抛体运动-教学讲座
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性．由 t＝ 2gh可知，平抛物体在空中运动的时间 t 只决定于 物体抛出时离地的___高__度_____，而与抛出时的初速度 物体以初速度 水平抛出后(如图 －－)， 时刻物体
的位置为 ，其坐标为(，)， 时刻的速度 的坐标分量为 、
x＝v0t vy，则y＝21gt2
．类平抛运动：一般来说，质点受恒力作用具有恒定的加
速度，初速度与恒力垂直，质点的运动就与平抛运动类似，通
常我们把物体的这类运动称为类平抛运动．例如带电粒子在电
．由平抛运动可推广得到物体做类平抛运动的条件
场中的偏转运动等．
(())有受初恒速力度作．用，且与初速分解法，同时要正确 理解合运动与分运动中
【例题】(双选)有一个物体在 高处，以水平初速度 抛 出，落地时的速度为 ，竖直分速度为 ，下列公式能用来计
算该物体在空中运动时间的是( )
A.
vt2－v20 g
2h C. g
B.vt－g v0 2h
D. vy智浪教育--普惠英才错解分析：因为平抛运动是 a＝g 的匀变速运动，据 vt＝ v0＋gt，则有 t＝vt－g v0，故 B 正确．
解：已知 h＝320 m，水流喷出速度 v0＝30 m/s，当水流沿 水平方向射出时，在水平地面上落点最远，由平抛运动规律有
h＝g2t2,x＝v0t 即 x＝v0 2gh,解得 x＝240 m 由于水管可在竖直方向和水平方向旋转，所以灭火面积是 半径为 x 的圆面积，圆面积为 S＝πx2 得 S＝3.14×2402 m2＝1.8×105 m2.
图－－
()物体 上滑到最高点所用的时间 ； ()物体 抛出时的初速度； ()物体 、 间初始位，由牛顿第二定律得 mgsin θ＝ma 代入数据得 a＝6 m/s2 设经过 t 时间物体 B 击中物体 A，由运动学公式得 0＝v1－at 代入数据得 t＝1 s. (2)平抛物体 B 的水平位移 x＝12v1tcos37°＝2.4 m 平抛速度 v2＝xt＝2.4 m/s. (3)物体 A、B 间的高度差 h＝12v1tsin37°＋21gt2＝6.8 m.
定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为＝的小物块
相连，小物块悬挂于管口．现将小球释放，一段时间后，小物
块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后
做平抛(运3)动试，证小明球在小转球向平过程抛中运速动率不的变水．平(重位力加移速总度小为)于
的张力为 T，根据牛顿第二定律，有 Mg－T＝Ma,T－mgsin30°＝ma 且 M＝km,解得 a＝22kk－ ＋11g. (2)设 M 落地时的速度大小为 v，m 射出管口时速度大小为 v0，M 落地后 m 的加速度为 a0.根据牛顿第二定律，有 －mgsin30°＝ma0 由匀变速直线运动公式得 v2＝2aLsin30°,v20－v2＝2a0L(1－sin30°) 解得 v0＝ 2kk－＋21gL(k>2)．
形成以上错误有两个原因：一是模型与规律配套．vt＝ v0＋gt 是匀加速直线运动的速度公式，而平抛运动是曲线运动， 不能用此公式；二是不理解运动的合成与分解．平抛运动可分 解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，每 个分运动都对应自向的匀速直线运动和智浪教育--普惠英才(3)小球做平抛运动时，有
x＝v0t,Lsin30°＝12gt2
解得 x＝L
k－2 2k＋1
因为kk－＋21<1，所以 x< 2落到一倾角为θ的 斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图－－
距离之比为( )
解析：竖直分位移与水平分位移大小相等，根据平均速度 公式，则竖直速度 vy＝2v0，所以小球运动的时间为2gv0；此时 小球的速度大小 v＝ v2y＋v20＝ 5v0.
