2019年柳州市中考数学总复习提分专练2：圆的综合问题(含解析)

提分专练 (二)
[圆的综合问题]
1.[2018·柳州] 如图T2-1,△ABC 为☉O 的内接三角形,AB 为☉O 的直径,过点A 作☉O 的切线交BC 的延长线于点D.
图T2-1
(1)求证:△DAC ∽△DBA ;
(2)过点C 作☉O 的切线CE 交AD 于点
E ,求证:CE=AD ;12(3)若点
F 为直径AB 下方半圆的中点,连接CF 交AB 于点
G ,且AD=6,AB=3,求CG 的长.
2.[2016·柳州] 如图T2-2,AB 为△ABC 外接圆☉O 的直径,点P 是线段CA 延长线上一点,点E 在圆上且满足PE 2=PA ·PC ,连接CE ,AE ,OE ,OE 交CA 于点D.
图T2-2
(1)求证:△PAE ∽△PEC ;
(2)求证:PE 为☉O 的切线;
(3)若∠B=30°,AP=AC ,求证:DO=DP.
123.[2015·柳州] 如图T2-3,已知四边形ABCD 是平行四边形,AD 与△ABC 的外接圆☉O 恰好相切于点A ,边CD 与☉O 相交于点E ,连接AE ,BE.
图T2-3
(1)求证:AB=AC ;
(2)若过点A 作AH ⊥BE 于点H ,求证:BH=CE+EH.
4.[2018·南宁] 如图T2-4,△ABC 内接于☉O ,∠CBG=∠A ,CD 为直径,OC 与AB 相交于点E ,过点E 作EF ⊥BC ,垂足为F ,延长CD 交GB 的延长线于点P ,连接BD.
图T2-4
(1)求证:PG 与☉O 相切;
(2)若=,求的值;
EF AC 58BE OC (3)在(2)的条件下,若☉O 的半径为8,PD=OD ,求OE 的长.
5.[2018·桂林] 如图T2-5,已知☉O 是△ADB 的外接圆,∠ADB 的平分线DC 交AB 于点M ,交☉O 于点C ,连接AC ,BC.
图T2-5
(1)求证:AC=BC ;
(2)如图②,在图①的基础上作☉O 的直径CF ,交AB 于点E ,连接AF ,过点A 作☉O 的切线AH ,若AH ∥BC ,求∠ACF 的度数;
(3)在(2)的条件下,若△ABD 的面积为6,△ABD 与△ABC 的面积之比为2∶9,求CD 的长.
3
参考答案
1.[解析] (1)在△DAC和△DBA中寻找两组相等角即可证明它们相似;
(2)根据切线的性质和等量代换,判定EA=ED=EC,由此证明结论;
(3)连接AF,BF.根据已知条件计算AF,BC的长,判定△AFG与△CBG相似,列比例式求解.解:(1)证明:∵AD是☉O的切线,
∴∠DAB=90°.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,即∠ACD=90°.
∴∠DAB=∠DCA.
又∵∠ADC=∠BDA,
∴△DAC∽△DBA.
(2)证明:如图,∵EA,EC都是☉O的切线,
∴EA=EC ,
∴∠1=∠2.
又∵∠1+∠D=∠2+∠3=90°,
∴∠3=∠D ,
∴ED=EC ,
∴EA=ED=EC ,即
CE=AD.12(3)连接AF ,BF.易证△DAB ∽△ACB ,
∴==.
BC AC AB AD 12∵点F 为直径AB 下方半圆的中点,
∴∠ACF=∠BCF ,即CG 是△ABC 的角平分线,
易证==.
BG AG BC AC 12又∵AB=3,则AG=2.
∵AB 是直径,∠ACF=∠BCF ,
∴△ABF 是等腰直角三角形,
∴AF=AB=.
2232
2在Rt △ABC 中,设BC=a ,则AC=2a ,
∴a 2+4a 2=9,解得:a=
,35
5即BC=.
355在△AFG 和△CBG 中,
∵∠FAG=∠BCG ,∠AFG=∠CBG ,
∴△AFG ∽△CBG ,
∴=,即=,解得:CG=CG AG BC AF CG 235
5322210
52.证明:(1)∵PE 2=PA ·PC ,
∴=.
PE PA PC
PE 又∵∠P=∠P ,
∴△PAE ∽△PEC.
(2)(法一)如图①,过点O 作OF ⊥AE ,垂足为F.
由垂径定理知OF 平分∠AOE.
∴∠PCE=∠EOF.
∵△PAE ∽△PEC ,
∴∠PEA=∠PCE.
∴∠EOF=∠PEA.
∴∠PEO=∠OEF+∠PEA=∠OEF+∠EOF=90°.
∴PE 为☉O 的切线.
(法二)如图②,延长EO ,交☉O 于点F ,连接AF.
则∠EAF=90°.
∵△PAE ∽△PEC ,
∴∠PEA=∠PCE.
又∵∠F=∠PCE ,
∴∠F=∠PEA.
∴∠PEO=∠FEA+∠PEA=∠FEA+∠F=90°.∴PE 为☉O 的切线.
(3)如图③,作OH ⊥AC ,垂足为H.
∵∠B=30°,
∴OH=BC=AC.
