2013-14上期微积分I试题知识点分析

2013-14微积分AI 知识点考点分析及典型题一题多解
1.试题分数分布情况：
第一章函数极限与连续（13分）；
第二章导数与微分、第三章微分中值微分与导数应用（36分）； 第四章不定积分、第五章定积分及其应用（39分）； 第六章常微分方程（12分）。

2.考试题型题目与分数情况：
填空题十个，每个填空题3分，共计30分；
计算题、证明题与应用题九个，每题6分或7分，共计58分， 综合题二个，每题6分，共计12分。

试题总计100分。

以下是本期考试的知识考点和类型题。

填空题（共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知x y xe -=，则dy = 解. ()(1)x x x x xe e xe x e ----'=-=-
(1)x dy x e dx -∴=-
1.1 已知2arctan2x y x e x -=+，则dy = 解
2222
2
2
222()2(2)141414x x x x y x e xe x e x x e x x x ----''=+
=-+
=-+
+++2
2
2[(2)]14x
dy x x e dx x
-∴=-+
+
2. 011
lim (
)tan sin x x x
→-= 解. 200tan sin tan (1cos )
lim lim tan sin x x x x x x x x x
→→--=-=-原式 2
2
2lim
x x x x →⋅
=-=.
3. 2cos sin x xdx ⋅⎰=
解. 2231
cos sin cos cos cos 3x xdx xd x x c ⋅=-=-+⎰⎰.
4. 已知2ln(1)
arctan x t y t
⎧⎪=+⎨=⎪⎩，则dy dx =
解.222
1
(arctan )1122(ln(1))1t t
dy
t dy dt t dx t dx t t dt
t '+===='++ 4.1 已知22ln(1)2arctan arctan 2ln(1)x t t
y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩，则dy dx =
解.21
4(arctan )1411222(1)(ln(1))11t t t
dy
t dy t dt t t dx t dx t t dt
t t -
'-++====+'++++ 5. 1sin 0
lim (1)2
x x x →+
=
解. 212sin 20
lim [(1)]
2
x
x x x x A e →=+
=
5．1. 2cot 0
lim (cos )
x
x x →=
解. 2
22
1cos 1112
cos 1tan 20
lim
{[1(cos 1)]}x x x x x
x A x e e
---
-→=+-==
6.
2
2
2
lim (
)12n n
n
n
n n n n →∞
+
++
+++=
解. 2
22,1,2,...,1
n n n
k n n n n k n ≤≤=+++ 2221
1
1
1n
n
n
k k k n
n
n
n n n k n ===≤≤+++∑∑∑
2
221lim
lim 1n
n n k n
n n n n n →∞→∞===++∑ 2
221
lim
lim 111n
n n k n
n n n →∞→∞===++∑ 2
2
2
lim (
)11
2
n n n n n n n n
→∞
+
++
=+++
7. 已知22()(1)(2)f x x x =--,则'()f x 有 个零点
.
解
.()(1)(1)(f x x x x x =+-
+-
，(1)(1)(0f f f f -=+===，由洛尔定理知，'(
)f x
分别在(1),(--内各有一个零点（共计3个零点）。

8. 21x
dx e
+⎰
=
解.
2
1(1)22222ln(1)111x x x x x
x
x
e e d e dx dx x x e c e
e e +-+==+=++++++⎰
⎰⎰
8.1 ⎰
= 解
. 1112
2(1)112
x x dx x c x c -+-
=+=
+
+=++-+⎰
⎰
9. 微分方程''5'240y y y --=的通解是 解. 特征方程25240r r --=，123,8r r =-= 对应齐次方程的通解3812x x Y c e c e -=+。

9.1 微分方程''4'40y y y -+=的通解是 解. 特征方程2440r r -+=，122r r ==， 对应齐次方程的通解212()x Y c c x e =+。

9.2 微分方程25
''4'04
y y y ++
=的通解是 解. 特征方程2
25404r r ++=
，1,222,22r i αβ=-±⇒=-=
对应齐次方程的通解
21212(cos sin )(cos sin )22
x
x
Y e
c x c x e
c c αββ-=+=+。

