2021年口奥题库几何
小学奥数题及答案及小学奥数平面几何五种面积模型
小学奥数题及答案工程问题1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？解：1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率9/80×5＝45/80表示5小时后进水量1-45/80＝35/80表示还要的进水量35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。
如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。
现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。
只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天1/20*（16-x）+7/100*x＝1x＝10答：甲乙最短合作10天3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。
现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。
乙单独做完这件工作要多少小时？解：由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量（1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。
所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。
2021年奥林匹克数学竞赛试题
奥林匹克数学竞赛试题（几何某些）Mathematics Olympic test(geometric part)1.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=40°，∠C=50°，点E,F,M,N分别为四条边中点，求证：BC=EF+MN.【简朴】2.已知在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为平行四边形ABCD外一点，且∠APC=∠BPD=90°，求证：平行四边形ABCD为矩形.【简朴】3.已知在三角形ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上一点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F.求证：PE+PF=CD.【简朴】4.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD⊥AB，AH⊥FH，EF⊥AB，求证：EF=CD+FH.【简朴】5.已知三角形ABC和三角形BDE都是等腰直角三角形，连结AD，延长CE交AD与F,求证：CF⊥AD.【简朴】6.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，连结AD交BE于F，连结CE交AB于G，连结FG，求证：FG∥CD.【简朴】7.已知三角形ABC为正三角形，内取一点P，向三边作垂线，交AB 于D，BC于E,AC于F，求证：PD+PE+PF=三角形高.【简朴】8.已知三角形ABC为正三角形，AD为高，取三角形外一点P，向三边（或边延长线）作垂线，交AB延长线AE于M，交AC延长线AF于N，交BC于Q，求证：PM+PN-PQ=AD.【中档】9.已知在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O，DE平分∠ADC交AC 于F，若∠BDE=15°，求∠COE度数.【中档】10.已知三角形ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AD⊥BC，AE平分∠CAD，BF平分∠ABC，交AD于G，交AE于H，连结EG,求证：EG∥AC.【中档】11.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，连结AE,CD,取AE 中点N，取CD中点M，连结BM,BN,MN.求证：三角形BMN是等边三角形.【中档】12.已知在正方形ABCD中，作对角线AC平行线EG，作BC=CH，连结BE，延长HG交BE于F，连结CF，求证：BC=CF.【中档】13.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，将腰CD绕点D 逆时针旋转90°至DE，连结AE，求三角形ADE面积.【中档】14.已知在任意四边形ABCD中，AB=CD，P,Q,R分别为AD,BC,BD中点，∠ABD=25°，∠BDC=65°，求∠PQR度数.