主塔刚度对斜拉桥固有特性的影响分析

主塔刚度对斜拉桥固有特性的影响分析
宋敉淘;郭玲;曹登庆
【摘要】In this paper ,the effect of the rigidity of tower on the natural frequencies and mode shapes of the ca -ble-stayed bridge that consists of a simply-supported two-cable-stayed deck beam and a single tower is presen-ted .The bridge deck and tower are modeled by using Euler-Bernoulli beam model .Considering the transverse and longitudinal motions of the stay cables ,the partial differential equations that govern vibrations of the stay cables ,tower ,and segments of the deck
beam ,respectively ,are established ,as well as their boundary and matching conditions .The natural frequency equation and mode shape function of the cable-stayed bridge are derived .Numerical results show that when the tower is considered as a flexible body ,the rigidity of the tower has little influence on the natural frequencies and mode shapes of the cable -stayed bridge .However ,natural frequencies and mode shapes are quite different from those when the tower is considered as a rigid body .Mo-reover ,there are mode jumping phenomenon and frequency curve veering in the process of local symmetry breaking .The study results can provide a theoretical basis for the structural design and vibration analysis of the cable-stayed bridge .%文章以一类单塔斜拉桥为例,研究了主塔刚度对斜拉桥的固有频率和模态的影响,以欧拉-伯努利梁模型描述桥面和塔的运动,并同时考虑斜拉索的横向和纵向运动,建立斜拉桥的动力学方程、边界条件及子结构间的相容条件,推导出斜拉桥的固有频率方程和振型函数.数值结果表明:将塔视为柔性构件时,塔的
刚度对斜拉桥的固有频率和模态影响并不显著;若将塔视为刚性构件,则所求解出的
固有频率和模态与柔性塔的情况相差很大,并会丢失某些模态;斜拉桥存在密集固有
频率、模态跃迁及频率曲线偏转现象.研究结果可为斜拉桥结构设计及振动分析提供理论依据.
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(041)001
【总页数】6页(P76-81)
【关键词】斜拉桥;柔性塔;频率曲线偏转;模态跃迁
【作者】宋敉淘;郭玲;曹登庆
【作者单位】江苏大学土木工程与力学学院 ,江苏镇江 212013;江苏大学土木工
程与力学学院 ,江苏镇江 212013;哈尔滨工业大学航天学院 ,黑龙江哈尔滨150001
【正文语种】中文
【中图分类】TU311.3;U441.3
斜拉桥以其跨度大,经济性能好,结构刚度大、稳定性好等优点在桥梁工程中得到了
广泛的应用,并向密索、柔梁、轻质高强材料和数千米跨径的方向发展[1-2]。

然而,斜拉桥的自振、抗震、抗风以及车辆荷载的冲击振动等动力学问题也随之日益突出。

斜拉桥的自振特性取决于结构的组成体系、刚度、质量和支撑条件等因素[3],并对
其外激振动响应有着至关重要的作用。

斜拉桥动力学分析常采用有限元方法建模[4-6],并通过逐步积分法或模态叠加法进
行求解。

逐步积分法常由于自由度过多及所需要的时间步长过小使得计算效率低下。

而模态叠加法可通过截取少数几阶模态获得低维系统以求解原系统响应,该方法尤
其适合非线性动力学分析。

因此,分析斜拉桥的固有频率及模态特性对求解其外激
振动响应具有重要的意义。

对结构进行固有特性分析过程中,文献[7]发现损伤会引起结构参数发生变化,并且在参数变化前、后会发生模态跃迁现象,即参数变化前、后相邻阶模态发生相互交换
的现象;文献[8]分析了密集、低频大跨空间结构的模态跃迁现象,并阐述了模态跃迁的机理;文献[9-12]在板的热屈曲等问题中发现了模态跃迁现象;文献[13]在一类梁-索结构中发现了模态局部化与频率曲线偏转现象;文献[14]在一类对称的斜拉桥中
发现了模态跃迁现象,但在其研究中,塔的变形被忽略。

