河北省八年级数学上册17特殊三角形17-1等腰三角形2导学案无答案新版冀教版

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【冀教版】八年级上：第17章《特殊三角形》全章教学案(含答案)

第十七章特殊三角形1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等边三角形的性质定理和判定定理.2.探索并掌握直角三角形的性质定理,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.3.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.5.会利用基本作图方法作三角形:已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.6.通过实例体会反证法的含义.1.经历由情境引出问题,探索、掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学生学数学、用数学的意识与能力.2.在教学过程中提供充足的时间和空间,让学生经历观察、操作、实验、猜想、验证等活动过程,培养学生尝试探究的意识和能力.1.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国及祖国悠久文化的思想感情.2.使学生从数学的角度思考问题,培养学生积极的学习态度,树立学习的信心,提高学生的学习兴趣.本章知识既是三角形内容的深化和拓展,又是进一步研究特殊四边形的重要工具.同时,等腰三角形的知识在今后探索线段相等、角相等、直线的垂直关系等方面有着广泛的应用;勾股定理及其逆定理不仅是数形结合思想的完美体现,更是我们今后解决数学问题和实际问题的有力工具.因此,本章起着承上启下的桥梁作用.(1)等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质和判定,主要通过观察与思考、操作与归纳等方法去探索和发现结论,再通过演绎推理证明结论,最后举例证明,实现在发展学生合情推理能力的基础上,把证明作为探索活动的自然延续.较好体现了合情推理与演绎推理两种推理形式的相辅相成,实现了两种推理的有机融合.(2)对于勾股定理的获得,设计了观察、计算、思考、归纳、猜想等探究活动,将验证猜想的过程设计为“试着做做”和“做一做”等学生自主活动,让学生体验勾股定理发现的全过程,发展学生的推理能力和创新意识;对于勾股定理的逆定理,通过让学生先操作(画直角三角形),再证明(利用全等)的方式来获得.(3)在本章的尺规作图中,都增加了分析环节,使学生不仅要知道作图的步骤,而且还要了解作图的道理.【重点】1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定.2.直角三角形的性质和判定.3.勾股定理、逆定理及其简单应用.4.反证法及其简单应用.【难点】1.等腰三角形、等边三角形的性质及其应用.2.勾股定理及其逆定理的应用.1.关于等腰三角形和直角三角形性质和判定的教学,应引导学生在独立思考和合作交流的前提下,进行观察与思考、操作与探究等活动并获得猜想,进而一起完成对猜想的证明,落实对合情推理和演绎推理的自然结合,实现提升学生推理意识和推理能力的目的.2.对于勾股定理的教学,教师要提供充足的时间和空间,让学生观察、猜想、推理,使定理的发现成为学生认识活动的自然结果.3.对于证明格式、方法和步骤,要让学生在亲身经历、体验的过程中去逐步理解和掌握,此过程切忌急于求成,更不要以教师的讲解代替学生的活动,要给学生充足的时间和空间去探索、实践和总结.4.提倡思维多样化,注重培养学生清晰表达自己思维过程的能力,对学生出现的多种思路和方法,应给予充分肯定并在全班展示,使学生的求异思维和创新意识能得到及时的表现.17.1等腰三角形2课时17.2直角三角形1课时17.3勾股定理3课时17.4直角三角形全等的判定1课时17.5反证法1课时回顾与思考1课时17.1等腰三角形1.了解等腰三角形、等边三角形的定义,掌握等腰三角形及等边三角形的性质.2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法.1.通过动手操作及等腰三角形、等边三角形的对称变换掌握其性质和特征.2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法,能利用性质和判定方法解决问题.1.体会等腰三角形和等边三角形的对称美.2.体会数学在现实生活中的广泛应用,认识数学无处不在,提高学生学习数学的兴趣.【重点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法.【难点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法的应用.第课时在动手操作的过程中,理解等腰三角形、等边三角形的性质定理.1.让学生通过动手操作,经历等腰三角形性质的探索过程,培养学生的动手、归纳、概括的能力.2.培养学生的猜想能力,让学生经过推理证明得到等腰三角形、等边三角形的性质定理.培养学生的逻辑思维能力,让学生树立良好的学习观,增强学生认真学习的态度.【重点】等腰三角形、等边三角形的性质定理.【难点】等腰三角形、等边三角形的性质定理的推理和证明.【教师准备】多媒体课件、各种形状的图形、剪刀.【学生准备】长方形纸、剪刀.导入一:教师预先做出各种几何图形,包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等边三角形、等腰三角形等.让同学们抢答哪些是轴对称图形,提问什么是轴对称图形,什么样的三角形才是轴对称图形.引入今天所要讲的课题——等腰三角形、等边三角形的性质定理.我们知道,有两条边相等的三角形是等腰三角形,下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形.[设计意图]通过辨别,让学生发现等腰三角形是轴对称图形,从而引出可以利用轴对称的性质来确定等腰三角形.导入二:在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.思考:三角形是轴对称图形吗?有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.问题:什么样的三角形是轴对称图形?满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后,两部分能够完全重合的就是轴对称图形.这节课我们就来认识一种是轴对称图形的三角形──等腰三角形.[设计意图]从三角形的角度,让学生通过思考,了解等腰三角形是轴对称图形,从而自然地引入到本节课的学习之中,激发了学生的学习兴趣和求知欲望.导入三:1.出示一组含有等腰三角形的生活图片,让学生感知图片主要部分形状的共同点.2.出示自制的测平仪,告诉学生含45°角的三角板顶点固定一条拴着重物的绳子,标出底边中点标志,它就变成了测平仪.激起学生的好奇心,从而引入课题.[设计意图]活跃课堂气氛,消除学生的紧张情绪,让学生带着问题进入学习.思路一【活动1】【课件1】如图所示,把一张长方形纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的ΔABC有什么特点?【学生活动】学生动手操作,观察ΔABC的特点,可以发现AB=AC.【教师活动】让学生回顾等腰三角形的概念:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.如图所示,在ΔABC中,若AB=AC,则ΔABC是等腰三角形,AB,AC是腰,BC是底边,∠A是顶角,∠B和∠C是底角.【活动2】【课件2】观察与思考:如上图所示,ΔABC是等腰三角形,其中AB=AC.(1)我们知道线段BC为轴对称图形,中垂线为它的对称轴,由AB=AC,可知点A在线段BC的中垂线上.据此,你认为ΔABC是轴对称图形吗?如果是,对称轴是哪条直线?(2)∠B和∠C有怎样的关系?(3)底边BC上的高、中线及∠A的平分线有怎样的关系?【学生活动】学生经过观察,然后小组讨论交流,从中总结等腰三角形的性质.【教师活动】引导学生归纳:性质1等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).[知识拓展]等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常用方法.性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).【活动3】你能用所学知识验证上述性质吗?【课件3】如图所示,在ΔABC中,AB=AC.求证∠B=∠C.【学生活动】学生在独立思考的基础上进行讨论,寻找解决问题的办法,若证∠B=∠C,根据全等三角形的知识可以知道只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.于是可以作辅助线构造两个三角形,作BC边上的中线AD,证明ΔABD和ΔACD全等即可,根据条件利用“边边边”可以证明.【教师活动】让学生充分讨论,根据所学的数学知识,利用逻辑推理的方式进行证明,证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性.证明:作BC边上的中线AD,如图所示,则BD=CD,在ΔABD和ΔACD中,所以ΔABD≌ΔACD(SSS),所以∠B=∠C.这样,就证明了性质1.类比性质1的证明你能证明性质2吗?由ΔABD≌ΔACD,还可得出∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°.从而AD⊥BC,这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线平分顶角∠A并垂直于底边BC.添加辅助线的方法多样,让学生再去讨论、交流,即用类似的方法可以证明性质2.说明:经过以上证明也可以得出等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.[知识拓展]等腰三角形还有以下性质:(1)等腰三角形两腰上的中线、高线相等;(2)等腰三角形两个底角平分线相等;(3)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.[设计意图]通过折叠等腰三角形让学生观察,在动手操作中掌握等腰三角形的性质,概括出性质,并引导学生加以证明,让学生经历知识的形成和证明过程,加深了对知识的理解和掌握.思路二要求学生通过自己的思考来作一个等腰三角形.【课件4】作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,BC,CA.