1
232又∵AP=AC ,
1
2∴PE 2=PA ·PC=AC ·AC=AC 2.
123234∴PE=AC=OH.
3
2在△ODH 和△PDE 中,
{∠ODH =∠PDE ,
∠OHD =∠PED =90°,
OH =PE ,
∴△ODH≌△PDE(AAS).
∴DO=DP.
3.证明:(1)易证∠ABE=∠DAE.
又∠EAC=∠EBC,
∴∠DAC=∠ABC.
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)作AF⊥CD于点F,
∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ABC=∠AEF.
又∠ABC=∠ACB,∴∠AEF=∠ACB.又∠AEB=∠ACB,∴∠AEH=∠AEF.在△AEH和△AEF中, {∠AHE=∠AFE,
∠AEH=∠AEF,
AE=AE,
∴△AEH≌△AEF,∴EH=EF,
∴CE+EH=CF.
在△ABH 和△ACF 中,
{∠ABH =∠ACF
,
∠AHB =∠AFC ,
AB =AC ,
∴△ABH ≌△ACF ,
∴BH=CF=CE+EH.
4.解:(1)证明:如图,连接OB ,则OB=OD ,
∴∠BDC=∠DBO ,
∵∠BAC=∠BDC ,∴∠BDC=∠GBC ,∴∠GBC=∠DBO ,
∵CD 是☉O 的直径,
∴∠DBO+∠OBC=90°,
∴∠GBC+∠OBC=90°,
∴∠GBO=90°,
∴PG 与☉O 相切.
(2)过点O 作OM ⊥AC 于点M ,连接OA ,
则∠AOM=∠COM=∠AOC ,
1∴∠ABC=∠AOC=∠AOM ,
12
又∵∠EFB=∠OMA=90°,
∴△BEF ∽△OAM ,
∴=,
EF AM BE OA ∵AM=AC ,OA=OC ,
1∴=,
EF
12AC BE OC 又∵=,
EF AC 58∴=2×=2×=;
BE OC EF AC 5854(3)∵PD=OD ,∠PBO=90°,
∴BD=OD=8,
在Rt △DBC 中,BC==8,
DC 2-BD 23又∵OD=OB ,
∴△DOB 是等边三角形,
∴∠DOB=60°,
∵∠DOB=∠OBC+∠OCB ,OB=OC ,∴∠OCB=30°,
∴=,=,
EF CE 12FC
EF 3∴可设EF=x ,则EC=2x ,FC=x ,3∴BF=8-x ,
33在Rt △BEF 中,BE 2=EF 2+BF 2,=,BE=10,BE OC 5
4
33
∴100=x2+(8-x)2,
13
解得:x=6±,
13
∵6+>8,舍去,
13
∴x=6-,
13
∴EC=12-2,
1313
∴OE=8-(12-2)=2-4.
5.解:(1)证明:∵DC是∠ADB的平分线,
∴∠ADC=∠BDC,
又∵∠ADC=∠ABC,∠BAC=∠BDC,
∴∠ABC=∠BAC,
∴AC=BC.
(2)如图,连接OA,
∵AH是☉O的切线,∴∠OAH=90°,
∴∠OAC+∠CAH=90°,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OCA+∠CAH=90°,即∠FCA+∠CAH=90°,∵CF是☉O的直径,∴∠FAC=90°,
∴∠CFA+∠FCA=90°,∴∠CFA=∠CAH,
又∵∠CFA=∠ABC ,∠ABC=∠BAC ,∠HAC=∠ACB (由AH ∥BC 可证),∴∠ABC=∠BAC=∠ACB ,
∴△ABC 是等边三角形,
∴∠CFA=∠ABC=60°,
∴∠ACF=90°-∠CFA=90°-60°=30°.
(3)∵△ABC 是等边三角形,∠BAC=60°,
即∠EAC=60°,
又∵∠FCA=30°,
即∠ECA=30°,∴∠EAC+∠ECA=90°,
∴∠CEA=90°,即
AB ⊥CF ,∴AE=BE=AB ,12∵S △ABD =6,=,
3S △ABD
S △ABC 29∴S △ABC =27,∴AB ·CE=27,
3123∴AE ·CE=27,则在Rt △AEC 中,
3∵∠EAC=60°,∴tan ∠EAC==,
CE AE 3即CE=AE ,∴AE ·AE=27,
333解得AE=3,
3∴AB=2AE=6,
3CE=AE=9,
3∵在R t △AEC 中,∠EAC=60°,
∴CA=2AE=6,
3
∴CF===12,
AC cos30°63
3
过点D 作DG ⊥CF 于点G ,过点D 作DP ⊥AB 于点P ,连接OD ,∵S △ABD =AB ·DP=×6·DP=6,
121
233∴DP=2,
∵AB ⊥CF ,DP ⊥AB ,DG ⊥CF ,
∴∠DGE=∠GEP=∠DPE=90°,
∴四边形DGEP 是矩形,∴EG=DP=2,
∴CG=EG+CE=2+9=11,
则在Rt △ODG 中,OG=CG-OC=11-6=5,OD=6,
∴DG===,
OD 2-OG 262-5211∴CD====2.GD 2+CG 2(11)2+11211+12133。