专题12 空间直线、平面的平行(核心素养练习)(解析版)

专题十二空间直线、平面的平行核心素养练习
一、核心素养聚焦
考点一逻辑推理-平行关系的综合应用
例题8. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：GH∥平面P AD.
【证明】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴P A∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
∴P A∥平面BMD，
又∵P A⊂平面P AHG，
平面P AHG∩平面BMD＝GH，
∴P A∥GH.
又P A⊂平面P AD，GH⊄平面P AD，
∴GH∥平面P AD.
考点二直观想象-线线垂直
例题9. 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；
(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD . 【证明】(1)在△ABD 中，
∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD . 同理FG ∥BD ，则EH ∥FG . 故E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH . 又∵四边形EFGH 是矩形， ∴EH ⊥GH .故AC ⊥BD .
二、学业质量测评
一、选择题
1．如果直线m//直线n ，且m//平面α，那么n 与α的位置关系是（） A ．相交 B ．n//α
C ．n ⊂α
D ．n//α或n ⊂α
【答案】D
【解析】∵直线m /⁄直线n ,且m /⁄平面α，
∴当n 不在平面α内时，平面α内存在直线m′//m ⇒n//m′， 符合线面平行的判定定理可得n /⁄平面α， 当n 在平面α内时，也符合条件， n 与α的位置关系是n//α或n ⊂α，故选D .
2．平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行
B ．直线//a α，//a β，且直线a 不在α内，也不在β内
C ．直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b α
D ．α内的任何一条直线都与β平行 【答案】D
【解析】解：A 选项，α内有无穷多条直线都与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A 错误；
B 选项,直线//a α，//a β，且直线a 不在α内，也不在β内,直线a 可以是平行平面α与平面β的相交直线，故不能保证平面α与平面β平行，故B 错误；
C 选项, 直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b α,当直线a b ∥，同样不能保证平面α与平面β平行，故C 错误；
D 选项, α内的任何一条直线都与β平行,则α内至少有两条相交直线与平面β平行，故平面α与平面β
平行; 故选:D.
3．已知直线a 和平面α，那么能得出a //α的一个条件是（ ） A ．存在一条直线b ，a //b 且b α⊂ B ．存在一条直线b ，a //b 且b α⊄ C ．存在一个平面β，a β⊂且α//β D ．存在一个平面β，a //β且α//β 【答案】C
【解析】在选项A ，B ，D 中， 均有可能a 在平面α内，错误；
在C 中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线 都平行于另一个平面，故C 正确 故选：C
4．下列说法正确的是（ ）
A ．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行
B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C ．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线
D ．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行 【答案】C
【解析】A 错，由两条直线与同一条直线所成的角相等， 可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面； B 错，
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等， 则这两个平面可能平行或相交； C 正确，设,l m αβ⋂=//,m α//β，
利用线面平行的性质定理，在平面α中存在直线a //m ， 在平面β中存在直线b //m ，所以可知a //b ， 根据线面平行的判定定理，可得b //α，
然后根据线面平行的性质定理可知b //l ，所以m //l ； D 错，两个平面可能平行，也可能相交. 故选：C
5．已知,αβ是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（ ） A ．α内有无穷多条直线与β平行 B ．直线a //,a α//β
C ．直线,a b 满足b //,a a //,b α//β
D ．异面直线,a b 满足,a b αβ⊂⊂，且a //,b β//α 【答案】D 【解析】A 错
α内有无穷多条直线与β
平行，
平面α与平面β可能平行，也可能相交， B 错
若直线a //,a α//β，
则平面α与平面β可能平行，也可能相交， C 错
若b //,a a //,b α//β，
则平面α与平面β可能平行，也可能相交， D 正确
当异面直线,a b 满足,a b αβ⊂⊂，且a //,b β//α时， 可在α上取一点P ，过点P 在α内作直线'b //b ， 由线面平行的判定定理，得'b //β，
,a b 异面，所以',a b 相交，
再由面面平行的判定定理，得α//β， 故选：D.
6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交
C ．异面
D ．以上都不对
【答案】A
【解析】设平面//α平面γ，平面//β平面γ，则平面//α平面β．证明如下： 作平面θ分别与平面α、β、γ相交于直线a 、c 、e ，
再作与平面θ相交的平面ϕ，分别与平面α、β、γ相交于直线b 、d 、f ，如图所示． ∵平面//α平面γ，平面θ⋂平面α=a ，平面θ⋂平面γ=e ， ∴//a e ，同理可得//c e ， ∴//a c ，
∵a α⊂，α⊄c ，∴//c α；
同理可得//b d ，结合b α⊂，α⊄d ，可得//αd ， ∵c 、d 是平面β内的相交直线， ∴平面//β平面α，即平面//α平面β．
综上所述，如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 故选A
二、多选题
7．在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是( )
A ．,,,E F G H 一定是各边的中点
B ．,G H 一定是,CD DA 的中点
C ．::AE EB AH H
D =,且::BF FC DG GC = D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形 【答案】CD
【解析】解：由//BD 平面EFGH ,所以由线面平行的性质定理,得//BD EH ,//BD FG ,则
::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =,且//EH FG ,四边形EFGH 是平行四边形或梯形.
故选：CD .
