2020年上海育才学校高三数学理测试题含解析

2020年上海育才学校高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若集合，，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
答案：C
解析：{1，3}∩{2，3，4}={3}，选C
2. 若双曲线的离心率为2，则等于
A. 2
B.
C.
D. 1
参考答案：
解析：由，解得a=1或
a=3，参照选项知而应选D.
3. 下列命题中，真命题是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
4. 曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积
为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
D
5. 为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到等高条形图如图所示，根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是
（）
A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B. 药物A、B对该疾病均没有预防效果
C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果
D. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果参考答案：
D
【分析】
由等高条形图，可得服用A药物的患病人数明显少于服用药物B的人数，服用A药物的未患病人数明显多于服用药物B的人数，即可求解，得到答案.
【详解】由等高条形图知，服用A药物的患病人数明显少于服用药物B的人数，服用A 药物的未患病人数明显多于服用药物B的人数，所以药物A的预防效果优于药物B的预
防效果，故选D.
【点睛】本题主要考查了等高条形图应用，其中解答中理解、掌握统计图表的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6. 已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，，
=（3m+n，m﹣3n），
则==，
令t=，则=t，
而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，
t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，
分析可得：≤t≤2，
又由=t，
故≤≤2；
故选：D．
【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式．
7. 长方体的各个顶点都在表面积为的球的球面上，其中
，则四棱锥的体积为
A. B. C. D.
参考答案：
A
8. 已知函数的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
试题分析：，即
，又
，
，所以，故选B.
考点：1、分段函数的解析式；2、函数的周期性及指数与对数的性质.
9. 设，，，则().
A. a＞b＞c
B. a＞c＞b
C. b＞a＞c
D. c＞a＞b
参考答案：
D
由指数函数的性质可得，;
由对数函数是性质可得，,,
所以，故选D.
10. 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就
读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（）种。

（A）150 （B）180 （C）
240 （D）540
参考答案：
A
试题分析：分为两类，第一类为2+2+1即有2所学校分别保送2名同学，方法数为，第二类为3+1+1即有1所学校保送3名同学，方法数为，故不同保送的方法数为150种，故选A．
考点：排列与组合.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，则的最小正周期是
参考答案：
略
12. 函数的定义域是.
参考答案：
13. 已知函数若函数有3个零点，则实数
的取值范围是▲．
参考答案：
14. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2，过点F1的直线交椭圆C 于A，B两点，若=3，且cos∠AF2B=，则椭圆C的离心率是．
参考答案：
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．
解答：解：设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，
∴|AF2|=2a﹣3k，|BF2|=2a﹣k
∵cos∠AF2B=，
∴（4k）2=（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣（2a﹣3k）（2a﹣k），
化简可得a=3k，
∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k
∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，
∴AF1⊥AF2，
∴△AF1F2是等腰直角三角形，
∴c=a，
∴e==．
故答案为：．
点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
15. 已知AB 是圆C:（x+2)2+(y-l)2=的一条直径，若楠圆 x2+4y2=4b2(b∈R)经过 A、B 两点，则该椭圆的方程是 .
参考答案：
由（I）知，椭圆E的方程为． (1)
依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且．
易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得
设则,，
由，得解得．
从而．
于是．
由，得，解得．
故椭圆E的方程为．
【解析二】由（I）知，椭圆E的方程为． (2)
依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且．
设则，，
两式相减并结合得．
易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率
因此AB直线方程为，代入(2)得
所以，．
于是．
由，得，解得．
故椭圆E的方程为．
16. 某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高三年级应抽取的人数为人
参考答案：
【知识点】分层抽样B4
20 解析：高三年级应抽取的人数为,故答案为20.
【思路点拨】利用分层抽样的定义即可。