【中档】15.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，求证：S三角形CDE=S 三角形ADE+S三角形BCE.【较难】16.已知矩形ABCD，在CD延长线上取一点E，在BC延长线上取一点F，使得∠DAE=∠DAF,AF和CD交于G,求证：S矩形ABCD=S三角形AEF.【较难】17.已知在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于F，过F作FG⊥CD交BE延长线于G，求证：BG=AF+FG.【很难】【提示：过C点作AC垂线，延长AF，交垂线于H.】18.已知在正九边形ABCDEFGHI中，连结AE，AE=1,求AH+AI 长.【很难】【提示：延长AH使HK=HG，连结KG.】19.已知正方形ABCD内有一点P，且PB：PC：PD=3：2：1，求证：∠CPD=135°.【超难】【提示：过C作PC垂线CP’，使CP=CP’.】20.已知在任意四边形ABCD中，点E,F分别将AD,BC提成m：n两某些，AF和BE交于P，CE和DF交于Q，求证：S四边形EPFQ=S三角形CDQ+S三角形ABP.【超难】。
2021中美洲及加勒比数学奥林匹克几何题解答
2021中美洲及加勒比数学奥林匹克几何题解答2021年第十九届中美洲及加勒比数学奥林匹克竞赛试题及解答，是每个数学爱好者都必须拥有的珍贵资料。
这份资料不仅能帮助我们了解和掌握数学的最新发展，还能激发我们的数学兴趣和创新能力。
这份资料包含了10个数学题目和它们的详细解答。
这些题目涵盖了多个数学领域，包括几何、代数、概率统计等。
每一道题目都经过精心设计，具有很高的难度和挑战性。
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总的来说，2021年第十九届中美洲及加勒比数学奥林匹克竞赛试题及解答是一份极具价值的数学资料。
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2021乌克兰数学奥林匹克几何题解答
2021乌克兰数学奥林匹克几何题解答乌克兰数学奥林匹克是世界上最具竞争力的数学竞赛之一，每年都吸引着来自世界各地的优秀学生参与。
其中，几何题一直是考察学生空间想象力和推理能力的重要环节。
本文将为大家解答2021乌克兰数学奥林匹克的几何题。
题目一：在平面上，给定一个三角形ABC，点D是BC边上的一个点，且满足∠BAD = ∠ACD。
点E是AB边上的一个点，且满足∠CED =∠BCA。
证明：∠BAC = ∠BCE。
解答：首先，我们可以通过角度追踪来证明∠BAD = ∠ACD。
由于∠BAD = ∠ACD，我们可以得到∠BAC = ∠CAD。
又因为∠CED =∠BCA，所以∠CDE = ∠CBA。
根据三角形内角和定理，我们可以得到∠CDE + ∠CED + ∠CDE = 180°。
将∠CDE替换为∠CBA，我们可以得到∠CBA + ∠CED + ∠CBA = 180°。
进一步化简，我们可以得到2∠CBA + ∠CED = 180°。
由于∠CED = ∠BCA，所以2∠CBA +∠BCA = 180°。
化简后，我们可以得到∠CBA = 60°。
接下来，我们需要证明∠BAC = ∠BCE。
我们可以通过角度追踪来证明这一点。
首先，我们可以得到∠BAC = ∠CAD。
又因为∠CED = ∠BCA，所以∠BCE = ∠CDE。
根据三角形内角和定理，我们可以得到∠BCE + ∠CDE + ∠CED = 180°。
将∠CDE替换为∠BCE，我们可以得到∠BCE + ∠BCE + ∠CED = 180°。
进一步化简，我们可以得到2∠BCE + ∠CED = 180°。
由于∠CED = ∠BCA，所以2∠BCE +∠BCA = 180°。
化简后，我们可以得到∠BCE = 60°。
综上所述，我们证明了∠BAC = ∠BCE。
(word完整版)小学奥数几何专题(2021年整理精品文档)
(word完整版)小学奥数几何专题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(word完整版)小学奥数几何专题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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小学几何面积问题一 姓名引理:如图1在ABCD 中。
P 是AD 上一点,连接PB ，PC 则S △PBC=S △ABP +S △pcD =21S ABCD1．已知：四边形ABCD 为平行四边形，图中的阴影部份面积占平行四边形ABCD 的面积的几分之几？2. 的面积为18，E 是PC 的中点，求图中的阴影部份面积3. 中,CD 的延长线上的一点E ，DC=2DE,连接BE 交AC 于P 点,（如图）知S △PDE =1， S △ABP =4，求：平行四边形ABCD4。
