人教新课标版数学高二-人教数学(B)选修4-5检测 1.5.2综合法和分析法

一、选择题
1．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0，且 b 2－4ac ＜0”是“对任意的x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c ＞0”的( )
A 充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．必要条件
【解析】 当a ＞0，b 2－4ac ＜0时，ax 2＋bx ＋c ＞0.反之，ax 2＋bx ＋c ＞0对任意的x ∈R 成立不能推出a ＞0，b 2－4ac ＜0.反例：a ＝b ＝0，c ＝2.
【答案】 A
2．(2013·日照模拟)要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( )
A ．2ab －1－a 2b 2≤0
B ．a 2＋b 2
－1－a 4＋b 4
2≤0 C ．(a ＋b 2)2－1－a 2b 2≤0
D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0
【解析】 a 2＋b 2－1－a 2b 2＝－(a 2－1)(b 2－1)≤0.
【答案】 D
3．设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则( )
A ．m ＜n
B ．m ＞n
C ．m ＝n
D ．不能确定
【解析】 ∵a ＞b ＞0， ∴a ＞b ，∴a －b ＞0，ab ＞b . (a －b )2－(a －b )2＝a ＋b －2ab －(a －b ) ＝2(b －ab )＜0.
∴(a －b )2＜(
a －
b )2.∴a －b ＜a －b ，即m ＜n .
【答案】 A
4．已知0<a<1<b，则下面不等式中一定成立的是() A．log a b＋log b a＋2>0
B．log a b＋log b a＋2<0
C．log a b＋log b a＋2≥0
D．log a b＋log b a＋2≤0
【解析】∵0<a<1<b，
∴log a b<0，∴－log a b>0.
∴(－log a b)＋1
－log a b≥2，
∴－(－log a b＋1
－log a b)≤－2，
log a b＋
1
log a b≤－2，
当且仅当log a b＝－1，即b＝1
a>1时等号成立．
∴log a b＋log b a≤－2，∴log a b＋log b a＋2≤0.
【答案】 D
二、填空题
5．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小顺序是________．【解析】用分析法比较，a>b⇔3＋5>2＋6⇔8＋215>8＋212.同理可比较得b>c.所以a>b>c.
【答案】a>b>c
6．已知a＞0，b＞0且a＋b＝1，则1
a＋
1
b＋
1
ab与8的大小关系是________．
【解析】∵a＞0，b＞0且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2ab＞0，进而得1
ab
≥2，
于是得1
ab≥4.
又∵1
a ＋1
b
＋1
ab
＝
a＋b＋1
ab
＝2
ab
＝2·1
ab≥8.
故1a ＋1b ＋1ab ≥8.
【答案】 1a ＋1b ＋1ab ≥8
三、解答题
7．(2013·大连模拟)设a ＞0，b ＞0，c ＞0.证明：
(1)1a ＋1b ≥4a ＋b
； (2)12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b
. 【证明】 (1)∵a ＞0，b ＞0，
∴(a ＋b )(1a ＋1b )≥2ab ·2
1ab ＝4.
∴1a ＋1b ≥4a ＋b
. (2)由(1)知1a ＋1b ≥4a ＋b
. 同时，1b ＋1c ≥4b ＋c ，1c ＋1a ≥4c ＋a
，三式相加得： 2(1a ＋1b ＋1c )≥4b ＋c ＋4c ＋a ＋4a ＋b ， ∴12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b
. 8．如果a ＞b ，ab ＝1，求证：a 2＋b 2≥22(a －b )，并指明何时取“＝”号．
【证明】 因为a ＞b ，所以a －b ＞0，
欲证a 2＋b 2≥22(a －b )．
只需证a 2＋b 2
a －b
≥2 2. 因为a ＞b ，a －b ＞0，
又知ab ＝1，
所以a2＋b2
a－b
＝
a2＋b2－2ab＋2ab
a－b
＝
(a－b)2＋2
a－b
＝(a－b)＋2
a－b ≥2(a－b)·
2
a－b
＝2 2.
所以a2＋b2
a－b
≥22，
即a2＋b2≥22(a－b)．当且仅当a－b＝2
a－b
，即a－b＝2时，取等号．
9．若不等式
1
a－b
＋
1
b－c
＋
λ
c－a
＞0在条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取
值范围．
【解】不等式可化为
1
a－b
＋1
b－c
＞λ
a－c
.
∵a＞b＞c.∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，
∴λ＜a－c
a－b
＋
a－c
b－c
恒成立．
∵a－c
a－b ＋
a－c
b－c
＝
(a－b)＋(b－c)
a－b
＋
(a－b)＋(b－c)
b－c
＝2＋b－c
a－b
＋
a－b
b－c
≥2＋2＝4.
∴λ＜4.
故实数λ的取值范围是(－∞，4)．教师备选
10．已知函数f (x )＝lg(1x －1)，x ∈(0，12)，若x 1，x 2∈(0，12)，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f (x 1＋x 22)．
【证明】 要证明原不等式成立，只需证明 (1x 1－1)(1x 2－1)>(2x 1＋x 2
－1)2. ∵x 1，x 2∈(0，12)，x 1≠x 2，
∴(1x 1－1)(1x 2－1)－(2x 1＋x 2
－1)2 ＝1x 1x 2－1x 1－1x 2－4(x 1＋x 2)2＋4x 1＋x 2
＝(x 1－x 2)2(1－x 1－x 2)x 1x 2(x 1＋x 2)2
>0. ∴(1x 1－1)(1x 2－1)>(2x 1＋x 2
－1)2， ∴lg[(1x 1－1)(1x 2
－1)]>lg(2x 1＋x 2－1)2， 即12[f (x 1)＋f (x 2)]>f (x 1＋x 22)．。