高考数学常见题型解法归纳反馈训练第35讲数列性质的证明

第35讲 数列性质的证明
【知识要点】
一、数列性质的证明一般有两种方法：
方法一：利用等差数列等比数列的定义来证明.
1(2,)n n a a d n n N *--=≥∈⇔{}n a 是等差数列
1
(2,)n
n a q
n n N a *-=≥∈⇔数列{}n a 是等比数列
方法二：利用等差等比数列的中项公式来证明.
11
(2,)2
n n n a a a n n N *+-+=
≥∈{n a ⇔}是等差数列 211
(2,)n n n a a a n n N *-+=≥∈⇔数列{}n a 是等比数列
【方法讲评】 方法一 定义法
使用情景 绝大部分情况下，都是用这种方法.
解题步骤
把已知条件代到1n
n a a 或
1
n
n a a 中化简，证明化简结果是一个常数. 【例1】已知数列{}n a 满足4
4
4,311
++=
=+n n n a a a a
（1）求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-+22n n a a 为等比数列；
（2）设p n m N p n m <<∈,,,*，问：数列{}n a 中是否存在三项p n m a a a ,,，使p n m a a a ,,成等差数列，如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由.
而
052
2
11≠=-+a a ， ∴ ⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-+22n n a a 是以5为首项，3为公比的等比数列.
【点评】利用定义证明数列{}n a 等比，只要把已知条件代入1
n
n a a 化简，注意化简时，一般只变分子或分母，不要同时变化，一直化简到最后是一个非零常数为止.
【反馈检测1】已知数列{}n a ，2n a ≠，158
23
n n n a a a +-=
-，13a =
（1）证明：数列1
{
}2
n a -是等差数列． （2）设2n n b a =-，数列1{}n n b b +的前n 项和为n S ，求使2
(21)2n n n S ++⋅⋅1(23)2192n n +>-⋅+成立
的最小正整数n ．
【反馈检测2】已知数列{}n a 满足：12n n a a a n a +++=-，其中*n N ∈.
（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；
（2）令(2)(1)n n b n a =--，求数列{}n b 的最大项.
方法二 中项公式法
使用情景 少数情况下用这种方法.
解题步骤
把已知条件化简，找到相邻三项的关系.
【例2】已知数列{}n a 中，13a =，前n 项和(1)(1)12
n n S n a =++-. ①求数列{}n a 的通项公式；
②设数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整数n 都成立？若存
在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．
（2） 由（1）知21n a n =+ ∴ 111(21)(23)n n a a n n +=++111
()22123
n n =-++
∴ 111111111()23557
21212123
n T n n n n =
-+-++
-+--+++111()2323n =-
+1
6< 则要使得n T M ≤对一切正整数n 都成立，只要max ()n T M ≤，所以只要1
6M ≥
∴ 存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整数n 都成立，且M 的最小值为1
6
【点评】已知n S 、n 和n a 的关系，一般利用公式11(1)
(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列的通项.
【反馈检测3】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1231611a a a ===，，，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+
=+=，
，，，，其中A B ，为常数.
(Ⅰ)求A 与B 的值；(Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列； (Ⅲ)1>对任何正整数m n ，都成立.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第35讲：
数列性质的证明参考答案
【反馈检测1答案】（1）证明见后面解析；（2）6n =.
【反馈检测2答案】（1）证明见后面解析；（2）数列{}n b 的最大项为431
8
b b ==. 【反馈检测2详细解析】（1）当1n =时，111a a =-，∴11
2
a =， 又∵12111n n a a a n a ++++
+=+-，
∴111n n n a a a ++=-+，即121n n a a +=+，∴11
1(1)2
n n a a +-=
-. 又∵1112a -=-，∴数列{}1n a -是首项为12-，公比为1
2
的等比数列；
（2）由（1）知，1111
1()()()222
n n n a --=-⨯=-，
∴
2 (2)(
1)
2
n n n
n
b n a
-
=-⋅-=，∴
111
1223
222
n n n n n
n n n
b b
+++
+---
-=-=，
当3
n<时，
1
n n
b b
+
->，即
123
b b b
<<，
当3
n=时，
43
b b
=，
当3
n>时，
1
n n
b b
+
-<，即
456
b b b
>>>，
∴数列{}n b的最大项为43
1
8
b b
==.
【反馈检测3答案】(Ⅰ)20
A=-，8
B=-；(Ⅱ)证明见后面解析；(Ⅲ)证明见解析.
【反馈检测3详细解析】（Ⅰ）由已知，得
11
1
S a
==，
212
7
S a a
=+=，
3123
18
S a a a
=++=.
由
1
(58)(52)
n n
n S n S An B
+
--+=+，知
21
32
37
2122
S S A B
S S A B
--=+
⎧
⎨
-=+
⎩
，
，
即
28
248
A B
A B
+=-
⎧
⎨
+=-
⎩
，
，
解得20
A=-，8
B=-.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，15(1)54
n
a n n
=+-=-.
51
mn m n
a a a，只要证512
mn m n m n
a a a a a
>++
因为54
mn
a mn
=-，(54)(54)2520()16
m n
a a m n mn m n
=--=-++，
故只要证5(54)12520()162
m n
mn mn m n a a
->+-+++
即只要证202037m n +->
因为558m n a a m n +=+-558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-， 所以命题得证.。