.四边形ABCD 中，BF=EF=ED ，（如图）(1） 若S 四边形ABCD =15则S 阴 =（2）若S △AEF + S △BFC =15则S 四边形ABCD =（第一题图) （3）若S △AEF= 3 S △BFC =2 则S 四边形ABCD = 5. 四边形ABCD 的对角线BD 被E,F ，G 三点四等份，（如图）若四边形AECG=15DE P 图1ADCB（适应长方形、正方形）BＧＢ Ｆ Ｃ Ａ Ｅ Ｄ则S 四边形ABCD =6.四边形ABCD 的对角线BD 被E,F ，G 三点四等份，(如图）若阴影部份面积为15 则S 四边形ABCD =7.若ABCD 为正方形，F 是DC 的中点，已知:S △BFC = 1 (1)则S 四边形ADFB =（2） S △DFE =(3） S △AEB =8。
口奥题库几何
【四边形】【1】在一本数学书的插图中，有100个平行四边形，80个长方形，40个菱形。
这本书的插图中正方形最多有_____个。
【答案】40个【最值】【剪拼】—个边长是7厘米的正方形纸片，最多能裁出多少个长是4厘米，宽是1厘米的长方形纸条？【答案】12【剪拼】【2】图中由24个正方形组成，请通过P点画一条直线，把这个图形分割成面积相等的两部分。
P【答案】P【面积】【2】求出图中梯形ABCD的面积。
其中BC=10厘米。
B E【答案】50平方厘米【面积】【3】用4个相同的等腰直角三角形相互交叠拼成下图，阴影正方形的面积是平方厘米。
3【答案】18平方厘米3图中的阴影部分面积是正方形面积的14。
3×3÷2×4=18（㎝2）【周长】【面积】【1】判断：在周长都为8厘米的正方形和长方形中，面积较大的是正方形。
【答案】√【周长面积】【2】由5个正方形组成的十字架图形的面积是180，求它的周长是多少？【答案】72【面积】【1】等腰梯形的对角线互相垂直,一条对角线的长是9厘米,求梯形的面积。
【答案】平方厘米【面积】【差不变】【2】如图，有边长分别是16分米和24分米的两个正方形，一条直线把这两个相连的正方形分成四部分。
甲三角形的面积比乙三角形的面积多多少平方分米？【答案】96【面积】【格点多边形】【2】、在边长等于5厘米的正方形内有一个平行四边形，这个平行四边形面积是多少？【答案】14平方厘米【面积】【格点多边形】【2】如图，计算这个格点多边形的面积.（每一格为单位1）【答案】【等高模型】【2】如图，一长方形被一条直线分成两个长方形，这两个长方形的宽的比为1∶3，若阴影三角形面积为1平方厘米，则原长方形面积为______平方厘米．【答案】223【等高模型】【2】As shown below, the area of the parallelogram ABCD is 54 cm 2, E, F trisect CA andBA, the area of the shadow is _________.【答案】6cm 2【等高模型】【3】如图：正方形ABCD 的边长为12厘米，P 是AB 边上的任意一点，M 、N 、I 、H 分别是BC 、AD 上的三等分点（即BM=MN=NC ），E 、F 、G 是边CD 上的四等分点，图中阴影部分面积是多少平方厘米。
数学奥数几何竞赛试题及答案
数学奥数几何竞赛试题及答案试题一：题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB是斜边，BC=6厘米，AC=8厘米。
求三角形ABC的面积。
答案：根据直角三角形的面积公式，面积S = (底× 高) / 2。
这里，底BC=6厘米，高AC=8厘米。
所以，S = (6 × 8) / 2 = 48 / 2 = 24平方厘米。
试题二：题目：一个圆的半径为5厘米，求这个圆的周长和面积。
答案：圆的周长公式为C = 2πr，其中r是圆的半径。
将半径r=5厘米代入公式，得C = 2 × π ×5 = 10π ≈ 31.4厘米。
圆的面积公式为A = πr²，将半径r=5厘米代入公式，得A = π × 5² = 25π ≈ 78.5平方厘米。
试题三：题目：一个正六边形的边长为a厘米，求这个正六边形的周长和面积。
答案：正六边形的周长等于6倍边长，所以周长P = 6a厘米。
正六边形可以被划分为6个等边三角形，每个等边三角形的面积为(√3/4)a²。
所以，正六边形的面积A = 6 × (√3/4)a² = (3√3/2)a²平方厘米。
试题四：题目：在一个长方体中，如果长、宽、高分别为l、w、h，求这个长方体的表面积和体积。
答案：长方体的表面积A = 2(lw + lh + wh)。
长方体的体积V = lwh。
试题五：题目：在一个等腰三角形中，如果底边长度为10厘米，两腰的长度相等，且底角为45°，求两腰的长度。