以上活动所得三角形的两边相等吗?此三角形称为.小结:【课件5】填出等腰三角形各部分名称.归纳:等腰三角形的定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.【课件6】问题1:等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.问题2:通过折叠或测量,看看等腰三角形的两底角有什么关系?问题3:顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?问题4:底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢?1.学生通过刚才自主探究,大胆猜想以上问题的结果.2.教师用几何画板直观演示并引导学生观察等腰三角形的性质.(对称性,等边对等角,三线合一.)小结:等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角(简称“”);(2)等腰三角形的,、重合(简称“三线合一”).3.你能证明以上性质吗?问题:(1)性质1(等腰三角形的两个底角相等)的条件和结论分别是什么?(2)怎样用数学符号表示条件和结论?已知:在ΔABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C;请以“顶角的平分线”为辅助线,证明以上性质.(A组同学完成以下填空,B组同学独立证明.)教师巡视辅导点评.【课件6】证明:如图所示,作∠BAC的平分线AD,∴∠=∠,在ΔABD与ΔACD中,∴ΔABD≌ΔACD(),∴∠B=∠.4.受上述启发,能证明性质2吗?即证明∠BAC的平分线AD是ΔABC底边上的中线和高.证明:由ΔABD≌ΔACD知BD=,∠BAD=∠,∠ADB=∠,∵∠ADB+∠ADC=°,∴∠ADB=∠ADC=°.因此∠BAC的平分线AD也是ΔABC底边BC上的中线和高.5.提问:作底边上的高,又如何证明?(让同学讲证明思路.)[设计意图]通过作等腰三角形让学生感知其重点,通过几何画板让学生对照图形思考等腰三角形的性质,同时掌握对性质的证明方法,培养学生的学习能力.探究二:等边三角形的性质定理【课件7】已知:如图所示,在ΔABC中,AB=BC=AC.求证:∠A=∠B=∠C=60°.指导学生利用等腰三角形的性质进行证明.证明:在ΔABC中,由AB=AC,得∠B=∠C.由AC=BC,得∠A=∠B.所以∠A=∠B=∠C.由三角形内角和定理可得∠A=∠B=∠C=60°.[知识拓展]等边三角形是特殊的等腰三角形,除了具有等腰三角形的性质外,等边三角形还具有自己特有的性质:(1)等边三角形有三条对称轴(等边三角形三条边都相等,都可以作为底边);(2)作等边三角形各边的高线、中线、各角的平分线一共有三条.[设计意图]让学生通过测量、证明,发现等边三角形的性质,掌握等腰三角形和等边三角形的关系.探究三:例题讲解【课件8】已知:如图所示,在ΔABC中,AB=AC,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线.求证:BD=CE.〔解析〕根据角平分线定义得到∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,再根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB,从而得到∠ABD=∠ACE,然后通过ASA证得ΔABD≌ΔACE,就可以得到BD=CE.教师巡回指导,在学生完成后,指名口述解答过程.【课件9】(补充例题)如图所示,在ΔABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求ΔABC中各角的度数.〔解析〕根据等边对等角的性质,我们可以得到∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形内角和为180°,就可求出ΔABC的三个角的度数.如果设∠A为x,那么∠ABC,∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷了.解:因为AB=AC,BD=BC=AD,所以∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.在ΔABC中,∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°.所以∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.[设计意图]通过对例题的讲解、分析,引导学生应用等腰三角形的性质,让学生掌握解题思路和方法,提高学生对等腰三角形性质的应用能力.1.等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).注意:等边对等角只限于在同一个三角形中使用.2.等腰三角形的性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).说明:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(底边上的高、顶角平分线)所在的直线是它的对称轴.3.等边三角形的性质等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°解析:因为等腰三角形的两个底角相等,顶角是40°,所以其底角为=70°.故选D.2.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为()A.17B.15C.13D.13或17解析:①当等腰三角形的腰为3,底边为7时,3+3<7,不能构成三角形;②当等腰三角形的腰为7,底边为3时,周长为3+7+7=17.故这个等腰三角形的周长是17.故选A.3.如图所示,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC等于()A.30°B.20°C.25°D.15°解析:∵ΔABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°,∵AD是ΔABC的中线,∴∠DAC=∠BAC=30°,AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵AE=AD,∴∠ADE=∠AED==75°,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.故选D.4.如图所示,l∥m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所成的锐角为20°,则∠α的度数为()A.60°B.45°C.40°D.30°解析:如图所示,过C作CE∥直线m,∵l∥m,∴l∥m∥CE,∴∠ACE=∠α,∠BCE=∠CBF=20°,∵ΔABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°,∴∠α=40°.故选C.5.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则ΔABC的周长是.解析:∵在ΔABC中,AB=AC,∴ΔABC是等腰三角形,又∵AD⊥BC于点D,∴BD=CD.∵AB=6,CD=4,∴ΔABC 的周长=6+4+4+6=20.故填20.6.如图所示,在ΔABC中,∠A=70°,AB=AC,CD平分∠ACB.求∠ADC的度数.解析:由AB=AC及顶角∠A的度数,利用等边对等角得到两底角相等,再利用三角形内角和定理求出底角的度数,再由CD为底角的平分线,求出∠DCB的度数,由∠ADC为三角形BCD的外角,利用外角性质即可求出∠ADC的度数.解:∵在ΔABC中,∠A=70°,AB=AC,∴∠B=∠ACB==55°,又∵CD平分∠ACB,∴∠DCB=∠ACD=27.5°,∵∠ADC为ΔBCD的外角,∴∠ADC=∠B+∠DCB=82.5°.7.如图所示,等边三角形ABC中,D为AC边的中点,过C作CE∥AB,且AE⊥CE,那么∠CAE=∠ABD吗?请说明理由.解析:根据ΔABC为等边三角形,D为AC边上的中点得到AC=BA,∠BAC=∠BCA=60°,BD⊥AC,求出∠BDA=90°,由CE∥AB得∠ACE=∠BAD,利用三角形内角和定理得出∠CAE=∠ABD.解:∠CAE=∠ABD,理由如下:∵ΔABC为等边三角形,D为AC边上的中点,∴AC=BA,∠BAC=∠BCA=60°,BD⊥AC,∴∠BDA=90°,∵AE⊥CE,∴∠AEC=∠BDA=90°,又∵CE∥AB,∴∠ACE=∠BAD,∴180°-90°-∠ACE=180°-90°-∠BAD,∴∠CAE=∠ABD.第1课时探究一:等腰三角形的性质探究二:等边三角形的性质探究三:例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】1.教材第142页练习第1,2,3题.2.教材第143页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第143页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,∠A=30°,以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,连接BD,则∠ABD等于()A.30°B.45°C.60°D.90°2.如图所示,在ΔABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.45°D.60°3.已知等腰三角形ABC的周长为13,且各边长均为整数,那么这样的等腰三角形ABC有()A.5个B.4个C.3个D.2个4.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为()A.30°B.36°C.40°D.45°5.如图所示,ΔABC是一房屋人字架,其中AB=AC,为使人字架更加坚固,房主要求在顶点A和横梁BC之间加根柱子AD,可木工却不知将D点钉在BC何处才能使AD⊥BC,请同学们帮帮他,并说明理由.【能力提升】6.如图所示,ΔABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数.7.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,D为BC边上一D点,∠B=30°,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数;(2)求证DC=AB.【拓展探究】8.