概率可以估计为 1000= 0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买
了甲、丙、
丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2种商品.
所以顾客在甲、乙 丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点三互斥事件与对立事件的概率
【例3】 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收 集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
100+ 200 CC 1 000 = 0.3
⑶与⑴同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
丁的概率可以估计为10备二0.1. 200 _
1 000_
0.2, 100+ 200+ 300
1 000 0.6,顾客同时购买甲和
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1) 确定x, y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).
解 ⑴由已知得 25+ y + 10= 55, x + 30= 45, 所以 x = 15, y = 20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所收集的100位顾客一次购 物的结算时间可视为总体的一个容量为 100的简单随机样本，顾客一次购物的结 算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
1 X 15+ 1.5X 30+ 2X 25 + 2.5X 20+ 3X 10 100 (2)记A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过
分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1分钟”、“该顾客一次购物的结 算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为 2分钟” •将频率视为概 率得 _
15 3 30 3
25
1
P(A1)
=预=20, P(A2)=而=亦，P(A3)=而=4.
因为A =A 1 U A 2U A 3，且A 1, A 2, A 彼此是互斥事件， 所以 P(A) = P(A 1 U A 2U A 3) = P(A 1)+ P(A 2) + P(A 3) 3 3 17 =—+ — + 一 =— =20+ 10 + 4= 10.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2分钟的概率为£
规律方法 (1)①求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用 已知概率的事件表示出来.
②结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错 误. (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的 概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和； 二是间接法，先求该事件的对立 事件的概率，再由P(A)= 1-P(A)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题, 多考虑间接法.
【训练3】某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖
1.9(分
钟).
2 分钟”，
券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A, B, C,求:
(1)P(A), P(B), P(C);
(2)1张奖券的中奖概率;
(3)1
张奖
券不
中特
等奖
且不
1 1
故事件A, B, C的概率分别为1000,而, 丄20.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖•设“1张奖券中奖”这个事件为M，贝U M = A U B U C.
••• A, B, C两两互斥,
••• P(M)= P(A U B U C) = P(A) + P(B)+ P(C)
_ 1+ 10+ 50 _ 61
1 000 1 000
61
故1张奖券的中奖概率为1 00。

.
(3)设“ 1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“ 1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
'1 +丄I 989
1 000+100 尸 1 000-
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1舘
••• P(N)= 1 —P(A U B)= 1-
I课时作业分层训练"提升剧、选择题
基础巩固题组
1 •有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，任意两人不能同一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是()
A •互斥但非对立事件
B •对立事件
C.相互独立事件 D .以上都不对
解析由于任意两人不能同一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能
的，故是互斥事件，但不是对立事件.
答案A
2. 在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“ 2
3 7
张全是移动卡”的概率是10，那么概率为10的事件是()
A .至多有一张移动卡
B .恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D .至少有一张移动卡
解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡” 的概率为10.
答案A
3. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B = ｛抽到二等品｝，事件C = ｛抽到三等品｝，且已知P(A) = 0.65，P(B)= 0.2，P(C) = 0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()
A. 0.7
B. 0.65
C. 0.35
D. 0.3
解析事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)= 0.65, 所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P= 1-P(A) =1 —0.65= 0.35.
答案C
4 .某袋中有编号为1，2，3, 4，5，6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()
1 1 5 35
A. B. C. D.-
5 6 6 36
解析设a，b分别为甲、乙摸出球的编号.由题意，摸球试验共有36种不同结
6 5果，满足a= b的基本事件共有6种.所以摸出编号不同的概率P= 1 —36= 6 答案C
5.掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出
现小于5的点数”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件 A U B 发生的 概率为（） 1 1 A ・3
B ・2
解析掷一个骰子的试验有6种可能结果.
2 1
4 2
依题意 P （A ）=6— 3， P （B ）=6—3，
••• B 表示“出现5点或6点”的事件, 因此事件A 与B 互斥，
— —
112 从而 P(A
U B) = P(A) + P(B) = 3 + 3二 3.
答案 C 6 •我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送 来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254粒内夹谷28粒，则这 批米内夹谷约为（） A . 134 石
B . 169 石
C . 338 石
〜169(石).
答案 B
7.
甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为
a ,再由乙猜甲刚才想的
数字，把乙猜出的数字记为 b ，且a ，b € {1，2，3}，若|a — b|< 1，则称甲、乙
“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为
解析 甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3X 3
5 D.5
P(B)= 1 — P(B)= 1— 2 = 1 3,
解析因为样本中米内夹谷的比为 28
254,
所以这批米内夹谷为 1 534 X
28
254
D . 1 365石
D"7
设甲、乙“心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|a—b|> 1”，即|a—b|
=2包含2个基本事件, 2
•-P(B)二 9， 2 7
二 P(A 戶1-2=9. 答案 D
8. （—题多解）（2018丽水调研）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊
中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为
解析 五人中选用三人，列举可得基本事件总数是 10，
法一 甲被录用乙没被录用的可能情况有 3种，乙被录用甲没被录用的可能情况
法二 “甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都没有被录用”，即录用的是其
余三人，只含有
1 9
1个基本事件，故所求概率是1-亦=10.
答案 D 二、填空题
9•在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ① 在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ② 在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③ 在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品.