8．如图所示,P 为矩形ABCD 所在平面外一点,矩形对角线的交点为,O M 为PB 的中点,给出以下结论,其中正确的是( )
A ．//OM PD
B ．//OM 平面PCD
C ．//OM 平面PDA
D ．//OM 平面PBA
【答案】ABC
【解析】解：由题意知,OM 是BPD △的中位线,//OM PD ∴,故A 正确;
PD ⊂平面PCD ,OM ⊄平面PCD ,//OM ∴平面PCD ,故B 正确;
同理,可得//OM 平面PDA ,故C 正确;
OM 与平面PBA 和平面PBC 都相交,故D 不正确.
故选：ABC . 三、填空题
9．如图，平面α平面β∥平面γ，两条异面直线,l m 分别与平面,,αβγ相交于点,,A B C 和点,,D E F ，已知2AB =cm ，3BC cm =，4DE cm =，则EF =_______.
【答案】6cm
【解析】如图所示，连接AF 交平面β于点G ，连接,,,CF BG EG AD . 因为AC AF A ⋂=，
所以直线AC 和AF 确定一个平面AFC ， 则平面AFC BG β⋂=，平面AFC CF γ⋂=. 又//βγ，所以//BG CF .
所以
AB AG BC GF =.同理可证DE AG
EF GF =， 所以AB DE BC EF =，所以24
3EF
=， 所以6EF =cm. 故答案为6cm
10．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________.
【答案】平行四边形 【解析】
∵平面ABFE ∥平面CDHG ，平面EFGH∩平面ABFE ＝EF ，平面EFGH∩平面CDHG ＝HG ，∴EF ∥HG.同理，EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．
11．设,,αβγ为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//,//αβγβ，则//αγ； ②若,,//,//m
n m n ααββ，则//αβ；
③若//,l αβα⊂，则l β// ④若,,,//,l m n l αββγγαγ⋂=⋂=⋂=，则//.m n 其中正确结论的编号为__________．（请写出所有正确的编号） 【答案】①③④ 【解析】
①由平行的传递性可知：若//,//αβγβ，则//αγ正确；
②由面面平行的判定定理知，还需要,m n 为两条相交直线，不然无法得到面面平行，不正确； ③由面面平行的性质可知，正确；
④若,,,//l m n l αββγγαγ⋂=⋂=⋂=，
则由
l αβ⋂=知, l ⊂α且l ⊂ β,由l ⊂ β及l ∥γ，β∩γ=m ， 得l ∥m ,同理l ∥n ,故m ∥n ，故命题④正确。

答案为①③④.
12．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是11A D 的中点，则直线MD 与平面11A ACC 的位置关系是_______；直线MD 与平面11BCC B 的位置关系是_______.
【答案】相交 平行
【解析】在平面11AA D D 中，四边形1AA MD 是梯形，且1AA 、MD 是两腰，则直线MD 与直线1AA 相交，所以，直线MD 与平面11A ACC 相交；
在正方体1111ABCD A BC D -中，平面11//AA D D 平面11BB
C C ，M
D ⊂平面11AA D D ，
//MD ∴平面11BCC B .
故答案为：相交；平行. 四、解答题
13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B AC ，，，的中点，
求证：（1）B C H G ，，，四点共面； （2）平面1EFA //平面BCHG ． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】(1)
G H ，分别是1111A B AC ，的中点，
GH ∴是111A B C △的中位线，
则11//GH B C ， 又
11////B C BC GH BC ∴，，
B C H G ∴，，，四点共面．
(2)
E F ，分别为AB AC ，的中点，//EF BC ∴，
EF ⊄平面BCHG BC ⊂，平面BCHG ，
EF ∴平面BCHG ，
又G E ，分别是11A B AB ，的中点，11A B AB ⊥， 1
AG EB ∴⊥， ∴四边形1A EBG 是平行四边形，1//A E GB ∴，
1A E ⊄平面BCHG GB ⊂，平面BCHG ， 1//A E ∴平面BCHG ，
又
1A E EF E ⋂＝，
∴平面1EFA //平面BCHG ，
14．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：
（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B . 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】证明： （1）如图，
连接SB ，,E G 分别是,BC SC 的中点，
//EG SB ∴.
又
SB ⊂平面11,BDD B EG ⊄平面11BDD B ，
所以直线//EG 平面11BDD B . （2）连接,
,SD F G 分别是,DC SC 的中点，
//FG SD ∴.
又∵SD ⊂平面11,BDD B FG ⊄平面11,BDD B
//FG ∴平面11BDD B .
又EG ⊂平面,EFG FG ⊂平面,EFG EG FG G ⋂=，
∴平面//EFG 平面11BDD B .
15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .
【答案】证明见解析
【解析】证明 :::,==PM MA BN ND PQ QD .
//,//∴MQ AD NQ BP
BP ⊂平面,PBC NQ ⊄平面PBC ，
//NQ ∴平面PBC .
∵底面ABCD 为平行四边形，
//,//BC AD MQ BC ∴∴.
BC ⊂平面,PBC MQ ⊂/平面PBC ，
//MQ ∴平面PBC .
又MQ NQ Q =，
根据平面与平面平行的判定定理，
所以面//MNQ 平面PBC。