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9 cm和15 cm两部分,求这个等腰三角形的底边长和腰长.9.已知等边三角形ABC和点P,设点A到BC的距离为h,点P到ΔABC的三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,(1)如图(1)所示,若点P在边BC上,求证h1+h2=h.(2)如图(2)所示,当点P在ΔABC内时,猜想h1,h2,h3和h有什么关系?并证明你的结论.(3)如图(3)所示,当点P在ΔABC外时,h1,h2,h3和h有什么关系?【答案与解析】1.B(解析:∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=(180°-30°)=75°,∵以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,∴BC=BD,∴∠CBD=180°-2∠ACB=180°-2×75°=30°,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=75°-30°=45°.)2.B(解析:∵ΔABD中,AB=AD,∠B=80°,∴∠B=∠ADB=80°,∴∠ADC=180°-∠ADB=100°,∵AD=CD,∴∠C==40°.)3.C(解析:周长为13,边长为整数的等腰三角形的边长只能为:3,5,5;或4,4,5;或6,6,1.共3个.)4.B(解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA,∵CD=AD,∴∠C=∠CAD,∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°.)5.解:木工将D点钉在BC中点处能使AD⊥BC,理由如下:∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC.6.解:∵ΔABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵∠ABE=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°,∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20°,∴∠CED=∠ACB-∠D=40°.7.(1)解:∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∵∠C+∠BAC+∠B=180°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°,∵∠DAB=45°,∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.(2)证明:∵∠DAB=45°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°,∴∠DAC=∠ADC,∴DC=AC,∵AB=AC,∴DC=AB.8.解:设等腰三角形的腰长为x,如图所示,∵ΔABC是等腰三角形,∴AB=AC,由BD是AC边上的中线,有AB+AD=9或AB+AD=15,分下面两种情况:(1)x+x=9,∴),∴三边长分别为6,6,12,∵6+6=12,不符合三角形的三边关系,∴舍去;(2)x+x=15,∴,∴三边长分别为10,10,4.综上可知这个等腰三角形的底边长为4 cm,腰长为10 cm.9.(1)证明:如图(1)所示,连接AP,则SΔABC=SΔABP+SΔAPC,∴BC·AM=AB·PD+AC·PF,即BC·h=AB·h1+AC·h2.又∵ΔABC是等边三角形,∴BC=AB=AC,∴h=h1+h2.(2)解:h=h1+h2+h3,证明如下:如图(2)所示,连接AP,BP,CP,则SΔABC=SΔABP+SΔBPC+SΔACP,∴BC·AM=AB·PD+AC·PF+BC·PE,即BC·h=AB·h1+AC·h2+BC·h3.又∵ΔABC是等边三角形,∴BC=AB=AC.∴h=h1+h2+h3.(3)解:h=h1+h2-h3.理由如下:如图(3)所示,连接PB,PC,PA.由三角形的面积公式得SΔABC=SΔPAB+SΔPAC-SΔPBC,即BC·AM=AB·PD+AC·PF-BC·PE,∵ΔABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∴h1+h2-h3=h.这节课是在学生已经学习了三角形的有关概念和“认识轴对称图形”的基础上进行学习的,学生已经掌握了三角形的相关知识,具有初步的探究学习经验.同时本节课的内容不仅是对前面所学知识的运用,也是今后证明角相等、线段相等及直线垂直的重要工具,它在教材中处于非常重要的地位.因为等腰三角形的性质在日常生活中有广泛的应用,所以探索发现等腰三角形的性质是这节课的重点;同时,对“三线合一”性质的理解和运用,学生有一定的难度,是这节课的难点.为了突出重点,教师充分创设问题情境,解决问题;为了突破难点,教师引导学生经历动手折纸、动手画图、对比分析、提出猜想、小组讨论、发现、归纳总结等活动,加以化解.教师在整个教学过程中主要通过动手操作、直观演示、小组讨论、自主探索、合作交流、发现归纳等多种教与学的方式,确保学生是学习的主人,教师是组织者、引导者、合作者.同时为了更好地启发、感染和调动学生,提高教学效率,采用课件辅助教学,充分开发和利用教育资源为课堂教学服务.在教学方法上,本节课以学生为主体,教师真正成为学生学习的组织者、引导者、合作者.特别是在探究“三线合一”的性质时,老师给出探究主题,学生以小组为单位,合作交流,自主探究、发现.本着“问题是数学的心脏”原则,教师精心设计了一些问题,在教学过程中有半数的学生回答了教师的提问,但碍于教学计划,有的问题在回答过程中还不时得到教师的提醒,这样导致的结果是难于发现学生真实的思维过程.“多提问”固然有利于学生思考和理解知识,有利于了解学生掌握知识的程度.但在倡导培养创新精神和实践能力的今天,更要重视对学生问题意识的培养.但教师在本节课的教学设计中留给学生的时间和空间偏少,导致学生发现问题、提出问题太少,长此以往,会使学生问题意识淡化.问起于疑,疑源于思,课堂上教师要为学生质疑创造足够的空间和时间.在问题解决过程中培养学生问题意识和发现问题、提出问题的良好习惯.在探究问题的过程中,教师一定要让学生自己去发现,只有由学生自己发现的东西,才是最真实的,也是最容易掌握的.在学生回答问题时,教师要适当点拨,但不能代替学生回答自己提出的问题,一定要让学生说,哪怕是错误的,也是经过学生思考得来的.【练习】(教材第142页)1.提示:(1)70°.(2)45°.(3)35°.(4)60°.图略.2.提示:(1)20°.(2)80°.(3)90°.(4)120°.3.解:(1)可以是锐角,不可以是直角和钝角.因为等腰三角形两底角相等,当底角为直角或钝角时,三角形内角和大于180°,与三角形内角和等于180°相矛盾,所以底角不可以是直角或钝角.(2)都可以,因为都符合三角形内角和定理.【习题】(教材第143页)A组1.解:(1)图中有3个等腰三角形,它们分别是ΔABC,ΔABD,ΔBCD.(2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.因为BD=BC,所以∠C=∠BDC.因为BD=AD,所以∠A=∠DBA.设∠A=∠DBA=α,则∠ABC=∠BDC=∠C=2α.在ΔABC中,∠ABC+∠C+∠A=180°,所以2α+2α+α=180°,即5α=180°,所以α=36°,即∠A=36°.2.解:(1)80°,20°或50°,50°.(2)40°,40°.(3)设这个三角形的顶角为x°,则其底角为x°,由题意得x+x+x=180,∴x=90,x=45.∴这个三角形三个内角的度数分别为90°,45°,45°.3.解:∵ΔABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,又∵BD=DC,∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=60°=30°.4.解:∵AB=BC,∠B=50°,∴∠ACB=∠BAC==65°.∵AC=CD,∴∠D=∠CAD.又∵∠ACB=∠D+∠CAD,∴∠ACB=2∠D,∴2∠D=65°,∴∠D=32.5°.B组1.解:设腰长为x cm.①当腰长大于底边长时,x+x=18,∴x=12,此时底边长为15-).②当腰长小于底边长时,x+x=15,∴或13 cm.2.解:相等,相等.已知:如图所示,在ΔABC中,AB=AC,BD,CE分别是AC,AB边上的中线,BG,CH分别是AC,AB 边上的高.求证BD=CE,BG=CH.证明:∵AB=AC,BD,CE分别为AC,AB边上的中线,∴AD=AC,AE=AB,∴AD=AE.在ΔABD和ΔACE中,∴ΔABD≌ΔACE,∴BD=CE.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,∵BG,CH分别为AC,AB边上的高,∴∠BGC=∠CHB=90°.在ΔBGC和ΔCHB中,∴ΔBGC≌ΔCHB,∴BG=CH.等腰三角形的性质与应用等腰三角形“三线合一”的性质在初中几何证明和计算中占据了非常重要的地位,实际上这个性质的逆定理在证明中的直接或间接应用也不亚于这个性质的直接应用,可以作为判定等腰三角形的一种重要思路.由于书上没有直接给出逆定理,所以很多学生在解题时很难想象到利用这一定理来解决问题,以至于在几何证明过程中思维受阻,不能正确地作出辅助线.因而在教学中,教师如果把握好等腰三角形“三线合一”性质的逆定理在辅助线教学中的应用,把握好化归思想方法的渗透,将有助于让学生把握解题的关键,更好地培养和发展学生的思维能力,有助于学生突破解题的难点,明确辅助线的添加,探明解题的方法,从而帮助学生提高解决问题的能力,“三线合一”性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合,逆定理:①如果三角形中任一角的平分线和它所对边的中线重合,那么这个三角形是等腰三角形.②如果三角形中任一角的平分线和它所对边的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.简言之:三角形中任意两线合一,必能推导出它是一个等腰三角形.学习本节的关键之一是让学生通过剪切、折叠,发现线段和角的关系,从图形中观察并总结出等腰三角形的性质.教学中要注意引导,不要急于得出结论,在操作过程中,让学生翻折不同的等腰三角形,如顶角是锐角、钝角或直角的等腰三角形,说明在翻折过程中相应的角的大小和线段的长短关系都没有发生变化;还可以让学生探索一般的三角形是否一定有这种性质,进一步体会等腰三角形所具有的特点.。