答案：由于底角为45°，我们可以知道这是一个等腰直角三角形。
在等腰直角三角形中，两腰相等，且是底边的√2倍。
所以，两腰的长度为10 × √2 ≈ 14.14厘米。
结束语：以上是本次数学奥数几何竞赛的试题及答案，希望同学们能够通过这些题目加深对几何知识的理解，并在竞赛中取得优异的成绩。
口奥题库几何
口奥题库几何文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]【四边形】【1】在一本数学书的插图中，有100个平行四边形，80个长方形，40个菱形。
这本书的插图中正方形最多有_____个。
【答案】40个【最值】【剪拼】—个边长是7厘米的正方形纸片，最多能裁出多少个长是4厘米，宽是1厘米的长方形纸条【答案】12【剪拼】【2】图中由24个正方形组成，请通过P点画一条直线，把这个图形分割成面积相等的两部分。
【答案】P【面积】【2】求出图中梯形ABCD的面积。
其中BC=10厘米。
【答案】50平方厘米【面积】【3】用4个相同的等腰直角三角形相互交叠拼成下图，阴影正方形的面积是平方厘米。
【答案】18平方厘米图中的阴影部分面积是正方形面积的1。
43×3÷2×4=18（㎝2）【周长】【面积】【1】判断：在周长都为8厘米的正方形和长方形中，面积较大的是正方形。
【答案】√【周长面积】【2】由5个正方形组成的十字架图形的面积是180，求它的周长是多少【答案】72【面积】【1】等腰梯形的对角线互相垂直,一条对角线的长是9厘米,求梯形的面积。
【答案】平方厘米【面积】【差不变】【2】如图，有边长分别是16分米和24分米的两个正方形，一条直线把这两个相连的正方形分成四部分。
甲三角形的面积比乙三角形的面积多多少平方分米【答案】96【面积】【格点多边形】【2】、在边长等于5厘米的正方形内有一个平行四边形，这个平行四边形面积是多少【答案】14平方厘米【面积】【格点多边形】【2】如图，计算这个格点多边形的面积.（每一格为单位1）【答案】【等高模型】【2】如图，一长方形被一条直线分成两个长方形，这两个长方形的宽的比为1∶3，若阴影三角形面积为1平方厘米，则原长方形面积为______平方厘米．【答案】223【等高模型】【2】As shown below, the area of the parallelogram ABCD is 54 cm2, E, F trisect CA and BA, the area of the shadow is _________.【答案】6cm2【等高模型】【3】如图：正方形ABCD的边长为12厘米，P是AB边上的任意一点，M、N、I、H分别是BC、AD上的三等分点（即BM=MN=NC），E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分面积是多少平方厘米。
分形和几何图形口算练习题及答案2023
分形和几何图形口算练习题及答案2023在数学中，分形是一类具有自相似性质的几何图形。
它有着丰富的结构和复杂的形态，引起了许多数学家和科学家的研究兴趣。
本文将为大家提供一组分形和几何图形的口算练习题及答案，帮助大家加深对这些图形的理解。
1. 请计算以下分形图形的维度：(1) 康托集解答：康托集是一个自相似的分形图形，每次迭代时，将线段分成三等分并去掉中间的1/3。
迭代次数与线段长度成反比。
迭代次数：n线段长度：l根据迭代原理可得：(1/3)^n * l = 0解方程可得：n = log(1/l) / log(1/3)(2) 三角形谢尔宾斯基地毯解答：谢尔宾斯基地毯是一个由小正方形组成的分形图形。
每次迭代时，将每个正方形分成9个等分，并去掉中间的正方形。
迭代次数：n正方形个数：s根据迭代原理可得：(3^n)^2 = s解方程可得：n = log(s) / log(3)2. 请计算以下几何图形的面积：(1) 正方形解答：假设正方形的边长为a，则面积为a^2。
(2) 圆形解答：假设圆的半径为r，则面积为πr^2。
(3) 矩形解答：假设矩形的长为L，宽为W，则面积为L*W。
3. 请计算以下几何图形的周长：(1) 正方形解答：假设正方形的边长为a，则周长为4a。
(2) 圆形解答：假设圆的半径为r，则周长为2πr。
(3) 矩形解答：假设矩形的长为L，宽为W，则周长为2(L+W)。
4. 请计算以下几何图形的体积：(1) 立方体解答：假设立方体的边长为a，则体积为a^3。
(2) 圆柱体解答：假设圆柱体的底面半径为r，高度为h，则体积为πr^2h。
(3) 球体解答：假设球的半径为r，则体积为(4/3)πr^3。
(4) 圆锥体解答：假设圆锥体的底面半径为r，高度为h，则体积为(1/3)πr^2h。
5. 请计算以下分形图形的像素数：(1) 康托集解答：康托集是一个自相似的线段图形。
每次迭代时，线段的像素数为前一次迭代的1/3。
2021年土耳其IMO国家队选拔考试两道平面几何题的解答
