2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2016年6月5日上午8:3011:00--
一、填空题〔每题7分，共56分〕
1、假设()22016log 65y x ax =-+的值域为R +，那么a 的取值范围是 ．
2、四面体ABCD 中，ABC ∆是一个正三角形，2AD BD ==，AD BD ⊥
， AD CD ⊥，则
D 到面ABC 的距离为
．
3、假设对于所有的正数,x y ，则实数a 的最小值是 ．
4、已知P 是正方形ABCD 内切圆上的一点，记,APC BPD αβ∠=∠=，则22tan tan αβ+= ．
5、等差数列2,5,8,,2015与4,9,14,,2014的公共项〔具有相同数值的项〕的个数
是 ．
6、设x 为锐角，则函数sin sin 2y x x =的最大值是 ．
7、假设将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33⨯方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是
8、把从1到n (1)n >这n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n 的最小值是 ．
二、解答题〔共64分〕 9、〔14分〕如图，CD 是椭圆22221x y a b
+=过椭圆长轴的左顶点A 作CD 另一点N ，交椭圆短轴所在直线于M ，
证明：AM AN CO CD ⋅=⋅．
10、
〔15分〕如图，D 是ABC ∆的旁心，点A 关于直线DC 的对称点为E ．证明： (1)、,,B C E 三点共线；(2)、,,,A B D E 四点共圆．
11、
〔15分〕设,,x y z 为正数，满足：1xy yz zx ++=，证明： 22()()()(1)(1)(xyz x y y z x z x y +++≥--21-z )
12、
〔20分〕设集合{}1,2,,2016A =，对于A 的任一个1008元子集X ，假设存在
,x y X ∈，满足,x y x y <，则称X 为“好集”，求最大的正整数a ，〔a A ∈〕，使得任一个含a 的1008元子集皆为“好集”．
D
B
1.答案：1616a -<<．
解：由值域y R +
∈，2651x ax ∴-+>，2
640x ax ⇒-+>
24640a ∴∆=-⋅
<，∴1616
a -<<.
2.答案：3．解：如图，据题意得，
AB ==
于是BC CA AB
===2CD
==，
因222
BC BD CD =
+，得BD CD ⊥，从而以D
为顶点的三面角是三直三面角，
四面体体积14
33
BCD V AD S ∆=⋅=
，而2
ABC S AB ∆== 假设设D 到面ABC 的距离为h ，则1
3ABC V h S ∆=⋅=
，由4
3
=，得到h =
3.．
解：由22
1⎛⎫+=≤ 当x =时取等号． 4.答案：8．
解：如图建立直角坐标系，设圆方程为222x y r +=，
则正方形顶点坐标为(,),(,),(,),(,)A r r B r r C r r D r r ----，
假设点P 的坐标为(cos ,sin )P r r θθ，于是直线,,,PA PB PC PD 的斜率分别为
1sin 1sin ,1cos 1cos PA PB k k θθθθ++==-+-，1sin 1sin ,1cos 1cos PC PD k k θθ
θθ
--==-
-+， 所以2
22tan 4(cos sin )1PC PA
PA PC k k k k αθθ⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭
，
2
22tan 4(cos sin )1PD PB PB PD k k k k βθθ⎛⎫
-==+ ⎪+⎝⎭
，由此立得22tan tan 8αβ+=．
解2：取特例，P 在坐标轴上，则αβ=，
这时，2tan cot 2tan 1
αγβ====，2222
tan tan 228αβ∴+=+=
5.答案：134．
解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,,2016与等差数列5,10,15,,2015的公共项个数；前者是{}1,2,3,,2016M =中的全体能被3整除的数，
后者是M 中的全体能被5整除的数，故公共项是M 中的全体能被15整除的数，这种数有
98
765
4
32
1201613415⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
个． 6.
答案：
9
． 解：由2
2sin cos y x x =，得2422224sin cos 2(1cos )(1cos )2cos y x x x x x ==--⋅
3
3
222(1cos )(1cos )2cos 216223327x x x ⎛⎫-+-+⎛⎫≤=⋅= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，
所以9y ≤
．当2
1cos 3
x =时取得等号．
8.答案：15．
例如，排出的一个数列为
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．
解：这是一个操作问题，假设用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作． 记这n 个连续正整数的集合为{}1,2,
,M n =，由于1n >，
则M 中必有2，而279+=，所以7n ≥，当7n =时，从1到7这7个数可以搭配成满
足条件的三个数段：
(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6)，增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即10n ≥，而之前的数假设与8,9,10邻接，只有819,9716,+=+=10616+=，这三段扩充为
(8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10这10
个数能搭配成和为25的最小数是15，则15n ≥，而当{}1,2,,15M =时，可排出上面
的情形：
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)． 9.证1：椭圆方程为cos ,sin x a y b θθ==，
点,A N 的坐标为(,0),(cos ,sin )A a N a b θθ-，则直线AN 方程为cos sin x a t y t θ
θ=-+⎧⎨
=⎩
， ……3' 代入椭圆方程得到222222
(cos sin )2cos 0b a t ab t θθθ+-=， 222222cos cos sin ab AN t b a θθθ==+，()cos 2
a AM π
θθ=≠，……6'
因此22
2222
2cos sin a b AM AN b a θθ
⋅=+，……9' 又据AN ∥CD ，则点,C D 坐标为：(cos ,sin )C OD OD θθ--，
(cos ,sin )D OD OD θθ，……12'
因为,C D 在椭圆上，则22
2
2222cos sin a b CO b a θθ=+，而，
222
222222cos sin a b CO CD CO b a θθ
⋅==+，因此AM AN CO CD ⋅=⋅．……14'
证2：
易知CD 的斜率k 存在，不妨令:CD y kx =，与椭圆方程联系， 解得222
2222
22
222C D b a k b a k b a k b a k ⎛⎫⎛⎫
++++⎝
、 ……3' ()()2
22
222
2
2
2
2
2
2
141k a b
k a b CO CD b a k b a k
++∴=
=
++()222
2
2
2
21k a b CO CD b a k
+∴⋅=
+…6'
AN 方程为： ),0,y k x a M ka =+∴.
将AN 方程与椭圆方程联立，得()
222232222220b a k x a k x k a a b +++-=
32232
222222
2,A N N a k ab a k x x x b a k b a k -∴+=-∴=++ ……9'
2
2222
2,1N kab y AM k b a k
=∴=++ ……12' ()
2
23222422
2222222421ab a k k a b ab k AN a b a k b a k ⎛⎫-+=++= ⎪+⎝⎭+， 222222
21a b k AM AN CO CD b a k +∴⋅=
=⋅+ …14'
10.证：1、延长DC 到M ，延长AC 到N ,连CE ，D 为旁心，CD ∴平分BCN ∠…2' 又A E 、关于DC 对称，CM ∴平分ACE ∠DCN ACM ∴∠=∠,BCD MCE ⇒∠=∠ BCN ACE ∴∠=∠,B ∴、C 、E 三点共线。