关于塔的刚度对斜拉桥固有
特性,尤其是模态跃迁等现象的影响,相关研究很少。

本文以一类单塔斜拉桥为例,研究塔的刚度对斜拉桥固有特性的影响;采用连续体系
统建模的方法对斜拉桥进行建模,以欧拉-伯努利梁模型描述桥面和塔的运动,并同时考虑斜拉索的横向和纵向运动;建立斜拉桥的边界条件,斜拉索、桥面与塔间的相容
条件;将物理坐标转换为模态坐标,并推导出斜拉桥的频率方程;通过数值算例分析塔的刚度对斜拉桥固有频率和模态的影响,并分析斜拉索长度的改变导致斜拉桥对称
性发生破坏前、后的模态跃迁和频率曲线偏转现象。

1 动力学方程
斜拉桥简图如图1所示,斜拉桥由2根斜拉索与塔支撑,桥面两端简支。

塔梁铰接,拉索与塔、梁固结。

连接点S1、S2及S3将桥面分成b1、b2、b3及b4共4段。

斜拉索ci的长度、单位长度质量、弹性模量及横截面面积分别记为Lci、mc、Ec
及Θc;桥段bj的长度、单位长度质量、弹性模量及截面惯性矩分别记为2Lbj、mb、Eb及Ib;塔的高度、单位长度质量、弹性模量及截面惯性矩分别记为H、mt、Et及It。

图1 斜拉桥简图
以C为坐标原点建立斜拉索ci的局部坐标系(Xci,Yci);以桥段bj的中点为坐标原点建立其局部坐标系(Xbj,Ybj);以S2为坐标原点建立塔的局部坐标系(Xt,Yt)。

1.1 斜拉桥的动力学建模
斜拉索ci的初始构形由方程Yci(Xci)=表示,其中,初始垂度为斜拉索在静力平衡位置时的张力,倾角θi=arccos(2Lbi+1/Lci)。

斜拉桥的运动由斜拉索ci的横向位移Wci、纵向位移Uci以及桥段和塔的横向位移Wbj、Wt来描述。

引入无量纲量,即
(1)
其中,为斜拉索c1的直径。

假设
(2)
则由牛顿第二定理与准静态假设可得斜拉索ci、桥段bj以及塔的横向动力学方程:
‴′=0,
‴′=0
(3)
其中
(4)
斜拉索ci的纵向位移可表示为
wci(0,t)cot θi
(5)
1.2 边界条件和相容条件
记w=[wb1 wb2 wc1 wt wc2 wb3 wb4]T,φ=[φb1 φb2 φc1 φt φc2 φb3 φb4]T,并考虑到(6)式,可得到模态的边界条件与相容条件。

wci(xci,τ)=φci(xci)f(τ), wbj(xbj,τ)=
φbj(xbj)f(τ)，wt(xt,τ)=φt(xt)f(τ)
(6)
A、B、S2处的边界条件为:
Sk(k=1,3)处的相容条件为:
φbk(lbk)=φbk+1(-lbk+1)
(10)
φbk′(lbk)=φbk+1′(-lbk+1)
(11)
φbk″(lbk)=φbk+1″(-lbk+1)
(12)
(13)
φbk‴(lbk)-φbk+1‴(-lbk+1)= (-1)i+1χcicos θiφci′(lci)+
(14)
其中
S2处的相容条件为:
φb2(lb2)=φb3(-lb3)=0 (15)
φb2′(lb2)=φb3′(-lb3) (16)
φb2″(lb2)=φb3″(-lb3) (17)
C处的相容条件为:
(18)
φt″(h)=0
(19)
φt‴
φc1′(0)sin θ1=0
(20)
2 固有频率和振型的求解
将(6)式代入(3)式中,得到:
φci″(xci)+ ω2φci(xci)=8αci,
φbj‴′(xbj)-b ω2φbj(xbj)=0,
φt‴′ (xt)- ω2φt(xt)=0
(21)
其中,为斜拉桥的固有频率。