2021年土耳其IMO国家队选拔考试两道平面几何题的解答题5非等腰⊿ABC中，BC的垂直平分线与⊿AB外接圆交于M、N 两点，取AM、AN的中点K、L，⊿ABK的外接圆与⊿ABL的外接圆分别与AC再次交于点D、E，⊿ACK的外接圆与⊿ACL的外接圆分别与AB再次交于点F、G.求证：DF、EG、MN三线共点.证明：可以证明FD、GE都通过BC的中点.如图1所示. 设FD交BC于点R.连KB、KF、KD、KC、FC、BD、NB、NC、ND、NF.由ABDK四点共圆有∠ABK=∠ADK,由AFCK四点共圆有∠AFK=∠ACK,于是有∠BKF=∠DKC.∠KBD=∠KAD=∠MAC=∠MBC,∠KDB=180º-∠BAK=180º-∠BAM=∠MCB=∠MBC,于是KB=KD,同理KF=KC.于是⊿KBF≌⊿KDC,得BF=CD.显然NB=NC,∠NCD=∠FBN,于是⊿NCD≌⊿NBF,所以ND=NF, ∠CND=∠BNF,于是∠FND=∠BNC,进而⊿FND∽⊿BNC,由于∠FAD=∠BAC=∠BMC,以点N为位似中心作位似旋转变换，则F->B, D->C, A->M,由于MB=MC,所以AF=AD.FD截⊿ABC,由Menelaus定理有:(CR/BR)·(BF/FA)·(AD/DC)=1所以CR/BR=(AF/FB)·(CD/DA)，前面已经证明BF=CD，AF=AD 所以CR/BR=1，即FD过BC中点.同理可证GE过BC中点.实际上如图2所示.连接MB、MC、MG、LB、LC、EL.∠CEL=∠GBL, ∠ECL=∠BGL由于∠BEL=∠BAL=∠CAL=∠EAL=∠EBL于是EL=BL，所以⊿GBL≌⊿CEL，得CE=GB.又显然∠MBG=∠MCE,MB=MC,于是⊿MGB≌⊿MEC，得MG=ME. ∠MEC=∠MGB,A、G、E、M四点共圆.∠GME=180º-∠GAE=∠BAC=∠BMC.以M为位似中心作位似旋转变换，则G->B, E->C, A->N,以下同前面类似可得GE过BC中线.综上命题得证！题7.已知⊿ABC内接于圆⍵，其内心为I.过点I与∠A外角平分线与⍵的交点的直线交⊿BIC的外接圆于点Ta,类似的定义Tb、Tc.求证：⊿TaTbTc的外接圆半径为⍵半径的两倍.证明：如图1所示.设AI交⊿BIC外接圆于点R,∠A外角平分线与⊿ABC外接圆于点M，过M作直径MN.设CI交⊿BIA外接圆于点S, BI交⊿CIA外接圆于点K.则点N为劣弧BC的中点，由鸡爪定理，NB=NO=NI,于是点N为⊿BIC的外心，则知IR为⊿BIC外接圆直径,同理IK、IS分别为另外两圆的直径,于是IA⊥SK、IB⊥SR、IC⊥RK，所以RCK三点、SAK三点、SBR三点分别共线.由IR为⊿BIC外接圆直径知∠ITa⊥RTa.于是M、A、Ta、R四点共圆.于是AM和RTa的交点Q在圆(MABC)和圆(RTaBC)的根轴上，显然BC即为两圆的根轴，于是Q在BC上.由A、I、B、S四点共圆知∠ASB=∠BIR=∠BCR,于是有K、S、B、C四点共圆，于是有QS·QK=QB·QC=QTa·QR，即Ta在⊿KSR的外接圆上，同理Tb、Tc也在⊿KSR的外接圆上.另一方面,IA⊥AM,IB⊥SR,而AIR和BIK分别三点共线知道点I为⊿KSR的垂心，A、B、C分别三边上的垂足,由熟知的结论，点M为SK的中点.于是⊿ABC的外接圆为⊿KSR的九点圆，⊿ABC的外接圆半径当然为⊿KSR外接圆半径的一半.而⊿KSR外接圆即为⊿TaTbTc的外接圆，命题得证！。
口奥题库组合
【枚举】【2】从1993到5989的所有自然数中，十位数字与个位数字相同的共有多少个？【答案】400个【加乘原理】【3】有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份。
问：一共有多少种不同的订法？【答案】19种第一种情况：3所学校的订数互不相同，有98、100、102和99、100、101两种组合，每种组合有6种不同的排列，此时有12种订法。
第二种情况：3所学校的订数有2所相同，有98、101、101和99、99、102两种组合，每种组合有3种不同的排列，此时有6种订法。
第三种情况：3所学校的订数都相同，只有100、100、100一种订法。
不同的订法共有12＋6＋1=19种。
【加乘原理】【2】在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？【答案】45个【加乘原理】【2】电影院有6个门，其中A,B,C,D这四个门只供观众出场用，甲、乙两个门既可供出场用，又可供进场用。
