祁县第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

祁县第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设函数f （x ）
=，则f （1）=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2． 在下列区间中，函数f （x ）=
（）x ﹣x 的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3 ）
D ．（3，4）
3． 已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4． 已知{}n a 是等比数列，251
24
a a ==，，则公比q =（ ） A ．12-
B ．-2
C ．2
D ．12
5． 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则
实数m 的取值范围是（ ）
A ．1-<m
B ．10<<m
C ．1>m
D ．1≥m
【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.
6． 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列
{}n a 的前n 项和为（ ）
A ．22n
- B ．1
2
2n +- C ．21n - D ．121n +-
7．设
n
S是等差数列{}
n
a的前项和，若5
3
5
9
a
a
=，则9
5
S
S
=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在等比数列{a n}中，已知a1=3，公比q=2，则a2和a8的等比中项为（）
A．48 B．±48 C．96 D．±96
9．方程x=所表示的曲线是（）
A．双曲线B．椭圆
C．双曲线的一部分D．椭圆的一部分
10．下列各组函数为同一函数的是（）
A．f（x）=1；g（x）=B．f（x）=x﹣2；g（x）=
C．f（x）=|x|；g（x）=D．f（x）=•；g（x）=
11．已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）
A．3个B．2个C．1个D．无穷多个
12．已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的范围是（）
A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．[﹣∞，3] D．[﹣∞，3）
二、填空题
13．已知||=1，||=2，与的夹角为，那么|+||﹣|=．
14．设α为锐角，=（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=，则sin（α+）=．15．（本小题满分12分）点M（2pt，2pt2）（t为常数，且t≠0）是拋物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，过M作倾斜角互补的两直线l1与l2与C的另外交点分别为P、Q.
（1）求证：直线PQ的斜率为－2t；
（2）记拋物线的准线与y轴的交点为T，若拋物线在M处的切线过点T，求t的值．
16．若函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a的取值范围是．17．命题“若1
x≥，则2421
x x
-+≥-”的否命题为．
18．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为．
三、解答题
19．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利？
（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．
20．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
21．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=ax++b（a＞0）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，求a，b的值．
22．设命题p ：实数x 满足x 2﹣4ax+3a 2＜0，其中a ＞0；命题q ：实数x 满足x 2﹣5x+6≤0
（1）若a=1，且q ∧p 为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
23．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分别记为,,,,A B C D E ，其频率分布直方图如下图所示．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；
（Ⅱ）该团导游首先在,,C D E 三组中用分层抽样的方法抽取了6名团员负责全团协调，然后从这6名团员中
随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自C 组的概率．
24．已知函数f（x）=e﹣x（x2+ax）在点（0，f（0））处的切线斜率为2．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=﹣x（x﹣t﹣）（t∈R），若g（x）≥f（x）对x∈[0，1]恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（1+）a n，
求证：当n≥2，n∈N时f（）+f（）+L+f（）＜n•（）（e为自然对数的底数，e≈2.71828）．
祁县第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=，
f （1）=f[f （7）]=f （5）=3． 故选：D ．
2． 【答案】A
【解析】解：函数f （x ）=（）x
﹣x ，
可得f （0）=1＞0，f （1）=﹣＜0．f （2）=﹣＜0， 函数的零点在（0，1）． 故选：A ．
3． 【答案】C 【解析】
考点：三视图． 4． 【答案】D 【解析】
试题分析：∵在等比数列}{a n 中，41,2a 52==a ,2
1,81q 253
=∴==∴q a a . 考点：等比数列的性质. 5． 【答案】C
【解析】画出可行域如图所示，)3,1(A ，要使目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则需直线l 过点A 时截距最大，即z 最大，此时1>l k 即可.
6． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．22log 1a =，25log 4a =，∴22a =,516a =,∴11a =,2q =，数列{}n a 的前n 项和为21n
-，选C ．
7． 【答案】A 【解析】1111]
试题分析：19951553
9()9215()52
a a S a a a S a +===+．故选A ．111] 考点：等差数列的前项和． 8． 【答案】B
【解析】解：∵在等比数列{a n }中，a 1=3，公比q=2， ∴a 2=3×2=6，
=384，
∴a 2和a 8
的等比中项为=±48．
故选：B ．
9． 【答案】C
【解析】解：
x=两边平方，可变为3y 2﹣x 2
=1（x ≥0），
表示的曲线为双曲线的一部分；
故选C ．
【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形结合的思想．
10．【答案】C
【解析】解：A 、函数f （x ）的定义域为R ，函数g （x ）的定义域为{x|x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；
B 、函数f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为{x|x ≠﹣2}，定义域不同，故不是相同函数；
C、因为，故两函数相同；
D、函数f（x）的定义域为{x|x≥1}，函数g（x）的定义域为{x|x≤1或x≥1}，定义域不同，故不是相同函数．综上可得，C项正确．
故选：C．
11．【答案】B
【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，
又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3，
即M={x|﹣1≤x≤3}，
在此范围内的奇数有1和3．
所以集合M∩N={1，3}共有2个元素，
故选B．
12．【答案】B
【解析】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}，
若A⊆B，则a＞3，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵||=1，||=2，与的夹角为，
∴==1×=1．
∴|+||﹣|====．
故答案为：．
【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．【答案】：．
【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=，
∴1﹣sin2α=，得sin2α=， ∵α为锐角，cos α﹣sin α=⇒α∈（0，），从而cos2α取正值，
∴cos2α=
=
，
∵α为锐角，sin （α+）＞0，
∴sin （α+
）
=
===
．
故答案为：．
15．【答案】
【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．① 将①与拋物线x 2＝2py 联立得， x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，
解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．
由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2）， ∴k PQ ＝
2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p （－k －t ）－2p （k －t ）
＝－2t ，
即直线PQ 的斜率为－2t .