答案：智浪教育--普惠英才．(双选，年广东卷)如图－－所示，在网球的网 前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面处，将球以速 度沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到 网的距离为，重力加速度取，将球的运动视作列运动不属于匀变速运动的是( )
．自由落体运动
．竖直上抛运动
．斜抛运动
．匀速圆周运动 智浪教育--普惠英才．一平行板电容器中存在匀强电场，电场沿竖直方向．两
个质量相等的带正电的粒子 和 ，从电容器边缘的 点(如图
－－)以相同的水平速度射入两平行板之间．测得 和 与
电容器的撞击点到入射点之间的水平距离之比为
重力，则 和 的带电量之比是(
∶.若不计
)
．∶ 答案：
．∶
图－－ ．∶智浪教育--普惠英才．∶热点 抛体运动
【例题】(年浙江卷)在一次国际城市运动会中，要求
运动员从高为 的平台上 点由静止出发，沿着动摩擦因数为
μ的滑道向下运动到点后水平滑出，最后落在，如果从抛出到某时刻
小球的竖直分位移与水平分位移大小相等，以下判断正确的是
()
A．此时小球的竖直分速度大小等于水平分速度大小 B．此时小球的速度大小为 5v0 C．小球运动的时间为2gv0 D．此时小球速度的方向与位专用直升机载有足量 的水悬停在火场上空 高处，机身可绕旋翼的轴原地旋转， 机身下出水管可以从水平方向到竖直向下方向旋转°，水流喷 出速度为 ，不计空气阻力，取 ＝ .请估算能扑灭 地面上火灾的面积．(计算结果保留两做匀加速直线运动，然后做平抛运动． 第一问可以按照运动学的规律处理，也可运为 L1，斜面倾角为 α，根据 动能定理得
mg(H－h)－μmgL1cosα＝12mv20
①
又 L＝L1cosα
②
得 v0＝ 2gH或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置，设
其末速度方向与水平方向的夹角为β，位移与水平方向的夹角
()做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反
为α，则 β＝α.
向延长线一定通过此时水平位移的中点．智浪教育--普惠英才考点 类平抛运动和斜抛运动
道的水平距离为 ， 点的高度 可由运动员自由调节(取 ＝
)．求：()运动员到达 点的速度与高度 的关系； ()运动员要达到最大水平运动距离， 点的高度 应调为
多大？对应的最大水平动摩擦因数μ＝， 则水平运动距离要达到 ， 值应为多少？
列表述正确的是( )
A．球的速度 v 等于 L
g 2H
B．球从击出至落地所用时间为
2H g
C．球从击球点至落地点的位移等于 L
图－－
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
答案：智浪教育--普惠英才．( 年江苏卷)如图 －－ 所示，长为、内壁光滑
的直管与水平地面成 °角固定放置．将一质量为的小球固
，vvxy＝ ＝vg0t
图－－智浪教育--普惠英才平抛物体在时间 t 内的位移大小为 s＝ x2＋y2＝ v0t2＋21gt22 位移的方向与水平方向的夹角 α 的正切值为 tanα＝yx＝12vg0tt2＝2gvt0 平抛物体在 t 时刻的速度大小为 vt＝ v2x＋v2y＝ v02＋gt2 速度 vt 的方向与水平方向的夹角 β 的正切值为 tanβ＝vvyx＝vg0t.
个人整理，仅供交流学习！
中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的
．θ
图－－
．θ
. θ智浪教育--普惠英才.θ解析：如图 26，平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面 倾角 θ，有 tanθ＝vg0t，则下落高度与水平射程之比为yx＝12vg0tt2＝2gvt0 ＝2ta1nθ，D 正确．
答案：D
图26智浪教育--普惠英才()等时性：合运动与分运动经历的时间相等，即同时开始， 同时进行，同时停止．
()独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立 进行，不受其他分运动的影响．
()等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完 全在重力作用下，物体 做匀变速曲线运动，它的运动轨迹是对称性的抛物线，这种运 动叫做斜抛运动．可以把斜抛运动分解为水平方向的匀速直线 运动和竖直上抛运动来处理.
