2020-2021学年湖南省岳阳市城区初中七年级(下)期末数学试卷

2020-2021学年湖南省岳阳市城区初中七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1. 下面4个汉字中，是轴对称图形的是( ) A. B. C. D.
2. 下列计算结果正确的是( )
A. (a 3)2=a 6
B. a 3⋅a 2=a 6
C. a 3+a 2=a 5
D. (a −b)2=a 2−b 2
3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. (x +2)(x −2)=x 2−4
B. x 2+4x +4=x(x +4)
C. x 2−2x +1=(x −1)2
D. m(x −y)=mx −my
4. 小丹参加校园歌手比赛，唱功得90分，音乐常识得100分，综合知识得80分，学校按唱功、音乐常识、综合知识的6：3：1的比例计算总评成绩，那么小丹的总评成绩是( )
A. 91分
B. 92分
C. 93分
D. 95分
5. 已知{x +y =2x −y =−3
，则代数式x 2−y 2的值为( ) A. 1 B. −1 C. −6 D. 6
6. 如图，已知a ⊥c ，b ⊥c ，若∠1=65°，则∠2等于( )
A. 65°
B. 90°
C. 25°
D. 70°
7. 下列说法中正确的是( )
A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B. 平移可能改变图形的形状
C. 平行线间的距离是夹在两平行线间的线段的长度
D. 垂线段最短
8. 利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于( )
A. 70cm
B. 75cm
C. 80cm
D. 85cm
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
9.已知3x2y⋅★=6x3y，则“★”所表示的式子是______．
10.甲、乙、丙三人进行射击测试，每人射击10次的平均成绩都是9.2环，方差分别是S甲2=0.76，S乙2=0.71，
2=0.69，则三人中成绩最稳定的是______.(填“甲”或“乙”或“丙”)
S
丙
11.如图，AD//BC，BC=6，且三角形ABC的面积为9，则点C到AD
的距离是______．
)2021=______．
12.计算：22022×(−1
2
13.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，
若得∠AOB′=70°，则∠B′OG的度数为______．
14.若多项式x2+kxy+9y2可以分解成(x−3y)2，则k的值为______．
15.如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可
见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n(n为非负整数)的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，(a+b)2= a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，(a+b)3=a3+3a2b+ 3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．观察此图，在横线上写出(a−b)4展开式中的未知项，(a−b)4=a4−4a3b+6a2b2+(______)+b4．
16.如图，将一副三角板按如图所示放置，∠CAB=∠DAE=90°，∠C=45°，∠E=30°，且AD<AC，
则下列结论中：①∠1=∠3=45°；②若AD平分∠CAB，则有BC//AE；③将三角形ADE绕点A旋
转，使得点D 落在线段AC 上，则此时∠4=15°；④若∠3=2∠2，则∠C =∠4.其中结论正确的选项______.(写出所有正确结论的序号)
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
17. 分解因式：
(1)a 2−4a ；
(2)(x −y)2+4xy ．
18. 先化简，再求值：(3+2x)(3−2x)+4x(x −1)，其中x =2．
19. 解方程组：
(1){y =2x −3①2x +y =5②
； (2){3x +4y =5①5x −2y =17②
．
20.如图，已知CD⊥AB，∠1=∠2，求∠BEF的度数．在下面横线上填空或
填写理由．
解：因为CD⊥AB，
所以∠BDC=90°(______).
又因为∠1=∠2(已知)，
所以______(同位角相等，两直线平行)，
所以∠BEF=∠BDC=______(______).