【初中数学】八年级数学上册17特殊三角形17.1等腰三角形2导学案无答案新版冀教版

17.1 等腰三角形(2)【学习目标】1．掌握判定等腰三角形、等边三角形的方法；2．能运用等腰三角形判定定理及性质定理解决实际问题；3. 会用尺规作等腰三角形．【学习重点】等腰三角形、等边三角形的判定．【学习难点】等腰三角形的判定．【预习自测】知识链接：在上节课我们学习了等腰三角形的特征（性质）(1)等腰三角形是轴对称图形；用符号语言来表示：如图，在△ABC中，因为AB=AC所以∠B=∠C.其作用是：用于说明（证明）同一个三角形中的两角相等.(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴(也称之为“三线合一”)．其作用是：可说明（证明）角相等、线段相等或垂直.【合作探究】自学：阅读课本，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题.等腰三角形的识别方法：（1）用定义识别：有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2）等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.推理格式：△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC．等边三角形的识别方法：（1）有三个角都相等的三角形是等边三角形．中学资料 1中学资料2符号语言：△ABC 中，若∠A=∠B =∠C ，则△ABC 是等边三角形．（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．符号语言：△ABC 中，AB=AC ，∠A =60°(∠B =60°或∠C =60°)，则△ABC 是等边三角形．【解难答疑】1．如图，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC ，图中除BC 外，与B C 相等的线段分别是________． 2．如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，那么BD ：DC =________．3．如图，P 是∠AOB 的平分线上的一点，要求在OA 上取一点Q ，使△OPQ 为等腰三角形，满足要求的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如果等腰三角形的三个内角中，有一个钝角，那么这个角一定是（）A ．顶角B ．底角C ．顶角或底角D ．无法确定5等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是35°，则这个等腰三角形的顶角等于（）A ．35°B ．55°C ．70°D ．80° 【反馈拓展】1．如图，AB=AC ，O 是BC 的中点，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ．请用两种方法说明OD=OE 的理由．2.如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点O ，DE 经过O 点，且DE//BC ． ⑴请指出图中的两个等腰三角形．⑵请选择⑴中的一个三角形，说明它是等腰三角形的理由．A1题图D2题图2题图中学资料 3⑶如果△ABC 的周长是26，△ADE 的周长是18，请求出BC 的长．３. 上午8时，一条船从A 处出发，以每小时15海里的速度向正北航行，10时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC ＝42°，∠NBC =84°.求从B 处到灯塔C 的距离.【总结反思】1.本节课我学会了：还有些疑惑：2.做错的题目有：原因：。

河北专版八上第17章特殊三角形17、1等腰三角形2等腰三角形的判定定理冀教版

14．数学课上，李老师给出了下面的题目．在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED＝EC.试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探究结论如图①，当点 E 为 AB 的中点时，请你直接写出结论： AE______DB(填“＞”“＜”或“＝”)．
15．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝100°，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E.
(1)求证：BC＝BE＋AE.
证明：在BC上截取BD＝BE，连接 DE，如图所示．
∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－ 100°)÷2＝40°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝ 20°.∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝ 80°.又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，∴∠CED＝ 40°＝∠C.∴DE＝DC.过点E分别作EM⊥BA，EM交BA的延长线于点M，EN⊥BC于点N.∵BE平分∠ABC，EM⊥BA， EN⊥BC，∴EM＝EN.∵∠BAC＝100°，∴∠CAM＝180° －100°＝80°.
【点拨】如图，设∠ACB 平移后与 AB 交于 D，E 两点．连接 AI，BI.∵点 I 为∠CAB 和∠CBA 的平分线的交点， ∴∠CAI＝∠BAI.由平移得 AC∥DI，∴∠CAI＝∠AID， ∴∠BAI＝∠AID，∴AD＝DI，同理可得 BE＝EI， ∴△DIE 的周长＝DE＋DI＋EI＝DE＋AD＋BE＝AB＝4. 即图中阴影部分的周长为 4. 【答案】B
∵AB＝AC，∠A＝108°， ∴∠ABC＝∠C＝(180°－108°)÷2＝36°. ∵CP＝CE，∴∠CPE＝(180°－36°)÷2＝72°. ∴∠BPE＝180°－72°＝108°.∴∠BPE＝∠A. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠PBE.

【冀教版八年级数学上册教案】17.1等腰三角形(2)

17.1等腰三角形（2）教学目标【知识与能力】1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理.2.运用等腰三角形、等边三角形的判定定理进行证明和计算.【过程与方法】1.理解并掌握“等角对等边”,体会与“等边对等角”的互逆关系.2.能够利用等腰三角形和等边三角形的判定定理解决问题.【情感态度价值观】1.提高学生的动手能力,学会数学说理,发展初步的演绎推理能力.2.引导学生观察,发现等腰三角形、等边三角形的判定定理,让学生从思考中获得成功,在这个过程中体验学习的兴趣.教学重难点【教学重点】等腰三角形、等边三角形的判定定理.【教学难点】边、角关系互相转化及运用.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件1】某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(B点),然后在这棵树的正南方A点插一小旗作标志,沿南偏东60°方向走一段距离到C处时,测得∠ACB为30°,这时,地质专家只要测得AC的长度就可知河流宽度.学生们很想知道,这样估测河流宽度的根据是什么?带着这个问题,引导学生学习“等腰三角形、等边三角形的判定定理”.导入二:教师提出问题,引导学生思考.1.什么样的三角形叫做等腰三角形?2.等腰三角形的两底角有何关系?谁能告诉我怎样去判定一个三角形是不是等腰三角形?除用两边相等判定等腰三角形外,是否还有其他方法?由此引入课题.等腰三角形的两个底角是相等的,反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是否一定是等腰三角形呢?[设计意图]通过问题引入,激发学生的学习兴趣,同时使学生认识到等腰三角形的性质与等腰三角形的判定方法是否存在一种特殊关系,从而掀起学生的探究欲望,使他们能更好地投入到学习中.导入三:对于一个三角形,怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等.现在我们将学习另一种判定方法.二、新知构建：思路一【课件2】已知在ΔABC中,∠B=∠C.(1)请你作出∠BAC的平分线AD.(2)将ΔABC沿AD所在直线折叠,ΔABC被直线AD分成的两部分能够重合吗?(3)由上面的操作,你是否发现了边AB和边AC之间的数量关系?学生思考教师提出的问题,得出结论:ΔABC被直线AD分成的两部分能够重合,AB=AC.从上面的探究我们不难发现:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.如何证明?(1)在这一问题中,条件和结论是什么?(2)用数学符号怎样表示?教师引导提示,学生根据提示画出图形,并写出已知、求证.已知:在ΔABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.与学生一起回顾等腰三角形性质的证明过程,从作底边上的高、中线、顶角平分线三个方面分析.让学生逐一尝试,发现可以作AD⊥BC,或AD平分∠ABC,但不能作BC边上的中线.学生口头证明后,选一种方法写出证明过程.证明:如图所示,作ΔABC的角平分线AD.在ΔBAD和ΔCAD中,∠∠,∠∠,,∴ΔBAD≌ΔCAD(AAS),∴AB=AC.归纳等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形,其中,两个相等的角所对的边也相等.简称“等角对等边”.说明:三角形的“两边相等”和“两角相等”都是指在同一个三角形中才能得到“等边对等角”及“等角对等边”.“等边对等角”是性质,“等角对等边”是判定方法.[知识拓展]如果一个三角形一边上的高、中线和这条边所对的角的平分线中有任意两条线段互相重合,那么这个三角形就是等腰三角形,这种方法是补充的一种方法,可以帮助我们解题时找思路,而在实际的解题过程中往往要转化为判定方法来解决.线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质也可以判断相等,从而进一步说明三角形是等腰三角形.思路二环节一:等腰三角形的判定方法问题1:你会画等腰三角形吗?可以让学生以小组为单位进行讨论如何画一个等腰三角形.学生可能会说在画出的三角形中使两边相等,总结:等腰三角形的判定方法1:有两边相等的三角形是等腰三角形.问题2:有两边相等的三角形是等腰三角形,那么有没有其他的画等腰三角形的方法?若学生回答可以画三角形,使得有两个角相等,引导学生思考问题3;若学生不能想到两角相等,则可以引导学生回忆等腰三角形的性质.问题3:三角形中的两个角相等,这个三角形是等腰三角形吗?为什么?环节二:实验实验目的:画一个三角形,使得其中的两个角相等,剪下来观察是不是等腰三角形.【课件3】作法:(1)画一条线段BC;(2)以BC为始边,分别以点B和点C为顶点,在BC的同侧,画两个相等的角;(3)两角终边的交点为点A,那么,在ΔABC中,∠=∠;(4)找出BC的中点D,连接AD,那么AD是ΔABC的线;(5)沿AD对折,你有什么新发现吗?请把你的新发现记录下来:;(6)与同学们分享一下你的新发现;(7)得出结论:.结论:等腰三角形的判定方法2:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的角所对的边相等(简称“等角对等边”).如图所示,在ΔABC中,若∠B=∠C,则AB=AC.你能证明这个命题成立吗?教师引导学生加以证明,一名同学板演过程,教师讲评.2.等边三角形的判定定理三角形呢?探究1:如图所示,Δ中,如果∠=∠=∠,那么Δ是什么三角形?等边三角形.为什么?∵∠A=∠B=∠C,∴AB=BC=CA(等角对等边).归纳:等边三角形的判定方法1:三个角都相等的三角形是等边三角形.探究2:ΔABC中,如果AB=AC,那么ΔABC还需添加一个什么条件,才能使ΔABC为等边三角形?有一个角为60°.等边三角形的判定方法2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.说明:先独立猜想,然后以小组为单位对本组成员的所有猜想通过画图进行验证.[知识拓展]在判断一个三角形是不是等边三角形时,我们可从边或角的角度去判断,对于“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”在使用时应注意,其前提条件必须是“等腰三角形”,此时,无论60°是顶角还是底角,都可以说明三角形是等边三角形.1【课件4】求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.引导学生根据命题画出图形,利用角平分线的性质及“等角对等边”来证明.学生讨论后,自己完成证明过程.已知:∠CAE是ΔABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC(如图所示).求证:AB=AC.解析:要证明AB=AC,可以证明∠B=∠C.因为∠1=∠2,所以可以设法找出∠B,∠C与∠1,∠2的关系.证明:∵AD∥BC,∴∠1=∠B(),∠2=∠C(),∵∠1=∠2,∴∠B=∠C.∴AB=AC().2.【课件5】(教材例2)已知底边及底边上的高,用尺规作等腰三角形.如图(1)所示,已知线段a和h.求作等腰三角形ABC,使BC=a,高AD=h.解:作法:(1)作线段BC=a.(2)作线段BC的垂直平分线MD,垂足为点D.(3)在DM上截取DA=h.(4)连接AC,BC.则ΔABC就是所求作的等腰三角形.如图(2)所示.学生通过例2的学习,自主探究作图方法.三、课堂小结：1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的角所对的边相等.(简称“等角对等边”)说明:(1)等腰三角形的判定定理与性质定理互逆;(2)在判定定理的应用中,可以作底边上的高,也可以作顶角平分线,但不能作底边上的中线;(3)判定定理在同一个三角形中才能适用.2.等边三角形的判定定理(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.。