令
ρci=βciω, ρb=βbω1/2, ρt=βtω1/2,
γci=ρclci, γbj=ρblbj, γt=ρth,
则(21)式的通解可表示为:
φci(xci)=Aci[cos(ρcixci)+αAi]+
Bci[sin(ρcixci)+αBi]
(22)
φbj(xbj)=Abjcos(ρbxbj)+Bbjsin(ρbxb)+
(23)
φt(xt)=Atcos(ρtxt)+Btsin(ρtxt)+
(24)
其中
αAi=Γcos γcitan θi-
；
αBi=Γsin γcitan θi-
将(22)～(24)式代入边界条件和相容条件(7)～(20)式中,可以得到关于Aci、Bci、Abj、Bbj、Cbj、Dbj、At、Bt、Ct及Dt的线性代数方程组。

记
其中,ψci=[Aci Bci]T；ψbj=[Abj Bbj Cbj Dbj]T；ψt=[At Bt Ct Dt]T。

则上述线性方程组可表示为:
F(ω)ψ=0
(25)
其中,F(ω)为R24×24矩阵。

(25)式若存在非零解,需满足:
det(F(ω))=0
(26)
(26)式存在无数解,从小到大记为ω1,ω2,…,ωr,…。

将第r阶固有频率ωr代入(25)式中,可求出ψ(r),进而确定斜拉索ci、桥段bj及塔的第r阶横向振动模态及
将uci(x,τ)=ηci(x)f(τ)代入(5)式的线性化形式中,并考虑到φ(r)以及(6)式,可得到斜拉索的纵向模态ηci(xci)。

3 数值结果与讨论
本文通过数值算例探讨塔的刚度对斜拉桥的固有特性的影响,并考虑塔变形时斜拉桥的模态跃迁与频率曲线偏转现象。

斜拉桥各主要构件的物理参数如下:
(1) 塔。

mt=16 940 kg/m,It=5.4 m4,Et=36 GPa。

(2) 梁段。

mb=16 940 kg/m,Ib=1.2 m4,Eb=36 GPa,Lb1=Lb4=40
m,Lb2=Lb3=35 m。

(3) 斜拉索其中,为斜拉索的初始垂跨比,
塔不同刚度条件下斜拉桥的前8阶固有频率见表1所列,其中,R=EtIt/(EbIb)。

值得
指出的是,R为无穷时意味着塔为刚体。

从表1可以看出,将塔视为可变形体时,塔的刚度对斜拉桥固有频率影响很小。

斜拉桥的第1阶与第6阶固有频率呈现出微弱的减小趋势,第2阶、第4阶、第5阶及第8阶固有频率基本不变,第3阶和第7阶固有频率呈现出微弱的增大趋势。

然而,将塔视为可变形体和刚体2种情况下,斜拉桥的固有频率相差很大。

同时,将塔视为刚体时,可变形塔情况下的某些固有频率会丢失,比如第3阶固有频率。

表1 塔不同刚度条件下斜拉桥的固有频率 rad/s模态R=1R=2R=3R=4R=5刚性塔12．1422．1422．1412．1412．1412．87423．0283．0283．0283．0283．0283．21433．1683．1633．1633．1633．1646．13446．1276．1276．1276．1276．1276．13456．1346．1346．1346．1346．1347．68968．59 88．5988．5978．5978．5978．42479．2329．2339．2339．2339．2338．82689．3379．3379．3379．3379．3379．731
不同高跨比(K)的斜拉桥前8阶固有频率与其刚性塔模型的结果对比见表2所列,K=Lbj)。

从表2可以看出,随着高跨比的增大,斜拉桥的固有频率呈现增大的趋势,其原因是塔的刚度比桥面的更高。

表2 不同高跨比斜拉桥的固有频率 rad/s模态K=0．16刚性塔柔性塔K=0．18刚性塔柔性塔K=0．20刚性塔柔性塔K=0．22刚性塔柔性塔11．9601．3542．2431．6342．5671．8502．9332．11822．4201．4592．6732．6582．9712．9543．3223．30434．4512．4105．1743．0965．7 733．1896．4343．37444．7383．0915．2125．2125．7735．7716．4346．42854．7414．7405．2195．2136．1945．7747．6146．43465．1994．7406．1256．5537．2407．4248．4288．50676．4295．8477．1757．836 7．9848．6838．8429．67987．2267．1238．0027．9688．9628．80110
．0479．809
柔性塔与刚性塔不同情况下斜拉桥的前5阶模态如图2所示。

