【人教A版】2012高三数学理《金版新学案》一轮复习第6章章末优化训练测试

章末优化训练
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A ．{x |x ＜－2} B ．{x |x ＞3} C ．{x |－1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3} 解析： M ＝{x |－2＜x ＜2}，N ＝{x |－1＜x ＜3}， 则M ∩N ＝{x |－1＜x ＜2}． 答案： C
2．下列符合三段论推理的形式为( ) A ．如果p ⇒q ，p 真，则q 真 B ．如果b ⇒c ，a ⇒b ，则a ⇒c C ．如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c D ．如果a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc
解析： 由三段论的推理规则可以得到B 为三段论． 答案： B
3．下列命题中的真命题是( ) A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2 C ．若a ＞b ，则a 2＞b 2 D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2 解析： 由a ＞|b |，可得a ＞|b |≥0⇒a 2＞b 2. 答案： D
4．类比梯形的面积公式：S ＝1
2
×(上底＋下底)×高，可推知上底半径为r 1，下底半径为
r 2，母线长为l 的圆台侧面展开图扇环的面积公式S 扇环等于( )
A.12(r 1＋r 2)·l
B.π2(r 1＋r 2)·l C ．π(r 1＋r 2)·l D ．以上都不对
解析： 由类比推理的定义及步骤可以获得：梯形的上下底可与圆台的上下底面展开图类比；梯形的高可与圆台的母线类比．
答案： C
5．已知c ＞1，x ＝c ＋1－c ，y ＝c －c －1，则x ，y 之间的大小关系是( ) A ．x ＞y B ．x ＝y C ．x ＜y D ．x ，y 的关系随c 而定
解析： x ＝1c ＋1＋c ，y ＝1
c ＋c －1
，
∴x ＜y ，故应选C. 答案： C
6．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0＜t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t
＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)
10
)的月饼最少为( )
A ．18
B ．27
C ．20
D ．16
解析： 平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2
＋10t ＋16t ＝t ＋16
t
＋10≥18.
答案： A
7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥1，y ≤2x －1，
x ＋y ≤m .
如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m
等于( )
A ．7
B ．5
C ．4
D ．3
解析： 画出可行域后便知，当直线x －y －z ＝0通过直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点⎝⎛⎭⎫m ＋13，2m －13时，函数z ＝x －y 取得最小值．
∴m ＋13－2m －13＝－1，m ＝5.故选B.
答案： B
8．设D 是由⎩
⎪⎨⎪⎧
(x －y )(x ＋y )≥0，
y ≥0所确定的平面区域，记D 被夹在直线x ＝－1和x ＝t (t
∈[－1,1])间的部分的面积为S ，则函数S ＝f (t )的大致图象为( )
解析： 如图，由不等式组画出平面区域．根据题意，由函数S ＝f (t )的单调递增情况易选出答案B.
答案： B
9．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B ．(－∞－2) C ．[－2,2] D ．[0，＋∞)
解析： 据已知可得a ≥－|x |－1|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |，据基本不等式|x |＋1
|x |
≥2⇒－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |≤－2，故若使原不等式恒成立，只需a ≥－2即可．
答案： A 10．(2010·全国新课标卷)已知▱ABCD 的三个顶点为A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)，点(x ，y )在▱ABCD 的内部，则z ＝2x －5y 的取值范围是( )
A ．(－14,16)
B ．(－14,20)
C ．(－12,18)
D ．(－12,20) 解析： 如图所示，∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB →＝DC →.又AB →
＝(4,2)，∴D (0，－4)．
作初始直线l 0：2x －5y ＝0，平移直线l 0知，当直线过点D (0，－4)时z 取得最大值20，过点B (3,4)时z 取得最小值－14.
答案： B
11．已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →
＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和
△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4
y
的最小值是( )
A ．20
B ．18
C ．16
D ．19
解析： 由AB →·AC →＝|AB →|·|AC →
|cos 30°＝23得
|AB →|·|AC →
|＝4，S △ABC ＝12
|AB →|·|AC →|sin 30°＝1，
由12＋x ＋y ＝1得x ＋y ＝12
. 所以1x ＋4y
＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ·(x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥2×(5＋2×2)＝18.故选B. 答案： B
12．若不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x －3≤0，
x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－4]
B ．[－4，＋∞)
C ．[－4,20]
D ．[－40,20)
解析： 由x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3；若不等式组的解集不是空集，则需不等式x 2＋4x －(1＋a )≤0在[－1,3]上有解，即a ≥x 2＋4x －1在[－1,3]上有解；令h (x )＝x 2＋4x －1，h (x )在[－1,3]上单调递增，所以h (x )min ＝h (－1)＝－4，h (x )max ＝h (3)＝20，则a ≥－4，故选B.
答案： B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式bx 2－ax －1＞0的解集为________．
解析： 先由方程x 2－ax －b ＝0的两根为2和3，求得a ，b 后再解不等式bx 2－ax －1
＞0，得x ∈⎝⎛⎭⎫－12，－13. 答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪
－12
＜x ＜－13 14．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)
2(n ∈N *
)，f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )的值是________．
解析： f (1)＝1－a 1＝1－14＝3
4，
f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝f (1)·⎝⎛⎭
⎫1－19 ＝34·89＝23＝46
， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)
＝f (2)·⎝⎛⎭⎫1－116＝23·1516＝58， 由此猜想，f (n )＝n ＋2
2(n ＋1)(n ∈N *)．
答案： n ＋2
2(n ＋1)
(n ∈N *)
15．(2010·山东卷)若对任意x ＞0，x
x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
解析： ∵a ≥x x 2＋3x ＋1
＝1
x ＋1x
＋3对任意x ＞0恒成立，
设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1
u
恒成立即可．
∵x ＞0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．
由u ≥5知0＜1u ≤15，∴a ≥1
5.