……5' 2、过C 作//CI AE 交AD 于I ，则IC DC ⊥ ……7' I ∴为ABC 内心。

连BI ,则BI 平分ABC ∠,……10' ∴90IBD ︒∠=,B ∴、D 、C 、I 四点共圆，……12' CBD CID EAD ∴∠=∠=∠,
A ∴、
B 、D 、E 四点共圆。

……15'
11.证：据条件，即要证 22(1)(1)(x y ≥--2
xyz(x+y+z-xyz)1-z ) ①
也即22222222
)()y z x y y z x z ≥+++++2xyz(x+y+z)1-(x ② ……3'
将此式各项齐次化，因为2222222
1()2()xy yz xz x y y z x z xyz x y z =++=+++++ 6' 222222()()x y z x y z xy yz xz ++=++++=
333()()()()x y z y x z z x y xyz x y z ++++++++代入②， 只要证()xyz x y z ++≥
2222223332()()()()()x y y z x z x y z y x z z x y xyz x y z ++-++++++++即
333222222()()()2()0x y z y x z z x y x y y z x z +++++-++≥……12'
也即2
2
2
()()()0xy x y yz y z xz x z -+-+-≥。

此为显然，故命题得证．…15' 证2：由题设得：
()()()1,1,1y x z zx x y z yz z x y xy +=-+=-+=-，
三式相乘，故原不等式等价于证明：
()()()()()()222111111zx yz xy x y z ---≥---……3'
上式两边展开并化简得：
()222x y z xy yz zx ++-++≥()222222222x y y z z x x yz xy z xyz ++-++ ……6'
配方得：()()()()()()2
2
2
2
2
2
x y y z z x xy xz yz xy yz zx -+-+-≥-+-+-
()()()222
222x y z y z x z x y =-+-+- ……9'
即(
)()
()()()()2
2
2
2
221110z
x y x y z y z x --+--+--≥()*……12'
2220,,1,10,10,10,x y z x y z <<∴->->->()∴*显然成立. ……15'
12.解：因任何正整数n 可以表为2n t α
=形式，其中N α∈，t 为正奇数，于是集合A 可划分为以下1008个子集：
{}
2(21),,12016j A m m j N m αα==-∈≤≤，1,2,
,1008j =……4'
对于集合A 的任一个1008元子集X ，只要集X 中含有某一个j A 中的至少两个元素
,,()x y x y <，因122(21),2(21)k k x j y j =-=-，12k k <，则x y ；此时X 为好集； 以下证明正整数a 的最大值为671： ……8'
假设671a =时，对于A 的任一个1008元子集X ，如果X 中含有某个j A 中的至少两个
元素，则X 便是好集；如果{}
j A 中的1008个集合，每个集合中恰有一个元素在X 中，那么1007A 也有一个元素在X 中，但{}10072013A =为单元素集，于是2013X ∈，而2013a ，(201367133)a =⨯=，
这说明X 仍是好集，因此671a =合于要求． ……12' 下面说明当672a ≥时，存在含a 的集X 不是好集；分两种情况：
(1)、假设1009a ≥，取1008元集{}01009,1010,,2016X =，则0a X ∈， 因0X 中任两个不同元素x y <，均有x y ，故0X 不为好集，这种a 不合要求．……15'
(2)、假设6721008a ≤≤，记{}16720,1,,336X j j =+=，
{}20\2(672)0,1,,336X X j j =+=，令1
2X X X =，则1008X =，且1a X ∈，
假设X 中存在,x y x y <，因672x ≥，2016y ≤，则3y x ≤；
假设672x =，如果,x y x y <，只有2y x =或者3y x =，此时y 的取值只能是：
26721344y =⨯=，或者36722016y =⨯=；13442(6720),20162(672336)=+=+，这说明，这两个数已被挖去，不在集合X 中； ……18'
假设672x >，假假设x y ，只有2y x =，这种数y 也已悉数被挖去，即y X ∉，因
此X不是好集，这种a也不合要求．
综上所述，a的最大值为671．……20'。