从图2可以看出:柔性塔情况下,随着塔刚度的增大,斜拉桥的模态形状保持不变,因此塔刚度的变化对振型没有显著影响;然而刚性塔情况下斜拉桥的模态与柔性塔情况下有明显的差异。

从表1和图2的结果可知,相关研究中将塔当成刚体的建模方法会给斜拉桥的动力学分析带来显著误差。

图2 R取不同值时斜拉桥前5阶固有频率及其对应模态
斜拉桥拉索c2长度改变时斜拉桥前5阶固有频率及模态的变化情况如图3所示。

值得指出的是,当Lc2=52 m时,斜拉桥结构左右对称。

从图3可以看出:斜拉桥的第4阶和第5阶固有频率出现密集现象;Lc2越过52 m前、后(即对称性发生破坏前、后),斜拉桥第4阶和第5阶模态发生相互交换的现象。

斜拉桥拉索c1初始垂度改变过程中斜拉桥固有频率及模态的变化情况如图4所示。

从图4可以看出:斜拉桥的第4阶和第5阶固有频率出现密集现象;且越过0.010前、后(即对称性发生破坏前、后),斜拉桥第4阶和第5阶模态发生相互交换的现象。

图3 Lc2取不同值时斜拉桥前5阶固有频率及其对应模态
图取不同值时斜拉桥前5阶固有频率及其对应模态
斜拉桥第4阶和第5阶固有频率和斜拉索c2长度的关系曲线图如图5所示。

从图5可以看出,斜拉桥第4阶和第5阶固有频率出现了频率曲线偏转现象,即这2阶固有频率对应的曲线初始时相互靠近,直到Lc2=52 m,随后2条曲线开始相互远离。

有趣的是,考虑主塔柔度时,频率曲线偏转所发生的2条曲线靠近及远离过程不如刚性塔情况[15]剧烈。

斜拉桥第2阶到第5阶固有频率和斜拉索c1初始垂度的关系曲线图如图6所示。

从图6可以看出,斜拉桥的第2阶与第3阶、第4阶与第5阶2组固有频率曲线具有频率曲线偏转现象。

本文研究表明,考虑塔的柔性时,模态跃迁与结构的对称性伴随出现。

该研究结果可对斜拉桥结构设计与振动分析提供指导。

为避免模态跃迁等突变现象对振动分析带来的不确定性,可以考虑在一定程度上牺牲斜拉桥美学上的追求,避免设计与制造具有对称性的斜拉桥。

本文所采用的连续体系统方法具有很高的计算效率,其有效性也得到了有限元方法的验证[14]。

工程实际中的斜拉桥远比本文所研究的对象更为复杂,本文方法同样可以适用于复杂的斜拉桥结构。

这时需要将各子结构间相容条件形式进行分类,找到频率方程(26)式中矩阵F元素的分布规律,从而可高效地分块整合出矩阵F,进而求解出斜拉桥的固有频率和模态。

基于连续体系统建模与分析的方法所得到的固有频率和全局模态函数,结合Galerkin方法可以将斜拉桥无穷维动力系统降阶为较低维系统,以便于分析斜拉桥复杂与丰富的动力学行为。

图5 斜拉桥第4阶和第5阶固有频率与Lc1的关系曲线
图6 斜拉桥第2阶至第5阶固有频率与的关系曲线
4 结论
本文采用连续体动力学建模方法,探讨了主塔刚度变化对斜拉桥固有频率及模态的影响,建立了斜拉桥振动微分方程、边界条件和相容条件,推导了斜拉桥的频率方程和模态函数。

数值结果表明:当考虑主塔的变形时,主塔刚度的变化对斜拉桥固有频率与模态的影响并不显著;然而,若将主塔视为刚体,其所得到的固有频率和模态与变形塔情况存在较大的差异;斜拉桥的固有频率随高跨比的增大而增大;对称性斜拉桥具有固有频率密集现象,并在参数发生改变导致对称性发生破坏前、后发生频率曲线偏转和模态跃迁现象。

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