进出这个电影院共有多少种不同的路线？【答案】12种【加乘原理】【4】1～30这30个自然数，从中任取2两个数相加，它们的和不等于7的倍数的可能共有多少种？【答案】373个【加乘原理】【3】由数字0,1,2,3,4组成一个数，问可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？【答案】30【乘法原理】【排除法】【3】把5本不同的书放入两只不同的书包里，使得每只书包内至少有1本书，有多少种不同的放法？【答案】30【排列组合】【1】从2,3,5,7,11,13这6个数中，选出两个数并将它们相乘，可以得到多少个不同的乘积？【答案】15【排列组合】【2】由1、2、3、4这四个数字可以组成许多数字不重复的四位数，将它们从小到大排列，4123是第几个？【答案】19【排列组合】【圆排列】【1】5个小朋友围成一圈跳舞，有多少种不同的围法？【答案】24【排列组合】【捆绑法】【插空法】【2】4名女生和3名男生排成一排：（1）所有男生和男生必须相邻，女生和女生必须相邻的排法共有多少种？（2）女生不相邻的排法共有多少种？【答案】288，144【几何计数】【3】在4×4的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成“L”型（如图），共有种不同的取法？【答案】36在2×2的正方形中,有4种取法。
2021IMO中国国家集训队平面几何练习题
2021IMO中国国家集训队平面几何练习题几何讲义1．一圆o切于两条平行线l1,l2，第二个圆?o1切l1于a，外切?o于c，第三个圆?o2切外切?o于d，外切?o1于e，ad交bc于q，求证q是?cde的外心。
（35届imol2于b，预选题）证明由ao1∥bo2，言?ao1e??bo2e??，从而存有?aeo1??beo2，即a,e,b三点共线。
同理由of∥bo2，可得b,d,f三点共线。
又因为11?edb?180eo2b?180ao1e??eaf，所以a,e,d,f四点共圆，22be?ba?bd?bf，即点b在?o1与?o的根轴上。
又因为c在?o1与?o的根轴上，所以bc是?o1与?o的根轴。
同理ad是?o2与?o的根轴，因此q为根心，且有qc?qd?qe，即q 是?cde的外心。
2．非全等?abc的内切圆圆心为i，其与bc,ca,ab分别切线于点a1,b1,c1，aa1,bb1分别交圆于a2,b2，?a证明1b1c1中?c1a1b1,?c1b1a1的角平分线分别交b3,b3，1c1,ac11于点a（1）a2a3就是?b1a2c1的角平分线；（2）如果p,q就是?a1a2a3和?b1b2b3的两个外接圆的交点，则点i在直线pq上。
（01年保加利亚）c1a2aa2aa2b1a2cacaca，从而有12?11?13，即a2a3是?b1a2c1的角平分线。
c1a1ac1ab1b1a1b1a2b1a1b1a3o，连oi,ia2,oa2,oa1，则oi?a1a2。
由于?a1a3a2?（2）设立?a1a2a3的外心为ac11a2c1a2a3c1a1a3ac11a2a2oi1c1a2b1c1a1b190ac11a2，所以21?a2oa1?180a1a3a2?90ac于是有?ia2o?90?，11a2?90a2io，2即ia2与?o相切于a2。
同理ib2与?b1b2b3的外接圆相切于b2，从而i在?o与?b1b2b3的外接圆的根轴上，即i,p,q三点共线。
2021保加利亚数学奥林匹克两道平面几何题的解答
2021保加利亚数学奥林匹克两道平面几何题的解答题2.锐角⊿ABC外心为O，在过C的高线上取一点T，使得∠TBA=∠ACB.若直线CO与边AB交于点K，证明:AB中垂线、过点A 的高线、直线KT三线共点.证明:设AD为过点A的高线，过C的高线与AB交于点E,AD与OM交于点R.显然OM//CE,故有：KM/KE=OM/CE.又OM/AM=tg∠OAM=ctg∠C,所以OM=AM·ctg∠C另一方面,MR/AM=tg∠MAR=ctg∠B,MR= AM·ctg∠B.ET/EB= tg∠EBT=tg∠C,ET=EB·tg∠C要使点R在KT上，只需KM/KE= MR/ER只需OM/CE=(AM·ctg∠B)/ (EB·tg∠C)只需(AM·ctg∠C)/CE=(AM·ctg∠B)/ (EB·tg∠C)只需ctg∠B= EB/CE,这在RT⊿CBE中显然成立.命题得证！题6 在⊿ABC中，AC>BC,点S为其外接圆⍵上弧ACB的中点，I 为其内心，直线SI与⍵再次相交于点T.已知D为I关于T的对称点，M为边AB的中点，过点D作AB的平行线于直线IM交于点E.求证：AE=BD.证明：如图所示.连SA、SB,设SM交⍵于点O.由于S为弧ACB的中点，M为AB中点，所以SM⊥AB，SO为⍵的直径,点O为劣弧AB的中点,C、I、O三点共线.由内心的性质知OA=OB=OI,于是点O为⊿AIB的外心，SA、SB 分别为圆O的切线.由于SO为⍵的直径，所以OT⊥ST,而点D和点I关于T对称，也即点D和点I关于OT对称，所以点D在圆O上.由SA、SB为圆O的切线知，四边形IADB为调和四边形，又点M为AB中点，由调和四边形性质知，∠BMI=∠DMB=∠DAI=180º-∠DBI.设DE 交圆O于点E’,连IE’.则∠IE’D=180º-∠DBI=∠BMI，所以I、M、E’三点共线，于是E和E’重合.显然AEDB为等腰梯形，所以AE=BD.命题得证！。