21.某公司员工的月工资如下：
员工经理副经理职员A职员B职员C职员D职员E职员F杂工G 月工资/元700044002400200019001800180018001200
设该公司员工的月工资数据(见表格)的平均数、中位数、众数分别为k、m、n，请根据上述信息完成下列问题：
(1)k=______，m=______，n=______；
(2)上月一个员工辞职了，从本月开始，停发该员工工资，若本月该公司剩下的8名员工的月工资不变，
但这8名员工的月工资数据(单位：元)的平均数比原9名员工的月工资数据(见上述表格)的平均数减小了．亲爱的同学，你认为辞职的那名员工可能是______．
22.如图1，直线MN//PQ，直角三角形ABC按如图放置，∠ACB=90°，AC、BC分别与MN、PQ相交
于点D、E，若∠CEQ=51°．
(1)求∠CDN的度数；
(2)如图2，将三角形ABC绕点C逆时针旋转，使点A落在MN上，得到三角形A′B′C，若∠CA′N=18°，
求∠BCB′的度数．
23.新冠疫情伊始，一次性防护服和N95口罩供不应求，从2月起价格连续上涨．一药店在2月1日若售
出5套防护服和6盒N95口罩，销售额为600元；若售出10套防护服和3盒N95口罩，销售额为750元．
(1)2月1日每套防护服和每盒N95口罩的价格分别是多少元？
(2)2月1日防护服和N95口罩的销售量分别为200套、300盒．由于价格持续上涨，4月1日防护服的
销售价格在2月1日的基础上增长了4m%，销售量减少了50套；N95口罩的销售价格在2月1日的m元，销售量下降了20%，结果4月1日的销售额比2月1日的销售额多5520元，求基础上增加了9
10
m的值．
24.(1)如图1，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，点E在边AC上，∠1=∠2，试说明DE与BC的位置
关系，并予以证明；
(2)如图2，在(1)的条件下，若∠CBD=∠CDB，∠CDE的平分线交AC于点F，连接BF.求证：∠DBF+
∠DFB=90°；
(3)如图3，在前面的条件下，若∠ACD的平分线与AB、DF分别交于G、H两点，且∠BGC=54°，求
∠ACB的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、“爱”字不是轴对称图形；
B、“国”字不是轴对称图形；
C、“敬”字不是轴对称图形；
D、“业”字是轴对称图形；
故选：D．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：A、(a3)2=a6，原计算正确，故此选项符合题意；
B、a3⋅a2=a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、a3与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、(a−b)2=a2−2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，合并同类项法则、完全平方公式计算得出答案．
此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，合并同类项法则、完全平方公式，正确掌握运算法则和公式是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A，D选项的等号右边都不是积的形式，不符合题意；
B选项，x2+4x+4=(x+2)2，所以该选项不符合题意；
C选项，x2−2x+1=(x−1)2，符合题意；
故选：C．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，把一个多项式化为几个整式的积的
形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
4.【答案】B
【解析】解：小丹的总评成绩是：
90×6+100×3+80×16+3+1=92(分)．
故选：B ．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
5.【答案】C
【解析】解：∵{x +y =2x −y =−3
， ∴x 2−y 2=(x +y)(x −y)=2×(−3)=−6．
故选：C ．
根据平方差公式解答即可．
本题主要考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即(a +b)(a −b)=a 2−b 2．
6.【答案】A
【解析】解：因为a ⊥c ，b ⊥c ，
所以a//b ，
所以∠1=∠3=65°，
所以∠2=∠3=65°．
故选：A ．
先根据a ⊥c ，b ⊥c ，可得a//b ，根据平行线的性质可得∠1=∠3，再根据对顶角的性质即可得出答案． 本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行计算是解决本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A 、两条直线被第三条直线所截，内错角相等，错误．成立的条件的平行线．
B 、平移可能改变图形的形状，错误．平移不改变图形的形状．
C 、平行线间的距离是夹在两平行线间的线段的长度，错误，是垂线段的长度．
D 、垂线段最短，正确．
故选：D ．
根据平行线的性质，平移变换的性质，垂线段最短一一判断即可．
本题考查平行线的性质，平移变换的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】D
【解析】解：设桌子的高度为x cm ，图中长方体的长边比短边长y cm ，
依题意得：{x +y =100x −y =70
， 解得：{x =85y =15
． 故选：D ．
设桌子的高度为x cm ，图中长方体的长边比短边长y cm ，根据图①、图②测量的数据，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】2x
【解析】解：∵3x 2y ⋅★=6x 3y ，