「精选」八年级数学上册17特殊三角形17.2直角三角形导学案无答案新版冀教版-精选下载

17.２直角三角形【学习目标】1．掌握直角三角形的性质定理和判定定理；2．掌握含30°角的直角三角形的性质．【学习重点】直角三角形的性质定理和判定定理．【学习难点】含30°角的直角三角形的性质．【预习自测】一．知识链接１.三角形内角和定理：三角形的内角和等于；２.有一个内角是的三角形叫做直角三角形；３.三角形中线的定义：连接三角形的与的，叫做这个三角形的中线．【合作探究】１.直角三角形的性质定理：２.含30°角的直角三角形的性质：３.直角三角形的判定：如图，在Rt△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，延长BC 到D ，使BD=BA ，连结AD .（1）判断△ABD 的形状．（2）填空:BC ＝CD ＝21________＝21________ （3）对于Rt△ABC ，当∠A=30°，∠C =90°，∠A 所对的直角边与斜边有什么关系？试着表达．【解难答疑】１．如图，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC ，图中除BC 外，与BC 相等的线段分别是________．２．如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B=30°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，那么BD ：DC =________． 3.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD 是斜边上的中线，CE 是斜边上的高．⑴请说明△BCD 是正三角形的理由．⑵如果DE =1，请求出AB 的长．【拓展延伸】1.如图， △ ABC 中，∠B = 90 º ，∠C = 30 º , AB = 1 ，将 △ ABC 绕顶点 A 旋转 1800 ，点 C 落在 C ′处，则 CC ′的长为（） A . 42 B.4 C . 23 D . 2 5１题图D ２题图3题图 BC D2.如图，在△ABC中，∠A=90°，DE垂直平分BC，若AC=2，∠B=15°，求线段BD的长.【总结反思】1.本节课我学会了：还有些疑惑：2.做错的题目有：原因：。

【教育资料】冀教版八年级上册第十七章《特殊三角形》导学案(无答案)学习精品

一、预习案1.全等三角形的5种判定方法。

2.有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫，两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫 (请在图中标出来）3.如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称二、探究案探究一：等腰三角形的性质。

问题一：△ABC是等腰三角形，其中，AB=AC.∠B和∠C有怎样的关系？问题二：底边上的高、中线及∠A的平分线有怎样的关系？问题解决提示：等腰三角形是轴对称图形，如果把等腰三角形沿着某条直线对折，哪些边和角是相互重合的？这说明什么？（等腰三角形的两个底角相互重合，所以两底角相等.三线互相重合）归纳等腰三角形的性质定理3.探究二：等边三角形的性质。

探究活动：中，如果AB=BC=AC。

那么∠A=∠B=∠C.提示：等边三角形是等腰三角形的一种特殊形式，它具有等腰三角形所有的性质，因此可以从等腰三角形的性质定理入手。

归纳：三、训练案(1）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°则∠C＝；若∠B＝72°，则∠A＝ .（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝，∠BAM＝ .（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角。

∠BAC＝180°－∠B，∠B＝（）∠DAC＝∠C（4）如图，在△ABC中，AB＝AC，外角∠DCA＝100°,则∠B＝度.（5）如图①∵AB=BC∴ = (等边对等角)②∵AB=BC，AD是角平分线∴⊥， = （三线合一）③∵AB=BC ，AD是中线∴⊥，∠ =∠（三线合一）④∵AB=BC ，AD是高∴ = ，∠ =∠（三线合一）一、预习案1、在△ABC中，AC=BC, ∠B=800,则∠C＝________2、等腰三角形的一个内角是1000，则其余两个角分别是___________3、等腰三角形的一个内角是700，则其余两个角分别是 _______________或_____________.4、等腰三角形的两边长分别是8cm和6cm，则其周长是____________ cm5、等腰三角形的两边长分别是16cm和8cm，则其周长是___________cm二、探究案探究1.“等角对等边”这个识别等腰三角形的重要方法，可以如何得到？你用了哪些合情推理的方法？提示:用折叠观察的方法.探究2.如图“等角对等边”这一命题的题设：结论：已知：求证：证明：探究3.你有和上面不同的辅助线作法吗？请试一试.“作BC边上的中线AD”可行吗？三、训练案1.在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B=。