10. 一阶线性微分方程2x y y e '-=的通解是
解 ()1,()2x P x Q x e =-=⇒()()(())P x dx P x dx
y e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰ (1)(1)(2)(2)dx dx x x x x e e e dx c e e e dx c ----⎰⎰=+=+⎰⎰(2)x e x c =+
二、微分学部分（共4个小题，每小题7分，共28分）
1. 函数2,0()sin ,0
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩在点0x =处是否连续，是否可导？
解. (1) 00
00
lim ()0,lim ()0,(0)0x x f x f x f →-→+=== ()f x 在0x =处连续，
(2) 20000()(0)0
(0)lim lim 000
x x f x f x f x x -
→-→---'===-- 00
00()(0)sin 0
(0)lim lim 100
x x f x f x f x x +
→+→+--'===--
(0)(0)f f -
+''≠,从而()f x 在0x =处不可导。

1.1 函数2
1cos ,0
()tan ,0
x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩在点0x =处是否连续，是否可导？ 解. (1) 00
00
lim ()0,lim ()0,(0)0x x f x f x f →-→+=== ()f x 在0x =处连续，
(2) 00
00
()(0)1cos (0)lim lim 00x x f x f x
f x x -
→-→---'===-
20000
()(0)tan (0)lim lim 00x x f x f x f x x +→+→+-'===-
(0)(0)f f -
+''=,从而()f x 在0x =处可导。

2. 求曲线224x y +=
在点(-处的切线方程。

解. 方程两边求导220x y y '+⋅=，
x y y '=-
⇒x x y y x y y '=-=⇒
切线：1)y x -=+ 3.求2
x y e -=的凹凸区间与拐点
解 2
2x y xe -'=-
2
2
2
(2)2(12)0x x y xe
x e
x --'''=-=--=⇒=±
4. 证明：当1x >时， 有1
x
e e x
> 证明1. 设
1
(),[1,)x
e
f x e x x
=-
∈+∞，(1)0f =,注意到
1
1
2
2
2
11()()()0,(1,)x
x e f x e e e x x
x x '=⋅-
+=
->∈+∞,
从而()[1,)f x +∞,于是()(1)0, 1.f x f x >=∀> ∴
1
()0,x
e f x e x
=->即1
x
e e x
>。

证明2. 设
1
(),[1,][1,)t
e
f t e t x t
=-∈⊂+∞，(1)0f =,注意到()f t 在 [1,]x 满足拉格朗日中值定理条件，于是(1,)x ξ∃∈使得
()(1)()(1)f x f f x ξ'-=-，即有
1
121()0,(1,)x
e x e e e x x ξξ
--=->∈+∞,∴1
x e e x >。

证明3. 设 1(),(0,)x
f x xe e x =
-∈+∞，(1)0f =,注意到
1
11
2
11
()()(1)0,(1,)1x
x
x f x e xe e x x
'=+
⋅-
=-
=∈+∞⇒=驻点, 从而()(1)0,(0,1)(1,).f x f x >=∀∈+∞
∴1()0x f x xe e =->,即1
x
e e x
>。

证明
4. 因为1
,1x
e
e x x
>
>等价于,(0,1)t e et t >∈， 可设 (),(0,1]t f t e et t =-∈，(1)0f =,注意到
()0,(0,1)t f t e e t '=-<∈,
从而()
(0,1]f t ,于是()(1)0,(0,1).f t f t >=∀∈
∴,(0,1)t e et t >∈，即1
,1x
e
e x x
>>。