其中 ________ 必然事件； ________ 不可能事件； _________ 随机事件. 答案③②①
10.给出下列三个命题，其中正确命题有 __________ .
① 有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
3
② 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是7；③随机 事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
A.|
D.^) 有3种，甲、乙都被录用的可能情况有 3种，所以所求概率为
3+ 3+ 3 9 —io —=而
解析①错，不一定是10件次品；②错，3是频率而非概率；③错，频率不等于
概率，这是两个不同的概念.
答案0
11 .某城市2017年的空气质量状况如表所示:
污染指数T3060100110130140
概率P111721
1063301530
其中污染指数T W 50时，空气质量为优；50v T W 100时，空气质量为良，100
v T< 150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概
率为________ .
1113 3_ 5
解析由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P = 10+1+ m = 3
12. (2018萧山月考)向三个相邻的军火库各投一枚炸弹.击中第一个军火库的概
率为0.025,击中另两个军火库的概率都为0.1,并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为_______________ .
解析设A，B，C分别表示击中第一、二、三个军火库，易知事件A，B，C彼此互斥，且P(A) = 0.025，P(B) = P(C) = 0.1.
设D 表示军火库爆炸，则P(D)= P(A) + P(B) + P(C) = 0.025+ 0.1 + 0.1 = 0.225所以军火库爆炸的概率为0.225.
答案0.225
13. (2018湖州调研)某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概
率如下：
获奖人数012345
概率0.10.16x y0.2z
(1) 若获奖人数不超过2人的概率为0.56,则x的值为 _____________ ;
(2) 若获奖人数最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44，贝U y+ z=
解析记事件“在竞赛中，有k人获奖”为A k(k€ N，k< 5),则事件A k彼此互斥.
(1) V获奖人数不超过2人的概率为0.56,
二P(A o)+ P(A i)+ P(A2)= 0.1 + 0.16+ x= 0.56.
解得x= 0.3.
(2) 由获奖人数最多4人的概率为0.96,得P(A5)= 1 —0.96= 0.04,即卩z= 0.04. 由获奖人数最少3人的概率为0.44,得P(A3)+ P(A4)+ P(A5)= 0.44, 即卩y+ 0.2+ 0.04= 0.44.
解得y= 0.2.
二y+ z= 0.24.
答案(1)0.3 (2)0.24
能力提升题组
11 8
14•设事件A, B,已知P(A) = 5 P(B) = 3, P(A U B)=砧，则A, B之间的关系
一定为()
A •两个任意事件
B •互斥事件
C •非互斥事件
D •对立事件
118
解析因为P(A) + P(B) = 5 + 5= 15= P(A U B),所以A, B之间的关系一定为互斥事件.
答案B
15•抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6),事件A
表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A U B) = _______ .
解析将事件A U B分为：事件C “朝上一面的数为1, 2”与事件D “朝上一面的数为3, 5”.
1 1
则C, D 互斥，且P(C) = 3, P(D) = 3,
,他属于不超过2
解析 “至少2个小组”包含 “2个小组”和“ 3个小组”两种情况，故他属于 至少2个小组的概率为
11+ 10+ 7+ 8 P = ---------------------- = 6+ 7+ 8+ 8+ 10+ 10+ 11
3
5.
“不超过2个小组”包含“ 1个小组”和“ 2个小组”，其对立事件是 “3个小 组
故他属于不超过2个小组的概率是
P = 1- 弋
6+ 7+ 8+ 8+ 10+ 10+ 11 15
17. (2018绍兴一中适应性检测)一个袋子中装有大小和形状相同的红球、
白球蓝球，其中有2个红球，3个白球，n 个蓝球.
1
(1) ____________________________________________________ 若从中任取一个小球为红球的概率为4,则n 的值为 __________________________ ;
2
的概率为
解析(1)设任取一个小球得到红球、白球、蓝球的事件分别为 A , B , C ,
••• P(A U B)= P(C U D)= P(C)+ P(D) = |.
2
答案2
16•某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32, 33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.
个小组的概率是
它们是彼此互斥事件,
1
由已知得P(A) = 4,
2 _ 1
2+ 3+ n_ 4’
解得n_3.
(2)v P(B U C) _ £
由对立事件的概率计算公式知，取一个球为红球的概率为P(A) _ 1 —P(B U C) _ 1
2 1
-3_ 3,
2 1 1
二_3,解得n_ 1, J. P(C)_6,
2+ 3+ n 3 6
•••从中任取一个小球不是蓝球的概率
—1
p(c戶1 —6
答案(1)3 (2)5
18. (2018温州调研)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如
下：
(1) 至多2人排队等候的概率为___________ ；
(2) (一题多解)至少3人排队等候的概率为__________ .
解析“无人排队等候”为事件A, “1人排队等候”为事件B, “2人排队等候”为事件C, “3人排队等候”为事件D, “4人排队等候”为事件E, “5 人及5人以上排队等候”为事件F，贝U事件A, B, C, D , E, F互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G = A U B U C,
所以P(G) _ P(A) + P(B) + P(C)_ 0.1 + 0.16+ 0.3_ 0.56.
⑵法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H = D U E U F，所以P(H) = P(D)
+ P(E) + P(F) = 0.3+ 0.1 + 0.04= 0.44.
法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G,所以P(H) = 1－P(G)= 0.44.
答案(1)0.56 (2)0.44。