∴“★”所表示的式子为：6x 3y ÷3x 2y =2x ，
故答案为：2x ．
根据单项式除以单项式的运算法则计算即可．
本题考查的是单项式乘单项式、单项式除以单项式，掌握它们的运算法则是解题的关键．
10.【答案】丙
【解析】解：∵S 甲2=0.76，S 乙2=0.71，S 丙2=0.69，
∴S 甲2>S 乙2>S 丙2，
∴三人中成绩最稳定的是丙．
故答案为：丙．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11.【答案】3
【解析】解：如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ，
∵△ABC 的面积为9，BC =6， ∴12 BC ⋅AE =9， ∴AE =3，
过C 作CF ⊥AD 于F ，
∵AD//BC ，
∴CF =AE =3，
∴点C 到AD 的距离是3，
故答案为3．
先利用三角形ABC 的面积，求出其BC 边上的高AE =3，再利用平行线间距离处处相等，得到C 到AD 的距离为3．
本题考查了三角形的面积，点到线段的距离的概念，利用平行间距离处处相等是解决本题的关键．
12.【答案】−2
【解析】解：原式=22021×2×(−1
2)2021
=(−2×12)2021×2
=−1×2
=−2，
故答案为：−2．
根据积的乘方运算法则进行计算求解．
本题考查积的乘方运算，掌握运算法则是解题基础．
13.【答案】55°
【解析】解：根据轴对称的性质得：∠B′OG=∠BOG
又∠AOB′=70°，可得∠B′OG+∠BOG=110°
∴∠B′OG=1
×110°=55°．
2
根据轴对称的性质可得∠B′OG=∠BOG，再根据∠AOB′=70°，可得出∠B′OG的度数．
本题考查轴对称的性质，在解答此类问题时要注意数形结合的应用．
14.【答案】−6
【解析】解：∵多项式x2+kxy+9y2可以分解成(x−3y)2，
∴x2+kxy+9y2=(x−3y)2=x2−6xy+9y2．
∴k=−6．
故答案为：−6．
直接利用完全平方公式完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，得出k的值．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
15.【答案】−4ab3
【解析】解：(a−b)4=a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4．
故答案为：−4ab3．
由(a+b)=a+b，(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3可得(a+b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a+b)n−1的相邻两个系数的和，由此可得(a±b)4的各项系数的绝对值依次为1、4、6、4、1．
本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速
解题的关键．
16.【答案】②③④
【解析】解：①如图，
∵∠CAB=∠DAE=90°，
即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，
∴∠1=∠3≠45°，
故①不正确；
②∵AD平分∠CAB，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠1=∠3，
∴∠3=45°，
又∵∠C=∠B=45°，
∴∠3=∠B，
∴BC//AE，
故②正确；
③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，
则∠4=∠ADE−∠ACB=60°−45°=15°，
故③正确；
④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，
∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，
∴3∠2=90°，
∴∠2=30°，
∴∠3=60°，
又∠E=30°，
设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∴∠C=∠4，
故④正确，
故答案为：②③④．
①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；
②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；
③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；
④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．
本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．
17.【答案】解：(1)原式=a(a−4)；
(2)原式=x2−2xy+y2+4xy
=x2+2xy+y2
=(x+y)2．
【解析】(1)提取公因式a，即可得出答案；
(2)原式可化为x2−2xy+y2+4xy，再合并同类项，再根据完全平分公式进行因式分解即可得出答案．本题主要考查了提公因式及公式法因式分解，熟练应用提取公因式及公式法进行因式分解是解决本题的关键．
18.【答案】解：(3+2x)(3−2x)+4x(x−1)
=9−4x2+4x2−4x
=9−4x，
当x=2时，原式=9−4×2=1．
【解析】先根据平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】解：(1){y =2x −3①2x +y =5②
， 把①代入②，得2x +2x −3=5，
解得：x =2，
把x =2代入①，得y =2×2−3=1，
所以方程组的解是{x =2y =1
；
(2){3x +4y =5①5x −2y =17②
， ①+②×2，得13x =39，
解得：x =3，
把x =3代入①，得9+4y =5，