竖直方向的自由落体运动．
水平方向 x＝v0t
①
竖直方向 h＝12gt2
②
h＝ v yt＝v2yt
③
vy＝gt
④
vy＝ v2t －v20
⑤
根据①～⑤式知 A物体的运动性质．运
动性质确定了，模型确定了，运动规律就确定了．判断运动性
质要根据合外力和初速度的关系．当合外力与共线时，物 体做直线运动；当合外力与不共线时，物体做曲线运动；当 合外力与垂直且恒定时，物体做平抛运动．当物体合外力总 与垂直时，物体年东莞五校联考)关于平抛运动，下列说法中正确
的是( )
．平抛运动是匀速运动
．平抛运动是匀变速曲线运动
．平抛运动不是匀变速运动 ．做平抛运动的物体智落浪教地育-时-普惠速英度才文方库 向一定是竖直向下的
解析：平抛运动是水平抛出且只有重力作用的运动，是加 速度恒为的匀变的规律．近年高考联 系生活实际的命题显著增多，考生在处理问题时，要善于将实 际问题抽象成平时所熟悉的物理模型，再根据运动的特点和规 律进示，节水灌溉
中的喷嘴距地高 ，假定水从喷嘴水平喷出，喷灌半径为
第讲 抛体运动
考点 平抛运动及其规律
重．力定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只
在作用下物体做平抛运动时，由于只受重力作用，所以物体的加 速度是重力加速度 g，而物体的初速度 v0 沿水平方向，故平抛 运动是匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．在运动过程中，任何 相等时间 Δt 内，速度的变化量均_相__等__，均为 Δv＝gΔt，并且 速度变化方向始终是_____竖__直__向__下____的． (2)平抛物体运动中水平方向和竖直方向的两个分运动是 相互独立的，每个分运动都不会因另一分运动的存在而受到影 响，水平方向和竖直方向的两个分运动及其合运动具有等＝v0t
④
h＝21gt2
⑤
由③～⑤式得 x＝2 H－μL－hh.
⑥
由⑥式可得，当 h＝12(H－μL)
sBH＝L＋H－μL.
(3)在⑥式中令 x＝2 m，H＝4 m，L＝5 m, μ＝0.2
则可得到－h2＋3h－1＝0
解得 h1＝3＋2 5 m＝2.62 m，h2＝3－2 5 m＝0.38 m.
，不计空气阻力，取 ＝ .则(
)
图－－ .水下落的加速度为 .水从喷嘴到地面的时间为 .水固定一倾角θ＝°、 表面光滑的斜面体，物体 以 ＝ 的初速度沿斜面上滑， 同时在物体 的正上方，有一物体 以某一初速度 水平抛出． 如果当 上滑到最高点时恰好被 物体击中．(、 均可看做 质点，°＝，°＝，取 ＝ )求：
的位置为 ，其坐标为(，)， 时刻的速度 的坐标分量为 、
x＝v0t vy，则y＝21gt2
．类平抛运动：一般来说，质点受恒力作用具有恒定的加
速度，初速度与恒力垂直，质点的运动就与平抛运动类似，通
常我们把物体的这类运动称为类平抛运动．例如带电粒子在电
．由平抛运动可推广得到物体做类平抛运动的条件
场中的偏转运动等．
(())有受初恒速力度作．用，且与初速分解法，同时要正确 理解合运动与分运动中
【例题】(双选)有一个物体在 高处，以水平初速度 抛 出，落地时的速度为 ，竖直分速度为 ，下列公式能用来计
算该物体在空中运动时间的是( )
A.
vt2－v20 g
2h C. g
B.vt－g v0 2h
D. vy智浪教育--普惠英才错解分析：因为平抛运动是 a＝g 的匀变速运动，据 vt＝ v0＋gt，则有 t＝vt－g v0，故 B 正确．
解：已知 h＝320 m，水流喷出速度 v0＝30 m/s，当水流沿 水平方向射出时，在水平地面上落点最远，由平抛运动规律有
h＝g2t2,x＝v0t 即 x＝v0 2gh,解得 x＝240 m 由于水管可在竖直方向和水平方向旋转，所以灭火面积是 半径为 x 的圆面积，圆面积为 S＝πx2 得 S＝3.14×2402 m2＝1.8×105 m2.
图－－
()物体 上滑到最高点所用的时间 ； ()物体 抛出时的初速度； ()物体 、 间初始位，由牛顿第二定律得 mgsin θ＝ma 代入数据得 a＝6 m/s2 设经过 t 时间物体 B 击中物体 A，由运动学公式得 0＝v1－at 代入数据得 t＝1 s. (2)平抛物体 B 的水平位移 x＝12v1tcos37°＝2.4 m 平抛速度 v2＝xt＝2.4 m/s. (3)物体 A、B 间的高度差 h＝12v1tsin37°＋21gt2＝6.8 m.