答案： ⎣⎡⎭⎫15，＋∞
16．已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆．
类比此命题，写出另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是__________________________．
解析： 由题设结合双曲线的定义知点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OB 为实轴的双曲线．
答案： 以O 、A 为焦点，OB 为实轴的双曲线
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．(12分)设集合A ＝{x |x 2
＜4}，B ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
1＜4x ＋3
. (1)求集合A ∩B ；
(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a 、b 的值． 解析： A ＝{x |x 2＜4}＝{x |－2＜x ＜2}，
B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 1＜4x ＋3＝⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪
⎪
x －1x ＋3＜0＝{x |－3＜x ＜1}． (1)A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}．
(2)因为2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ＝{x |－3＜x ＜1}， 所以－3和1为方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．
故⎩
⎨⎧
－a
2＝－3＋1b
2
＝－3×1，所以a ＝4，b ＝－6.
18．(12分)已知函数f (x )＝k ＋1
x (k ＜0)，求使得f (x ＋k )＞1成立的x 的集合．
解析： 由f (x ＋k )＞1得k ＋1
x ＋k ＞1，
移项、通分，整理得x －1
x ＋k
＜0，
即x －1x －(－k )
＜0， 当k ＜－1时，－k ＞1，不等式的解集为{x |1＜x ＜－k }； 当k ＝－1时，－k ＝1，不等式的解集为∅；
当－1＜k ＜0时，0＜－k ＜1，不等式的解集为{x |－k ＜x ＜1}． 19．(12分)已知拋物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(m ∈R )． (1)当m 为何值时，拋物线与x 轴有两个不同的交点？
(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求实数m 的取值范围.【解析方法代码108001084】
解析： (1)由题意可知m ≠1，且Δ＞0， 即(m －2)2＋4(m －1)＞0，得m 2＞0， 所以m ≠1且m ≠0.
(2)由(1)知Δ＞0，所以设方程的两实根为x 1，x 2，
由韦达定理可得：⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2＝m －2
1－m
x 1x 2
＝1
1－m
，
所以1x 1＋1
x 2＝m －2，
所以1x 21＋1
x 22
＝(m －2)2＋2(m －1)≤2，
所以m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2. 又由(1)知m ≠1且m ≠0，
所以m 的范围为0＜m ＜1或1＜m ≤2. 20．(12分)为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，
该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k
2t ＋1
(k 为常
数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2009年生产该产品的固定
投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2009年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2009年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
解析： (1)由题意有1＝4－k
1
，得k ＝3，
故x ＝4－3
2t ＋1.
∴y ＝1.5×6＋12x
x
×x －(6＋12x )－t
＝3＋6x －t ＝3＋6⎝⎛⎭
⎫4－3
2t ＋1－t
＝27－18
2t ＋1
－t (t ≥0)．
(2)由(1)知：y ＝27－18
2t ＋1
－t ＝27.5－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤9t ＋12·⎝⎛⎭⎫t ＋12.
由基本不等式9t ＋12＋⎝⎛⎭⎫t ＋12≥29t ＋12·⎝⎛⎭⎫t ＋12＝6， 当且仅当9t ＋12
＝t ＋1
2，即t ＝2.5时，等号成立，
故y ＝27－18
2t ＋1
－t ＝27.5－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤9t ＋12＋⎝⎛⎭⎫t ＋12
≤27.5－6＝21.5.
当t ＝2.5时，y 有最大值21.5.
所以2009年的年费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．
21．(12分)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2a n ＝a 2n ＋1＋1
a 2n ＋1
.
(1)求证：a n ＋1＝a n ＋1
a n ；
(2)求证：2＜a 2n ＋1－a 2
n ≤3.
【解析方法代码108001085】 证明： (1)①当n ＝1时，显然由已知可得a n ＋1＝a n ＋1
a n
成立．
②假设n ＝k 时，a n ＋1＝a n ＋1a n 成立，即a k ＋1＝a k ＋1
a k
，
则当n ＝k ＋1时，根据题意有
a k ＋2＝a 2k ＋1＋1a 2k ＋1·a k ＝(a 2k ＋1＋1)·a k a 2
k ＋1
. ∵a k ＋1＝a k ＋1a k ＝a 2
k ＋1
a k
，
∴a k ＋2＝(a 2k ＋1＋1)·1a k ＋1＝a k ＋1＋1
a k ＋1
， ∴当n ＝k ＋1时，a n ＋1＝a n ＋1
a n
成立．
由①②可知，对任意n ∈N *，a n ＋1＝a n ＋1
a n
成立．
(2)由(1)知a n ＋1＝a n ＋1a n ，∴a 2n ＋1－a 2
n ＝1a 2n
＋2. 又由a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1
a n
易知a n ≥1，
∴0＜1a 2n ≤1.∴2＜1
a 2n ＋2≤3，
∴2＜a 2n ＋1－a 2
n ≤3.
22．(14分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)(2)(3)(4)所示为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．
(1)求出f (5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；
(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1
的值.【解析方法代码108001086】
解析： (1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25， ∴f (5)＝25＋4×4＝41. (2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，
由上述规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (n )－f (n －1)＝4(n －1)， f (n －1)－f (n －2)＝4·(n －2)， f (n －2)－f (n －3)＝4·(n －3)， …
f (2)－f (1)＝4×1
∴f (n )－f (1)＝4[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1] ＝2(n －1)·n ，
∴f (n )＝2n 2
－2n ＋1.
(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝1
2n 2－2n ＋1－1
＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1
＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－1
3＋…＋1n －1－1n ＝1＋1
2⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n
.
高:考*试:题≦库。