第09讲 图形与面积专题+口奥4(解析版)
第09讲图形与面积专题+口奥4掌握平面图形的周长和面积掌握立体图形的基本知识完成口奥知识的训练模块一：平面图形的周长与面积1、周长几个重要的解题思想（1）平移在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意．（2）割补割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变．（3）旋转在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题．（4）对称平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助．（5）代换在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．2、面积平面图形所围成的平面的大小叫做平面图形的面积，常见的几种规则图形的面积公式有：（1）三角形：12S ah =，其中h 表示三角形一条底边a 上的高； （2）正方形：2S a =，（3）长方形：S ab =（4）平行四边形：S ah =（5）梯形：()12S a b h =+3、圆（1）、圆和圆周长1）圆的几个要素：圆心O 、半径r ，直径d ． 2）圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长．计算公式：C d π=，也可表示为2C r π=．（2）、弧与弧长1）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，用符号“”表示，如以A ，B 为两端点的弧，记作AB ，读作弧AB ，如图中的BC 又称作半圆．2）圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，如图中的∠AOB 称为圆心角．3）弧长计算公式：2360180n n r l r ππ=⨯=．（3）、圆的面积计算公式：2214S r d ππ==（4）、扇形1）扇形概念：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，图中的扇形记作扇形OAB ．2）扇形的面积公式一：22360360n n rS rππ=⋅=（理解记忆：=360S nS扇圆）公式二：1=2S lr（其中l为扇形的弧长，r为扇形的半径）模块二：立体图形1、当相同的正方体拼在一起的时候，这里重叠的地方就把它叫做接缝，重叠部分的面积就叫做接缝处的面积。
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【四边形】【1】在一本数学书插图中，有100个平行四边形，80个长方形，40个菱形。
这本书插图中正方形最多有_____个。
【答案】40个
【最值】【剪拼】—个边长是7厘米正方形纸片，最多能裁出多少个长是4厘米，宽是1厘米长方形纸条？【答案】12
【剪拼】【2】图中由24个正方形构成，请通过P点画一条直线，把这个图形分割成面积相等两某些。
【面积】【2】求出图中梯形ABCD面积。
其中BC=10厘米。
【答案】50平方厘米
【面积】【3】用4个相似等腰直角三角形互相交叠拼成下图，阴影正方形面积是平方厘米。
【答案】18平方厘米
3
图中阴影某些面积是正方形面积1
4。
3×3÷2×4=18（㎝2）
【周长】【面积】【1】判断：在周长都为8厘米正方形和长方形中，面积较大是正方形。
【答案】√
【周长面积】【2】由5个正方形构成十字架图形面积是180，求它周长是多少？
【答案】72
【面积】【1】等腰梯形对角线互相垂直,一条对角线长是9厘米,求梯形面积。
【答案】40.5平方厘米
【面积】【差不变】【2】如图，有边长分别是16分米和24分米两个正方形，一条直线把这两个相连正方形提成四某些。
甲三角形面积比乙三角形面积多多少平方分米？
【答案】96
【面积】【格点多边形】【2】、在边长等于5厘米正方形内有一种平行四边形，这个平行四边形面积是多少？
【答案】14平方厘米
【面积】【格点多边形】【2】如图，计算这个格点多边形面积.（每一格为单位1）
【答案】6.5
【等高模型】【2】如图，一长方形被一条直线提成两个长方形，这两个长方形宽比为1∶3，若阴影三角形面积为1平方厘米，则原长方形面积为______平方厘米．
【等高模型】【2】As shown below，the area of the parallelogram ABCD is 54 cm2，E，F trisect CA and BA，the area of the shadow is _________.