定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为＝的小物块
相连，小物块悬挂于管口．现将小球释放，一段时间后，小物
块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后
做平抛(运3)动试，证小明球在小转球向平过程抛中运速动率不的变水．平(重位力加移速总度小为)于
的张力为 T，根据牛顿第二定律，有 Mg－T＝Ma,T－mgsin30°＝ma 且 M＝km,解得 a＝22kk－ ＋11g. (2)设 M 落地时的速度大小为 v，m 射出管口时速度大小为 v0，M 落地后 m 的加速度为 a0.根据牛顿第二定律，有 －mgsin30°＝ma0 由匀变速直线运动公式得 v2＝2aLsin30°,v20－v2＝2a0L(1－sin30°) 解得 v0＝ 2kk－＋21gL(k>2)．
形成以上错误有两个原因：一是模型与规律配套．vt＝ v0＋gt 是匀加速直线运动的速度公式，而平抛运动是曲线运动， 不能用此公式；二是不理解运动的合成与分解．平抛运动可分 解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，每 个分运动都对应自向的匀速直线运动和智浪教育--普惠英才(3)小球做平抛运动时，有
x＝v0t,Lsin30°＝12gt2
解得 x＝L
k－2 2k＋1
因为kk－＋21<1，所以 x< 2落到一倾角为θ的 斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图－－
距离之比为( )
解析：竖直分位移与水平分位移大小相等，根据平均速度 公式，则竖直速度 vy＝2v0，所以小球运动的时间为2gv0；此时 小球的速度大小 v＝ v2y＋v20＝ 5v0.
答案：智浪教育--普惠英才．(双选，年广东卷)如图－－所示，在网球的网 前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面处，将球以速 度沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到 网的距离为，重力加速度取，将球的运动视作列运动不属于匀变速运动的是( )
．自由落体运动
．竖直上抛运动
．斜抛运动
．匀速圆周运动 智浪教育--普惠英才．一平行板电容器中存在匀强电场，电场沿竖直方向．两
个质量相等的带正电的粒子 和 ，从电容器边缘的 点(如图
－－)以相同的水平速度射入两平行板之间．测得 和 与
电容器的撞击点到入射点之间的水平距离之比为
重力，则 和 的带电量之比是(
∶.若不计
)
．∶ 答案：
．∶
图－－ ．∶智浪教育--普惠英才．∶热点 抛体运动
【例题】(年浙江卷)在一次国际城市运动会中，要求
运动员从高为 的平台上 点由静止出发，沿着动摩擦因数为
μ的滑道向下运动到点后水平滑出，最后落在，如果从抛出到某时刻
小球的竖直分位移与水平分位移大小相等，以下判断正确的是
()
A．此时小球的竖直分速度大小等于水平分速度大小 B．此时小球的速度大小为 5v0 C．小球运动的时间为2gv0 D．此时小球速度的方向与位专用直升机载有足量 的水悬停在火场上空 高处，机身可绕旋翼的轴原地旋转， 机身下出水管可以从水平方向到竖直向下方向旋转°，水流喷 出速度为 ，不计空气阻力，取 ＝ .请估算能扑灭 地面上火灾的面积．(计算结果保留两做匀加速直线运动，然后做平抛运动． 第一问可以按照运动学的规律处理，也可运为 L1，斜面倾角为 α，根据 动能定理得
mg(H－h)－μmgL1cosα＝12mv20
①
又 L＝L1cosα
②
得 v0＝ 2gH或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置，设
其末速度方向与水平方向的夹角为β，位移与水平方向的夹角
()做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反
为α，则 β＝α.
向延长线一定通过此时水平位移的中点．智浪教育--普惠英才考点 类平抛运动和斜抛运动
道的水平距离为 ， 点的高度 可由运动员自由调节(取 ＝
)．求：()运动员到达 点的速度与高度 的关系； ()运动员要达到最大水平运动距离， 点的高度 应调为
多大？对应的最大水平动摩擦因数μ＝， 则水平运动距离要达到 ， 值应为多少？
列表述正确的是( )
A．球的速度 v 等于 L
g 2H
B．球从击出至落地所用时间为
2H g
C．球从击球点至落地点的位移等于 L
图－－
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
答案：智浪教育--普惠英才．( 年江苏卷)如图 －－ 所示，长为、内壁光滑
的直管与水平地面成 °角固定放置．将一质量为的小球固
，vvxy＝ ＝vg0t
图－－智浪教育--普惠英才平抛物体在时间 t 内的位移大小为 s＝ x2＋y2＝ v0t2＋21gt22 位移的方向与水平方向的夹角 α 的正切值为 tanα＝yx＝12vg0tt2＝2gvt0 平抛物体在 t 时刻的速度大小为 vt＝ v2x＋v2y＝ v02＋gt2 速度 vt 的方向与水平方向的夹角 β 的正切值为 tanβ＝vvyx＝vg0t.
个人整理，仅供交流学习！
中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的
．θ
图－－
．θ
. θ智浪教育--普惠英才.θ解析：如图 26，平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面 倾角 θ，有 tanθ＝vg0t，则下落高度与水平射程之比为yx＝12vg0tt2＝2gvt0 ＝2ta1nθ，D 正确．
答案：D
图26智浪教育--普惠英才()等时性：合运动与分运动经历的时间相等，即同时开始， 同时进行，同时停止．
()独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立 进行，不受其他分运动的影响．
()等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完 全在重力作用下，物体 做匀变速曲线运动，它的运动轨迹是对称性的抛物线，这种运 动叫做斜抛运动．可以把斜抛运动分解为水平方向的匀速直线 运动和竖直上抛运动来处理.
竖直方向的自由落体运动．
水平方向 x＝v0t
①
竖直方向 h＝12gt2
②
h＝ v yt＝v2yt
③
vy＝gt
④
vy＝ v2t －v20
⑤
根据①～⑤式知 A物体的运动性质．运
动性质确定了，模型确定了，运动规律就确定了．判断运动性
质要根据合外力和初速度的关系．当合外力与共线时，物 体做直线运动；当合外力与不共线时，物体做曲线运动；当 合外力与垂直且恒定时，物体做平抛运动．当物体合外力总 与垂直时，物体年东莞五校联考)关于平抛运动，下列说法中正确
的是( )
．平抛运动是匀速运动
．平抛运动是匀变速曲线运动
．平抛运动不是匀变速运动 ．做平抛运动的物体智落浪教地育-时-普惠速英度才文方库 向一定是竖直向下的
解析：平抛运动是水平抛出且只有重力作用的运动，是加 速度恒为的匀变的规律．近年高考联 系生活实际的命题显著增多，考生在处理问题时，要善于将实 际问题抽象成平时所熟悉的物理模型，再根据运动的特点和规 律进示，节水灌溉
中的喷嘴距地高 ，假定水从喷嘴水平喷出，喷灌半径为
第讲 抛体运动
考点 平抛运动及其规律
重．力定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只
在作用下物体做平抛运动时，由于只受重力作用，所以物体的加 速度是重力加速度 g，而物体的初速度 v0 沿水平方向，故平抛 运动是匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．在运动过程中，任何 相等时间 Δt 内，速度的变化量均_相__等__，均为 Δv＝gΔt，并且 速度变化方向始终是_____竖__直__向__下____的． (2)平抛物体运动中水平方向和竖直方向的两个分运动是 相互独立的，每个分运动都不会因另一分运动的存在而受到影 响，水平方向和竖直方向的两个分运动及其合运动具有等＝v0t
④
h＝21gt2
⑤
由③～⑤式得 x＝2 H－μL－hh.
⑥
由⑥式可得，当 h＝12(H－μL)
sBH＝L＋H－μL.
(3)在⑥式中令 x＝2 m，H＝4 m，L＝5 m, μ＝0.2
则可得到－h2＋3h－1＝0
解得 h1＝3＋2 5 m＝2.62 m，h2＝3－2 5 m＝0.38 m.
，不计空气阻力，取 ＝ .则(
)
图－－ .水下落的加速度为 .水从喷嘴到地面的时间为 .水固定一倾角θ＝°、 表面光滑的斜面体，物体 以 ＝ 的初速度沿斜面上滑， 同时在物体 的正上方，有一物体 以某一初速度 水平抛出． 如果当 上滑到最高点时恰好被 物体击中．(、 均可看做 质点，°＝，°＝，取 ＝ )求：