2024-2025学年初中数学八年级上册(冀教版)教案第17章特殊三角形

第十七章特殊三角形17.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教学目标教学反思1.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；2.探索并证明等边三角形的性质定理；3.能运用等腰、等边三角形的性质解决问题.教学重难点重点：探索并证明等腰、等边三角形的性质定理；难点：能运用等腰、等边三角形的性质解决问题.教学过程旧知回顾1.回忆在前面学过哪些特殊的三角形？等腰三角形、等边三角形等.2.回忆你所知道的等腰三角形、等边三角形有哪些性质？等腰三角形两腰相等，等边三角形三边相等.导入新课欣赏图片引入“等腰三角形”：——生活中的“等腰三角形”在这些图片中，你发现了哪个特殊的三角形？教师引入课题：等腰三角形探究新知一、认识等腰三角形1.概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.2.进一步认识等腰三角形各部分的名称.在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.二、等腰三角形的性质定理探究活动：1.如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，剪下阴影部分，再把它展开，得到△ABC，则AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形．问题1：等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，对称轴是哪条直线？等腰三角形是轴对称图形.底边的垂直平分线是它的对称轴.2.把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：重合的线段重合的角AC与AB∠CAD与∠BADCD与BD∠C与∠BAD与AD∠ADC与∠ADB问题2：等腰三角形除了两腰相等以外，你还能发现它的其他性质吗？发现1：等腰三角形的两个底角相等.如何证明两个底角相等呢？学生分析：可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.思考：如何构造两个全等的三角形？教师指导，学生讨论，展示成果：如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.证明：方法一：作底边上的中线作底边的中线AD，则BD＝CD.在△BAD和△CAD中，AB＝AC ( 已知 )，BD＝CD ( 已作 )，AD＝AD (公共边)，∴△BAD≌△CAD (SSS).∴∠B＝∠C (全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线作顶角的平分线AD，则有∠1＝∠2.在△BAD和△CAD中，,1AB ACAD AD=⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠2，＝（公共边），∴△BAD≌△CAD(SAS)．∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．你能用一句话来叙述这个结论吗？等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．几何语言：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.发现2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合.思考：由△BAD≌△CAD，除了可以得到∠B＝∠C之外，还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现.教学反思解：∵△BAD ≌△CAD ，由全等三角形的性质易得BD ＝CD ,∠ADB ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠CAD . 又∵ ∠ADB +∠ADC ＝180°， ∴ ∠ADB ＝∠ADC ＝90° ，即AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边BC 上的高线 .归纳：等腰三角形的性质定理性质1：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合(三线合一）. 练习：判断正误：1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角、直角或钝角.3.钝角三角形不可能是等腰三角形.4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. 学生独立完成，教师评价：1.×2.×3. ×4. √5. ×6.√例已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线.求证：BD ＝CE .证明：∵ BD ，CE 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线， ∴ ∠ABD ＝21∠ABC ，∠ACE ＝21∠ACB . ∵ AB ＝AC ，∴ ∠ABC ＝∠ACB (等边对等角)，∴ ∠ABD ＝∠ACE (等量代换).又∵ ∠A ＝∠A (公共角)， ∴ △ABD ≌△ACE (ASA ).∴ BD ＝CE (全等三角形的对应边相等). 三、等边三角形的定义及性质1.定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形.2.等边三角形的性质问题1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？结论1：等腰三角形的两个底角相等等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC . 求证：∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°. 证明：∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C (等边对等角) . 同理 ∠A ＝∠C . ∴ ∠A ＝∠B ＝∠C .∵ ∠A +∠B +∠C ＝180°, ∴ ∠A ＝∠B ＝∠C ＝60 °.问题2：等腰三角形“三线合一”的性质同样存在于等边三角形中吗?等腰三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一.（一条对称轴）等边三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一.（三条对称轴）归纳：等边三角形的性质：等边三角形的三个角都_相等_，并且每一个角都等于_60°.等边三角形顶角的__平分线__、底边上的_中线___及底边上的_高__重合(__三线合一__）.练习：1.如图，等边三角形ABC 与互相平行的直线a ，b 相交，若∠1＝25°，教学反思则∠2的大小为( )教学反思A.25°B.35°C.45°D.55°2.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．学生自主完成，教师进行评价.答案：1.B2.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.课堂练习1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°2.如图，四边形ABCD是正方形，△PCD是等边三角形，连接BP，则∠BPC等于( )A.15°B.20°C.25°D.30°3.如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1+∠2的度数为( )A.180°B.220°C.240°D.300°4.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为________.5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．参考答案1.A2.A3.C4.24°5.证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°.∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝180°-90°-30°＝60°，∴∠F AE＝∠EBC．∵E为AB的中点，∴AE＝BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（ASA）．课堂小结1.等腰三角形的性质定理：性质1：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合(三线合一）. 2.等边三角形的性质定理等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.布置作业完成教材143页习题A 组、B 组. 板书设计17.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教学反思第十七章特殊三角形17.1 等腰三角形第2课时等腰三角形的判定教学目标教学反思1.理解并掌握等腰、等边三角形的判定方法；2.运用等腰、等边三角形的判定方法进行证明和计算；3.会利用尺规作图完成：已知底边及底边上的高线作等腰三角形.教学重难点重点：理解并掌握等腰、等边三角形的判定方法；难点：运用等腰、等边三角形的判定方法进行证明和计算.教学过程旧知回顾1.回忆等腰三角形的性质定理性质1：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合(三线合一）.2.回忆等边三角形的性质定理等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.导入新课生活事件引入“等腰三角形的判定”：——海上救援位于海上B，C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠ABC＝∠ACB.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪等因素）？建立数学模型：如图，在△ABC中, ∠B＝∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?你能验证你的结论吗？教师引入课题：等腰三角形的判定探究新知一、等腰三角形的判定定理已知：如图，在△ABC中, ∠B＝∠C.求证：AB＝AC.教师引导提示,学生分析：构造两个全等的三角形，利用全等三角形的对应边相等来证得AB＝AC.证明：如图，作∠BAC的平分线，交BC于点D.在△ABD 和△ACD 中， 12B C AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，∠＝∠，＝， ∴ △ABD ≌ △ACD ，∴ AB ＝AC . 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中，两个相等的角所对的边相等.（简写成“等角对等边”）几何语言：在△ABC 中， ∵ ∠B ＝∠C ，∴ AC ＝AB ，即△ABC 为等腰三角形. 练习：1.在△ABC 中，∠A 与∠B 的度数如下，则能判定△ABC 为等腰三角形的是( ) A .∠A ＝60°，∠B ＝50° B .∠A ＝70°，∠B ＝60° C .∠A ＝40°，∠B ＝70° D .∠A ＝40°，∠B ＝80° 2.辨一辨：如图,下列推理正确吗?∵ ∠1＝∠2，∴ BD ＝DC .∵. 学生自主完成，教师进行评价. 答案：1.C 2.错，因为都不是在同一个三角形中. 二、等边三角形的判定定理大家讨论： 1.三个内角都相等的三角形是等边三角形吗？说出你的理由. 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？说出你的理由. 学生自主讨论，得出结论： 1.是，连续用两次等角对等边，等量代换可得三角形的三边相等. 2.是，（1）若60°是顶角，根据内角和定理，可求得另外两个底角都等于60°；（2）若60°是底角，根据内角和定理可求得顶角也为60°，所以有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 归纳：等边三角形的判定方法： 1.三条边都相等的三角形是等边三角形； 2.三个角都相等的三角形是等边三角形； 3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 例1 如图,在等边三角形ABC 中，DE ∥BC ,分别交AB ，AC 于点D ，E . 求证：△ADE 是等边三角形. 证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A ＝∠B ＝∠C . ∵ DE ∥BC , ∴ ∠ADE ＝∠B , ∠AED ＝∠C . 教学反思∴∠A＝∠ADE＝∠AED.教学反思∴△ADE是等边三角形.练习：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.(1)(2) (3) (4) (5) (6)答案：（2）（3）（5）（6）是，（1）不是，（4）不一定是.三、尺规作等腰三角形例2已知底边及底边上的高,用尺规作等腰三角形.如图(1)所示,已知线段a和h.