解得：y =−1，
所以方程组的解是{x =3y =−1
．
【解析】(1)把①代入②得出2x +2x −3=5，求出x =2，再把x =2代入①求出y 即可；
(2)①+②×2得出13x =39，求出x ，再把x =3代入①求出y 即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
20.【答案】垂线定义 CD//EF 90° 两直线平行，同位角相等
【解析】解：因为CD ⊥AB ，
所以∠BDC =90°(垂线定义)．
又因为∠1=∠2(已知)，
所以CD//EF(同位角相等，两直线平行)，
所以∠BEF =∠BDC =90°(两直线平行，同位角相等)．
故答案为：垂线定义；CD//EF ；90°；两直线平行，同位角相等．
根据垂线的定义与平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
21.【答案】2700 1900 1800 经理或副经理
【解析】解：(1)平均数k=(7000+4400+2400+2000+1900+1800×3+1200)÷9=2700(元)，9个数据从大到小排列后，第5个数据是1900，所以中位数m=1900(元)，
1800出现了三次，次数最多，所以众数n=18009(元)．
故答案为：2700，1900，1800；
(2)由题意可知，辞职的那名员工工资高于2700元，所以辞职的那名员工可能是经理或副经理．
故答案为：经理或副经理．
(1)求出9个数据之和再除以总个数即可得平均数；对于中位数，按从大到小的顺序排列，找出最中间的那个数即可；出现频数最多的数据即为众数；
(2)根据剩下的8名员工的月工资数据的平均数比原9名员工的月工资数据的平均数减小，得出辞职的那名员工工资高于2700元，从而得出辞职的那名员工可能是经理或副经理．
本题考查了确定一组数据的平均数、中位数和众数的能力．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两个数的平均数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
22.【答案】解：(1)如图，过点C作CH//MN，
∵MN//PQ，
∴MN//CH//PQ，
∴∠HCE=∠CEQ=51°，∠CDN=∠DCH，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCH=39°=∠CDN；
(2)如图2，∵∠CDN=∠DA′C+∠ACA′，
∴∠ACA′=39°−18°=21°，
∵将三角形ABC 绕点C 逆时针旋转，使点A 落在MN 上，
∴∠BCB′=∠ACA′=21°．
【解析】(1)过点C 作CH//MN ，由平行线的性质可得∠HCE =∠CEQ =51°，∠CDN =∠DCH ，即可求解；
(2)由外角的性质可求∠ACA′的度数，由旋转的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设2月1日每套防护服的价格为x 元，每盒N 95口罩的价格为y 元，
由题意得：{5x +6y =60010x +3y =750
， 解得：{x =60y =50
， 答：2月1日每套防护服的价格为60元，每盒N 95口罩的价格为50元；
(2)依题意，得：60(1+4m%)×(200−50)+(50+910m)×300×(1−20%)=60×200+50×300+5520，
解得：m =20，
答：m 的值为20．
【解析】(1)设2月1日每套防护服的价格为x 元，每盒N 95口罩的价格为y 元，由题意：若售出5套防护服和6盒N 95口罩，销售额为600元；若售出10套防护服和3盒N 95口罩，销售额为750元．列出方程组，解方程组即可；
(2)根据总价=单价×数量，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24.【答案】(1)解：结论：DE//BC ．
理由：如图1中，
∵CD平分∠ACB，
∴∠1=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BCD，
∴DE//BC．
(2)证明：如图2中，
∵DE//BC，
∴∠EDB+∠DBC=180°，
∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC=180°，∵∠CDB=∠DBC，∠EDF=∠FDC，
∴2∠FDC+2∠CDB=180°，
∴∠FDC+∠CDB=90°，
∴FD⊥BD，
∴∠DBF+DFB=90°．
(3)解：如图3中，
∵∠BGC=54°，FD⊥BD，
∴∠DHG=36°，
∴∠FDC+∠HCD=36°，
∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，
∴∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，
∴∠EDC+∠ACD=2(∠FDC+∠HCD)=72°，
∴∠DEC=180°−(∠EDC+∠ACD)=180°−72°=108°，
∵DE//BC，
∴∠ACB+∠DEC=180°，
∴∠ACB=72°．
【解析】(1)证明∠2=∠BCD，可得结论．
(2)根据DE//BC，得到∠EDB+∠DBC=180°，再利用角平分线的性质，即可解答；
(3)根据FD⊥AB，∠BGC=54°，得到∠DHG=36°，利用外角的性质得到∠FDC+∠HCD=36°，再根据DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，得到∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，得到∠EDC+∠ACD=2(∠FDC+∠HCD)=108°，利用三角形内角和为180°，∠DEC=180°−(∠EDC+∠ACD)=180°−108°=72°，再利用平行线的性质求出∠ACB．
本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系．。