【答案】6cm2
【等高模型】【3】如图：正方形ABCD边长为12厘米，P是AB边上任意一点，M、N、I、H分别是BC、AD上三等分点（即BM=MN=NC），E、F、G是边CD上四等分点，图中阴影某些面积是多少平方厘米。
【答案】60平方厘米
【等高模型】【3】如图：正方形ABCD边长为12厘米，P是AB边上任意一点，M、N、分别是BC、AD 上三等分点，E是边CD中点，图中三角形APN和三角形PMC面积总和是________平方厘米。
【答案】48
【等高模型】【1】如图，已知AF=FC，BD=DE=EC，三角形ADF面积是
20，求三角形ABC面积是多少？
【答案】60
【鸟头模型】【2】在三角形ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知三角形ABC面积是18平方厘米，那么四边
形AEDC面积等于多少平方厘米？
【答案】12平方厘米
【鸟头模型】【2】在三角形ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知三角形ABC面积是36平方厘米，那么四边形AEDC面积等于多少平方厘米？
【答案】24平方厘米
【等高模型】【2】如图：一种长方形被提成A、B、C、D四个小长方形，已知A面积是2平方厘米，B面积是3平方厘米，C面积是5平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？
【答案】17.5平方厘米
D=B×C÷A=3×5÷2=7.5(㎝2)
长方形面积:A＋B＋C＋D=2＋3＋5＋7.5=17.5(㎝2)
【等高模型】【2】如图：一种长方形被提成A、B、C、D四个小长方形，已知A面积是2平方厘米，B面积是4平方厘米，C面积是6平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？
【答案】24平方厘米
【等高模型】【2】图中数据分别表达两个长方形和一种直角三角形面积，另一种三角形面积是多少？
【答案】15
15×12÷4÷3=15
【一半模型】【3】已知：如图，在□ABCD中，E、F分别为AB和AD上点，且△MBE面积为13，△PFD 面积为35，四边形AENF面积为49，求阴影某些面积。
P
M
N
A
B
D
C
F
E
【答案】97
【一半模型】【2】如图：一种长方形被提成4个不同三角形，如果绿色三角形面积是原长方形面积
1
5
，黄色三角形面积是15平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？
黄
蓝
红
绿
【答案】50平方厘米
A C
B D
15÷(0.5－0.2)=50(平方厘米)
【一半模型】【2】如图：一种长方形被提成4
色三角形面积是15平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？
【答案】150平方厘米
15÷(0.5－0.4)=150(平方厘米)
【等积变形】【2】梯形ABCD中，AB平行于CD，对角线AC，BD交于O点，OE平行于AB、CD，交腰BC于E点，如果三角形ADE面积是90平方厘米，那么三角形BOC面积是多少平方厘米？
【答案】45平方厘米
【蝴蝶模型】【3】如图，已知阴影某些面积是40平方厘米，长方形ABCD长为20厘米，宽为12厘米，求三角形ABF与三角形CEF面积之和。
【答案】100平方厘米
【勾股定理】【1】观测下列各组数，不可以构成直角三角形三边有哪些？
（A）3，4，5；
（B）5，12，13；
（C）6，10，15；
（D）7，24，25
【答案】C
【立体几何】【2】一种零件形状大小如下图：算一算，它体积是多少立方厘米？
【答案】160立方厘米
【立体几何】【2】一种长方体，它高和宽都相等，如果把它长去掉3厘米，就成为表面积是150平方厘米正方体，本来长方体体积是多少立方厘米？
【答案】200立方厘米
正方体一种面面积：150÷6=25（平方厘米）
由于25=5×5，因此正方体棱长是5厘米
长方体体积：5×5×（5＋3）=200（立方厘米）
【立体几何】【3】一根底面是正方形长方体木料，表面积为114平方厘米，锯去一种最大正方体之后，余下长方体表面积为54平方厘米，那么，锯下正方体表面积为多少平方厘米？
【答案】90平方厘米
正方体一种面：（114－54）÷4=15（平方厘米）
正方体表面积：15×6=90（平方厘米）
【立体几何】【3】长方体表面积是74平方厘米，其中一种底面面积是10平方厘米，底面周长是9厘米。
这个长方体体积是多少立方厘米？
【答案】60立方厘米
侧面积：74－10×2=54（平方厘米）
高：54÷9=6（厘米）
长方体体积：10×6=60（立方厘米）
【立体几何】【2】把一种长、宽、高分别是5厘米、4厘米、2厘米长方体截成两个长方体，使这两个长方体表面积之和最大，这时表面积之和是多少？
【答案】116平方厘米
（5×4＋5×2＋4×2）×2＋5×4×2=116（平方厘米）
【立体几何】【2】将一种棱长为4分米正方体，从上、左、前3个方向各切1刀，切成8个相似小正方体，这些小正方体表面积之和是________。
【答案】192平方分米
【立体几何】【2】在一种5×4×3长方体表面涂成红色，然后将其切割成棱长是1小正方体。
那么其中一种面、两个面、三个面被涂成红色小正方体各有多少块？
【答案】22，24，8。