17. 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”（点对(P、Q)与点对(Q、P)看作
同一个“友好点对”）.已知函数，则f(x)的“友好点对”的个数是．
参考答案：
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列的前项和为,且对任意正整数,都有是与的等差中项．
（1）求证:数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．
参考答案：
解：（1）证明：是与的等差中项，
①
于是②
①-②得，即，
当时，．
所以是以2为首项，2为公比的等比数列．…………………6分
（2）
．……………………12分
略
19. （本题满分14分）
给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为．
（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M，N．
（1）当P为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；
（2）求证：|MN|为定值．
参考答案：
（本题满分14分）
解：（I）因为，所以
所以椭圆的方程为，…………………………………3分
又=2, 所以准圆的方程为. ………………………4分
（II）（1）因为准圆与轴正半轴的交点为P（0，2）,
设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为,
所以，消去y，得到 , …………6分
因为椭圆与只有一个公共点, 所以 ,
解得.所以方程为. (9)
分
（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当方程为时，此时与准圆交于点，
此时经过点(或)且与椭圆只有一个公共点的直线是
(或)，即为(或)，显然直线垂直；
同理可证方程为时，直线垂直. (11)
分
② 当都有斜率时，设点，其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,
则，消去得到，
即,
，
经过化简得到:,
因为，所以有,
设的斜率分别为,因为与椭圆都只有一个公共点，
所以满足上述方程,
所以，即垂直. ……………………………13分
综合①②知：
因为经过点，又分别交其准圆于点M，N，且垂直，
所以线段MN为准圆的直径，所以|ＭＮ|＝４. ……………14分略
20. （本小题满分12分）
已知函数
（1）当x∈[2,4]时.求该函数的值域；
（2）若恒成立，求m的取值范围。

参考答案：
解：（1），
此时，,
(2)即，
易知
21. （13分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：
P=（其中c为小于6的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
参考答案：
【考点】分段函数的应用．
【专题】综合题．
【分析】（1）每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1﹣P）×2﹣日产量（x）×次品率（P）×1，根据分段函数分段研究，整理即可；
（2）利用函数的导数得出单调性，再求函数的最大值．
【解答】解：（1）当x＞c时，P=，
∴T=x?2﹣x?1=0
当1≤x≤c时，，
∴=
综上，日盈利额T（万元）与日产量x（万件）的函数关系为：
（2）由（1）知，当x＞c时，每天的盈利额为0
当1≤x≤c时，T==15﹣2[（6﹣x）+]≤15﹣12=3
当且仅当x=3时取等号
所以①当3≤c≤6时，T max=3，，此时x=3
②当1≤c≤3时，由T′==知
函数T=在[1，3]上递增，Tmax=，此时x=c
综上，若3≤c≤6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若1≤c≤3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润
【点评】本题考查了利润函数模型的应用，并且利用导数方法求得函数的最值问题，也考查了分段函数的问题，分类讨论思想．是中档题．
22. 选修4﹣5；不等式选讲
已知f（x）=x|x﹣a|﹣2
（1）当a=1时，解不等式f（x）＜|x﹣2|；
（2）当x∈（0，1]时，f（x）＜x2﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
考点：绝对值不等式．
专题：计算题；压轴题；分类讨论．
分析：（1）利用a=1，化简不等式，通过x≥2，1≤x＜2，x＜1分别去掉绝对值符号，然后求解不等式即可．
（2）当x∈（0，1]时，f（x）＜x2﹣1恒成立，转化为a的表达式，通过函数的单调性以及基本不等式求出表达式的最值，得到a的范围．
解答：解：（1）a=1，f（x）＜|x﹣2|，x|x﹣1|﹣2＜|x﹣2|．
①当x≥2时，上式化为x（x﹣1）﹣2＜x﹣2，又x≥2，∴x∈?；
②当1≤x＜2时，由x|x﹣1|﹣2＜|x﹣2|．可得x（x﹣1）﹣2＜2﹣x，解得﹣2＜x＜2又1≤x＜2
∴1≤x＜2．
③当x＜1时，x|x﹣1|﹣2＜|x﹣2|．可得x（1﹣x）﹣2＜2﹣x，解得x＜1，
综上不等式的解集为：{x|x＜2}．
（2）当x∈（0，1]时，f（x）＜即x|x﹣a|﹣2＜恒成立，
即在x∈（0，1]上恒成立．
而g（x）=，在（0，1]上为增函数，所以g（x）max=g（1）=﹣．．
h（x）=≥2=．当且仅当，即x=时取等号．
故a．
点评：本题考查绝对值不等式，函数的恒成立问题的应用，函数的单调性，分类讨论思想．。