高考数学二轮复习2概率随机变量及其分布列课件理

器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 90%.
(2)设该厂每月可获利 Y 万元，则 Y 的所有可能取值为 18,13,8，
P(Y＝18)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝7821，P(Y＝13)＝P(X＝3)
＝881，P(Y＝8)＝P(X＝4)＝811，
∴Y 的分布列为
Y 18 13 8
台数为 X，则 X～B4，31，
∴P(X＝0)＝C40·234＝1861，P(X＝1)＝C14·13·
233＝3821，P(X＝2)＝C42·132·232＝2841，P(X＝3)＝C43·133·32＝881，P(X＝
4)＝C44·134＝811. ∴X 的分布列为
X0 1 2 3 4
P
16 81
[例 2] [2018·石家庄市重点高中毕业班摸底考试]某厂有 4 台 大型机器，在一个月中，1 台机器至多出现 1 次故障，且每台机器 是否出现故障是相互独立的，出现故障时需 1 名工人进行维修．每
台机器出现故障的概率为13. (1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同
时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 90%? (2)已知 1 名工人每月只有维修 1 台机器的能力，每月需支付给
答案：A
考点 2 相互独立事件和独立重复试验 1．条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率：
P(B|A)＝PPAAB. 2．相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 3．独立重复试验、二项分布 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立 重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
3．[2018·益阳市，湘潭市高三调研考试]某乒乓球俱乐部派甲、 乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只 有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记 1 分，未出线记 0 分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出 线是相互独立的．
(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率； (2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随 机变量 ξ，求随机变量 ξ 的分布列和数学期望 Eξ.
[解析] (1)解：由题意知，样本中电影的总部数是 140＋50＋ 300＋200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25＝50，
故所求概率为2 50000＝0.025. (2)解：设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好 评”，事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
[例 3] [2018·北京卷]电影公司随机收集了电影的有关数据，经
分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140
50
300 200 800 510
好评率 0.4
0.2 0.15 0.25 0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的
考点 3 离散型随机变量的分布列、均值与方差 1．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b 为实数)． 2．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
3 3 21 A.10 B.5 C.5 D.5
解析：函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数，则 a2－2＜0，且与 b 无关，又 a∈{－2,0,1,2,3}，故只有 a＝0，a＝1 满足题意，又 b∈{3,5}， 所以函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数的概率是25.故选 C.
答案：C
比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立． (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得 好评的第四类电影的概率． (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率． (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好 评率相等，用“ξk＝1”表示第 k 类电影得到人们喜欢，“ξk＝0” 表示第 k 类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6)．写出方差 Dξ1， Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6 的大小关系．
每位工人 1 万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维 修，就能使该厂产生 5 万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现 有 2 名工人，求该厂每月获利的均值．
[解析] (1)1 台机器是否出现故障可看作 1 次试验，在 1 次试验中，
机器出现故障设为事件 A，则事件 A 的概率为31.
该厂有 4 台机器，就相当于 4 次独立重复试验，可设出现故障的机器
(3)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域 和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所 需要的区域.
1．[2018·益阳市，湘潭市高三调研考试试卷 ]已知 a∈{－ 2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数的概率是 ()
级系数 X2 的数学期望； (3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个
工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的 零售价；
P(ξ＝2)＝P(AB－C )＋P(A－B C)＋P(－A BC)＝23×34×25＋23×14×35
＋13×34×35＝290；
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝23×34×35＝130.
所以 ξ 的分布列为
ξ0 1 2 3
P
1 30
13 60
9 20
3 10
Eξ＝0×310＋1×1630＋2×290＋3×130＝16201.
故所求概率为 P(A B ＋ A B)＝P(A B )＋P( A B)＝P(A)(1－P(B))
＋(1－P(A))P(B)． 由题意知 P(A)估计为 0.25，P(B)估计为 0.2. 故所求概率估计为 0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35. (3)解：Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6.
A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
[解析] ∵ S△ABC＝12AB·AC，以 AB 为直径的半圆的面积为 12π·A2B2＝π8AB2，
以 AC 为直径的半圆的面积为12π·A2C2＝π8AC2， 以 BC 为直径的半圆的面积为12π·B2C2＝π8BC2， ∴ SⅠ＝12AB·AC，SⅢ＝π8BC2－12AB·AC， SⅡ＝π8AB2＋π8AC2－π8BC2－12AB·AC＝12AB·AC.
32 81
24 81
8 81
1 81
设该厂有 n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时
能及时进行维修”为 X≤n，即 X＝0，X＝1，X＝2，…，X＝n，
这 n＋1 个互斥事件的和事件，则
n 0 1
48 81
72 81
80 81
1
∵7821＜90%≤8801，∴该厂至少需要 3 名工人，才能保证每台机
∴ SⅠ＝SⅡ.由几何概型概率公式得 p1＝SSⅠ总，p2＝SSⅡ总. ∴ p1＝p2. 故选 A. [答案] A
(2)[2018·全国卷Ⅱ]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究 中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可 以表示为两个素数的和”，如 30＝7＋23.在不超过 30 的素数中， 随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( )
A.112 B.114 11
C.15 D.18
[解析] 不超过 30 的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有 C120 ＝45 种情况，而和为 30 的 有 7＋23,11＋19,13＋17 这 3 种情况，
∴ 所求概率为435＝115. 故选 C. [答案] C
技法领悟 解答几何概型、古典概型问题时的策略
(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和 所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相 关知识．
(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样 才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的 求法的一致性．
(1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下表所示： X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1
且 X1 的数学期望 EX1＝6，求 a，b 的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机 抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3533855634 6347534853 8343447567 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等
技法领悟 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路： (1)明确随机变量可能取哪些值． (2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取值的 概率值． (3)根据分布列和期望、方差公式求解.
4．[2018·开封市高三定位考试]某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2，…，8，其中 X≥5 为标准 A，X≥3 为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元 /件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件．假定 甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
2．[2018·福州四校高三年级联考]如图，在圆心角为 90°的扇形 AOB 中，以圆心 O 为起点在 上任取一点 C 作射线 OC，则使得 ∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°的概率是( )
A.13 B.23 11
C.2 D.6
解析：记事件 T 是“作射线 OC，使得∠AOC 和∠BOC 都不 小于 30°”，如图，记 的三等分点为 M，N，连接 OM，ON，则 ∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，则符合条件的射线 OC 应落在扇 形 MON 中，所以 P(T)＝∠∠MAOOBN＝3900°°＝13，故选 A.
P
72 81
8 81
1 81
则 E(Y)＝18×7821＋13×881＋8×811＝1 84108(万元)．
故该厂每月获利的均值为1 84108万元．
技法领悟 (1)求复杂事件概率的两种方法 ①直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个 彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件 或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解． ②间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可 利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用 这种方法求解． (2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验 结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概 率相同．
解析：(1)记“甲出线”为事件 A，“乙出线”为事件 B，“丙 出线”为事件 C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件 D，
则 P(D)＝1－P(－A －B －C )＝1－13×14×25＝2390. (2)由题意可得，ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3， 则 P(ξ＝0)＝P(－A －B －C )＝13×14×25＝310； P(ξ＝1)＝P(A－B －C )＋P(－A B－C )＋P(－A －B C)＝23×14×25＋13×34 ×25＋13×14×35＝1630；
考点 1 古典概型与几何概型 1．古典概型的概率公式 P(A)＝mn ＝事件试A验中的所基含本的事基件本总事数件数.
2．几何概型的概率公式 P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.
[例 1] (1)[2018·全国卷Ⅰ]如图来自古希腊数学家希波克拉底 所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为 直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.△ABC 的三边所围 成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中 随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则( )