（2）由y ＝x 22p 得y ′＝x
p
，
∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝2pt
p ＝2t .
其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ）， 又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0， －p
2）． ∴－p
2
－2pt 2＝2t （－2pt ）．
解得t ＝±12，即t 的值为±1
2.
16．【答案】 {a|
或
} ．
【解析】解：∵二次函数f （x ）=x 2
﹣（2a ﹣1）x+a+1 的对称轴为 x=a ﹣，
f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，
∴a ﹣≥2，或a ﹣≤1，∴a ≥，或 a ≤，
故答案为：{a|a ≥，或 a ≤}．
【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．
17．【答案】若1x <，则2421x x -+<- 【解析】
试题分析：若1x <，则2421x x -+<-，否命题要求条件和结论都否定． 考点：否命题.
18．【答案】 平行 ．
【解析】解：∵AB 1∥C 1D ，AD 1∥BC 1，
AB 1⊂平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，AB 1∩AD 1=A C 1D ⊂平面BC 1D ，BC 1⊂平面BC 1D ，C 1D ∩BC 1=C 1 由面面平行的判定理我们易得平面AB 1D 1∥平面BC 1D
故答案为：平行．
【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）y=﹣2x 2+40x ﹣98，x ∈N *
．
（2）由﹣2x 2
+40x ﹣98＞0解得，
，且x ∈N *
，
所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．
（3）由
，当且仅当x=7时“=”号成立，
所以按第一方案处理总利润为﹣2×72
+40×7﹣98+30=114（万元）．
由y=﹣2x 2+40x ﹣98=﹣2（x ﹣10）2
+102≤102，
所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）． ∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．
20．【答案】
【解析】
【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；
【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．
（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为，即x+2y﹣6=0．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=ax++b≥2+b=b+2
当且仅当ax=1（x=）时，f（x）的最小值为b+2
（Ⅱ）由题意，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，可得：
f（1）=，∴a++b=①
f'（x）=a﹣，∴f′（1）=a﹣=②
由①②得：a=2，b=﹣1
22．【答案】
【解析】解：（1）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0
⇔（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；
当a=1时，p：1＜x＜3；
命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0⇔2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；
故x的取值范围是[2，3）
（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；
∴（a，3a）⊃[2，3]⇔，1＜a＜2
∴实数a的取值范围是（1，2）．
【点评】考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能力、识图能力、获取数据信息的能力．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=e﹣x（x2+ax），
∴f′（x）=﹣e﹣x（x2+ax）+e﹣x（2x+a）=﹣e﹣x（x2+ax﹣2x﹣a）；
则由题意得f′（0）=﹣（﹣a）=2，
故a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e﹣x（x2+2x），
由g（x）≥f（x）得，
﹣x（x﹣t﹣）≥e﹣x（x2+2x），x∈[0，1]；
当x=0时，该不等式成立；
当x∈（0，1]时，不等式﹣x+t+≥e﹣x（x+2）在（0，1]上恒成立，
即t≥[e﹣x（x+2）+x﹣]max．
设h（x）=e﹣x（x+2）+x﹣，x∈（0，1]，
h′（x）=﹣e﹣x（x+1）+1，
h″（x）=x•e﹣x＞0，
∴h′（x）在（0，1]单调递增，
∴h′（x）＞h′（0）=0，
∴h（x）在（0，1]单调递增，
∴h（x）max=h（1）=1，
∴t≥1．
（Ⅲ）证明：∵a n+1=（1+）a n，
∴=，又a1=1，
∴n≥2时，a n=a1••…•=1••…•=n；
对n=1也成立，
∴a n=n．
∵当x∈（0，1]时，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0，
∴f（x）在[0，1]上单调递增，且f（x）≥f（0）=0．
又∵f（）（1≤i≤n﹣1，i∈N）表示长为f（），宽为的小矩形的面积，
∴f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），
∴[f（）+f（）+…+f（）]=[f（）+f（）+…+f（）]
＜f（x）dx．
又由（Ⅱ），取t=1得f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x，
∴f（x）dx≤g（x）dx=+，
∴[f（）+f（）+…+f（）]＜+，
∴f（）+f（）+…+f（）＜n（+）．
【点评】本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．。