三、积分学部分（共5个小题，每小题6分，共30分） 1. 求0x xe dx -∞
⎰
解
(1)x x x x x xe dx xde xe e dx x e c ==-=-+⎰⎰⎰
0lim
lim [(1)]x
x x a
a
a a xe dx xe dx x e -∞
→-∞→-∞
∴==-⎰
⎰
1lim [1(1)]1lim
1a a
a a a e a e
-→-∞
→-∞
-=---=--=-
2.计算
x ⎰
解
1. 22(2)2
2(2)2(1)t xt x t dt dt t t -=+=-=-⎰⎰
2(2ln )2(22ln 24ln 2t t c c c =-+=+-++=++ 解
2. 222
2(1)22t xt x t dt dt t t ===-++⎰⎰
2(2ln(2))4ln 2t t c c =-++=-++ 3.
计算0
⎰
解1.
设,(0,),;2
x t t dx tdt π
=∈= 00;14
x t x x π
=→==→=
2440
2cos (1cos2)tdt
t dt π
π
==+⎰⎰
⎰
40sin21[]242
t t ππ=+=+
解
2. 2arcsin 2a x c a =++⎰
1
21
[
22
=+=+
⎰
1
42
π
=+
解3. 根据定积分的几何意义，知
2
111
11
8242
π
π
=+⋅⨯=+
⎰
4. 设
0,0;
()
,0,
x
x
f x
e x
-
<
⎧⎪
=⎨
≥
⎪⎩
求
()()
x
x f t dt
Φ=⎰在(,)
-∞+∞上的表达式
解0
00,0;
()()
[]1,0.
x
x
x t t x x
dt x
x f t dt
e dt e e x
---
⎧=<
⎪
Φ==⎨
⎪=-=-≥
⎩
⎰
⎰
⎰
5. 求由sin,0,,0
y x x x y
π
====所围成的平面图形的面积D，并求由D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积V
解0
sin[cos](1)12
D xdx x
ππ
==-=--+=
⎰
2
00
sin(1cos2)
2
V xdx x dx
ππ
π
π
==-
⎰⎰2
sin2
[]
222
x
xπ
ππ
=-=
四、综合（共2个小题，每小题6分，共12分）
1. 求微分方程
dy y
dx x
=满足初始条件(1)1
y=的特解
解.方程化为
dy dx
y x
=（变量分离方程），两边积分，得方程通解
ln ln ln
y x c y cx
=+⇒=，由(1)11
y c
=⇒=，方程特解为y x
=。

1.1 求微分方程20
yy y
'''
-=的通解。

解. 令(),
y p y
'=则
()()
()(),
dp y dp y dy
y p y p y pp
dx dy dx
''''
====方程化为
2
11ln ln ln dp dp dy yp p p y C y p C y dy p y
'=⇒=⇒=+⇒==（变量分离方程）
，1dy
C dx y
=两边积分，得12ln ln y c x c =+,方程通解: 12c x y c e =
2.证明: 设函数()f x 在区间(0,)+∞上连续，并且单调增加，证明函数
()()x
f t dt x x
Φ=
⎰在(0,)+∞上单调增加。

证明1. 02
2
()()()()(),0x
f x x f t dt
f x x f x
x x x x
ξξ⋅-⋅-'Φ=
=
<<
⎰()
[0,)f x +∞，
()()
()0,0f x f x x x
ξξ-'∴Φ=
><<，从而()(0,)x Φ+∞.
证明2. 0
2
2
2
()()()()(()())()x
x
x x
f x x f t dt
f x dt f t dt
f x f t dt
x x x x ⋅---'Φ=
=
=
⎰⎰⎰⎰。

()
[0,)f x +∞，所以0
2
(()())()0x f x f t dt
x x
-'Φ=
>⎰，所以()(0,)x Φ+∞.
注意知识点和技巧：
1.由积分中值定理()()(),,b
a f x dx f
b a a b ξξ=-≤≤⎰分子
0()()()()(()()),0,x
A f x x f t dt f x x f x x f x f x ξξξ=⋅-=⋅-=-≤≤⎰
2. 00()()()x x
f x x f x dt f x dt ==⎰⎰，从而分子
()()()()(()())x
x
x
x
A f x x f t dt f x dt f t dt f x f t dt =⋅-=-=-⎰⎰⎰⎰。

3.设函数()f x 在区间(0,)+∞上可导， 并且0()sin ()x
f x x f x t dt =--⎰，求()f x 。

解:
00
(),,0,;,0()()x
x
x
f x t dtx t u dt du t u x t x u f u du f u du --==-====-=⎰
⎰⎰
()sin ()sin ()x x
f x x f x t dt x f u du ∴=--=-⎰⎰
对上式两边求导，得
11 ()cos ()()()cos f x x f x f x f x x ''=-⇒+=
sin cos ()()(cos )(cos )2
Pdx Pdx dx dx x x x
x x f x e Qe dx C e xe dx C e xe dx C Ce ---+⎰⎰⎰⎰∴=+=+=+=+⎰⎰⎰cos sin sin sin sin cos (sin cos )cos x x x x x x x x xe dx e d x e x e xdx e x e d x e x x e xdx
==-=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰。