[精品]2019届高考数学一轮复习 第七篇第7节 第一课时 证明平行和垂直训练 理 新人教版

第一课时证明平行和垂直
基础巩固(时间:30分钟)
1.若直线l的一个方向向量为a=(2,5,7),平面α的一个法向量为u=(1,1,-1),则( A )
(A)l∥α或l⊂α(B)l⊥α
(C)l⊂α (D)l与α斜交
解析:由条件知a·u=2×1+5×1+7×(-1)=0,所以a⊥u,故l∥α或l⊂α.故选A.
2.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( C )
(A)α∥β (B)α⊥β
(C)α,β相交但不垂直(D)以上均不正确
解析:因为n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0,所以n1与n2不垂直,又因为n1,n2不平行,所以α与β相交但不垂直.
3.已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于( C )
(A)2 (B)-4 (C)4 (D)-2
解析:因为α∥β,所以==,所以k=4.
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是( C )
(A)平行 (B)相交
(C)异面垂直 (D)异面不垂直
解析:建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),
O(1,1,0),N(2,1,2),=(-1,0,-2),=(-2,0,1),·=0,则直线NO,AM的位置关系是异面垂直.
5.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为( B )
(A),-,4 (B),-,4
(C),-2,4 (D)4,,-15
解析:因为⊥,所以·=0,即3+5-2z=0,得z=4.
又因为BP⊥平面ABC,所以BP⊥AB,BP⊥BC,
又=(3,1,4),则解得
6.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,则x= .
解析:由α⊥β知a·b=0,即x+1×(-2)+2×3=0,解得x=-4.
答案:-4
7.在空间直角坐标系中,点P(1,,),过点P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为.
解析:由题意知,点Q即为点P在平面yOz内的射影,
所以垂足Q的坐标为(0,,).
答案:(0,,)
8.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4),
=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是.
解析:由于·=-1×2+(-1)×2+(-4)×(-1)
=0,·
=4×(-1)+2×2+0×(-1)
=0,
所以①②③正确.④不正确.
答案:①②③
能力提升(时间:15分钟)
ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM的
位置关系为( C )
(A)平行 (B)异面
(C)垂直 (D)以上都不对
解析:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1,),
C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0).
所以=(,2,0)-(0,1,)=(,1,-),=(,2,0)-(2,0,0)
=(-,2,0),所以·=(,1,-)·(-,2,0)=0,即⊥,所以AM⊥PM.
10.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上且AM∥平面BDE,则M点的坐标为( C )
(A)(1,1,1)
(B)(,,1)
(C)(,,1)
(D)(,,1)
解析:由选项特点,设M(λ,λ,1),又A(,,0),D(,0,0), B(0,,0),E(0,0,1),则
=(-,0,1),=(0,-,1),=(λ-,λ-,1).
设平面BDE的法向量n=(x,y,z),则
即
不妨取z=,则n=(1,1,),
由于AM∥平面BDE,所以⊥n,
即·n=0,所以λ-+λ-+=0,解得λ=,
即M点坐标为(,,1).故选C.
11.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是.
解析:因为正方体棱长为a,A1M=AN=,
所以=,=,
所以=++
=++
= (+)++ (+)
=+.
又因为是平面B1BCC1的法向量,
所以·=(+)·=0,
所以⊥.又因为MN⊄平面B1BCC1,所以MN∥平面B1BCC1.
答案:平行
,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:AG∥平面BEF;
(2)试在棱BB1上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论.
(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,1,0),E(1, ,1),F(,1,1),G(0, ,1),
=(-, ,0),=(-,0,1),
而=(-1, ,1),
所以=+,
故与平面BEF共面,
又因为AG不在平面BEF内,
所以AG∥平面BEF.
(2)解:设M(1,1,m),则=(1,1,m),
由·=0,·=0,
所以-+m=0⇒m=,
所以M为棱BB1的中点时,DM⊥平面BEF.
13.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1.
(1)求证:E,B,F,D1四点共面;
(2)若点G在BC上,BG=,点M在BB1上,GM⊥BF,垂足为H,求证:EM⊥平面BCC1B1.
证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(0,3,1),
F(3,0,2),D1(0,0,3),B(3,3,0),
则=(-3,0,1),=(-3,0,1),所以∥,
所以E,B,F,D1四点共面.
(2)设M(3,3,z0),G(3, ,0),
则=(0, ,z0),
而=(0,-3,2),
由题设得·=×(-3)+z0·2=0,
得z0=1.故M(3,3,1),
有=(-3,0,0).
又=(0,0,3),=(0,-3,0),
所以·=0,·=0,
从而ME⊥BB1,ME⊥BC.又BB1∩BC=B,所以EM⊥面BCC1B1.
PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)证明:如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a, ,0),P(0,0,a),F(, ,), =(-,0,),=(0,a,0).
因为·=0,所以⊥,即EF⊥CD.
(2)解:假设存在满足条件的点G,
设G(x,0,z),则=(x-,-,z-),
若使GF⊥平面PCB,则由·=(x-,-,z-)·(a,0,0)=a(x-)=0,得x=;
由·=(x-,-,z-)·(0,-a,a)
=+a(z-)=0,得z=0.
所以点G的坐标为(,0,0),
即存在满足条件的点G,且点G为AD的中点.。