求作等腰三角形ABC,使BC＝a,高AD＝h.（1）（2）教师指导，学生分析：先作出线段BC＝a，再作出BC的垂直平分线.在这条垂直平分线上截取点A，使点A到BC的距离＝h，连接相关点即得.解：作法：(1)作线段BC＝a.(2)作线段BC的垂直平分线MD,垂足为点D.(3)在DM上截取DA＝h.(4)连接AB,AC.则△ABC就是所求作的等腰三角形.如图(2)所示.学生通过例2的学习,自主探究作图方法.课堂练习1.如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD＝8cm，则CD等于( )A.8cmB.4cmC.15cmD.20cm2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有( )A．5个B．4个C．3个D．2个3.在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )教学反思①②③ ④A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④4.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是_______cm.5.如图，在△ABC中，AB＝AC,D是AB上一点，过D作DE⊥BC于点E,并与CA的延长线相交于点F,试判断△ADF的形状,并说明理由.参考答案1.A2.A3.D4.185.解：△ADF是等腰三角形.理由：在△ABC中.∵AB＝AC,∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC,∴∠DEB＝∠DEC＝90°,∴∠BDE+∠B＝90°,∠F+∠C＝90°,∴∠BDE＝∠F.∵∠BDE＝∠ADF,∴∠ADF＝∠F,∴AF＝AD,∴△ADF是等腰三角形.课堂小结1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的角所对的边相等.(简称“等角对等边”)说明：(1)等腰三角形的判定定理与性质定理互逆；(2)在判定定理的应用中,可以作底边上的高,也可以作顶角平分线,但不能作底边上的中线；(3)判定定理在同一个三角形中才能适用.2.等边三角形的判定定理(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.布置作业完成教材146页习题A组、B组.板书设计17.1 等腰三角形第2课时等腰三角形的判定教学反思第十七章特殊三角形17.2 直角三角形教学目标教学反思1.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余；2.掌握两个角互余的三角形是直角三角形；3.探索并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.教学重难点重点：掌握直角三角形的性质定理和判定定理.难点：初步养成综合运用知识解决问题的能力，进一步提高推理能力.教学过程旧知回顾1.回忆三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°.2.回忆直角三角形的概念及其表示：（1）直角三角形定义：有一个角等于90°的三角形叫直角三角形；（2）符号：Rt△，直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC.导入新课实际生活引入“直角三角形”：——三角板.这是教师经常使用的两个三角板，同学们手中也有一副这样的三角板，观察一下看看它们三个内角之间有什么规律.教师引入课题：直角三角形.探究新知一、直角三角形的性质定理1和判定定理互助探究一：直角三角形的两个锐角关系.学生自主完成证明：直角三角形的两个锐角互余.已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A+∠B＝90°.证明：∵在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，且∠C＝90°，∴∠A+∠B＝180°-∠C＝180°-90°＝90°.小结：直角三角形的两个锐角互余 .符号语言：在△ABC中，∠C＝90°,∴∠A+∠B＝（90°）.教学反思直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.探讨：1.是否存在这样的三角形，它既是等腰三角形，又是直角三角形？等腰直角三角形.2.等腰直角三角形的两个锐角各是多少度呢？45°.例如图，∠C＝∠D＝90°,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？教师指导，学生分析：通过观察∠CAE与∠CEA互余，∠DBE与∠DEB互余.解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90 °-∠AEC.在Rt△BDE中, ∠DBE＝90 °-∠BED.∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.互助探究二：直角三角形的判定定理如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.已知：在△ABC中，∠A+∠B＝90°.求证：△ABC是直角三角形.证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°,∵∠A+∠B＝90°,∴∠C＝180°-（∠A+∠B）＝180°-90°＝90°,∴△ABC是直角三角形.符号语言：在△ABC中，∠A+∠B＝（90°）,∴△ABC是（直角）三角形.直角三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.练习：1.如图1，图中直角三角形共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个图1 图22.如图2，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若∠B＝30°，∠D＝60°，则△AOB是三角形.答案：1.C 2.直角二、直角三角形性质定理2互助探究三：直角三角形斜边上的中线与斜边的关系.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(1)(2) (3)在一张半透明的纸上画出Rt△ABC，∠C＝90°，如图（1）；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，沿BE画出虚线CE，如图（2）；将纸展开，如图（3）.完成下列问题：(1)∠ECF 与∠B 有怎样的关系？线段EC 与线段EB 有怎样的关系？ ∠ECF ＝∠B ，EC ＝EB .(2)由发现的上述关系以及∠A +∠B ＝∠ACB ，∠ACE +∠ECF ＝∠ACB ，你能判断∠ACE 与∠A 的大小关系吗？线段AE 与线段CE 呢? ∠ACE ＝∠A ，AE ＝CE .(3)由发现的上述关系，你能猜想线段CE 与线段AB 的关系吗? 猜想：CE ＝AE ＝EB ，即CE 是AB 的中线，且CE ＝21AB . 即：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 下面就来证明上面的“猜想”已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为斜边AB 上的中线. 求证：CD ＝12AB . 证明：如图，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ；作DF ∥AC ，交BC 于点F . 在△AED 和△DFB 中，A FDBAD DB ADE B ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠（两直线平行，同位角相等）,∵＝（中线的概念），∠＝∠（两直线平行，同位角相等）， ∴ △AED ≌△DFB (ASA ).∴ AE ＝DF ，ED ＝FB .(全等三角形的对应边相等）同理可证，△CDE ≌△DCF . 从而，ED ＝FC ，EC ＝FD .∴ AE ＝EC ，CF ＝FB .(等量代换）又∵ DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∴ DE 为AC 的垂直平分线，DF 为BC 的垂直平分线. ∴AD ＝CD ＝BD (线段垂直平分线的性质定理). ∴ CD ＝12AB . 直角三角形性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.练习：1.如图，公路AC 、BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AM 的长为1.2 km ，则M 、C 两点间的距离为( ) A .0.5 km B .0.6 km C .0.9 km D .1.2 km2.在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．学生自主完成，教师评价答案：1. D 2. 4互助探究四：在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°.求证：BC ＝12AB . 教学反思证明：作斜边上的中线CD ，则CD ＝AD ＝BD ＝12AB. ∵ ∠A ＝30°,∴ ∠B ＝60°.∴ △CDB 是等边三角形，∴ BC ＝BD ＝ 12AB .还可以这样证明：延长BC 到D ,使CD ＝BC , 连接AD . 在△ABC 和△ADC 中,{AC ＝AC ，∠ACB ＝∠ ACD ＝90°，BC ＝DC ，∴ △ABC ≌△ADC (SAS ), ∴ AB ＝AD . ∵ ∠BAC ＝30°,∴ ∠B ＝90°-30°＝60°, ∴ △ABD 是等边三角形, ∴ AB ＝BD ,∴ BC ＝21AB .含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 课堂练习1.具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是 ( )A.∠A +∠B ＝∠CB.∠A -∠B ＝∠CC.∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3D.∠A ＝∠B ＝3∠C2.如图1，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若∠A ＝26°，则∠BDC 的度数是( )A .26°B .38°C .42°D .52°图1 图23.如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，则AB 等于( )A .9 cmB .8 cmC .7 cmD .6 cm4.如图3，E 是△ABC 中AC 边上的一点，过E 作ED ⊥AB ,垂足为D .若∠1＝∠2，则△ABC 是______三角形.图3 图45.如图4，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 上一点，且∠ACD ＝∠B ．求证：△ACD 是直角三角形．教学反思参考答案1.D2.D3.B4.直角5.证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠A+∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形.课堂小结1.直角三角形的性质定理1和判定定理：性质定理1：直角三角形的两个锐角互余；判定定理：如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.2.直角三角形的性质定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.布置作业完成教材149页习题A组、B组.板书设计17.2直角三角形教学反思第十七章特殊三角形17.3 勾股定理第1课时勾股定理教学目标教学反思1.理解如何用面积法证明勾股定理，并掌握勾股定理的内容.2.会初步应用勾股定理进行简单的计算.教学重难点重点：掌握勾股定理的内容.难点：会用勾股定理进行简单的计算.教学过程旧知回顾回顾直角三角形的性质定理和判定定理.师生活动：教师找一个学生回答，如果回答不全，再请别的同学进行补充.性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.判定定理：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.导入新课数学故事引入“勾股定理”：——毕达哥拉斯相传两千多年前,古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐,只有毕达哥拉斯却看着朋友家地面所铺的瓷砖发起呆来.原来,朋友家的地面是用一块块直角三角形形状的瓷砖铺成的,黑白相间,非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪,就想过去问他,谁知,毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子,站起来,大笑着跑着回家去了.原来,他发现了瓷砖上的三个正方形存在着某种数学关系.同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？（教师引导学生从面积角度观察图形）本节课我们就来学习勾股定理.板书课题探究新知一、猜想直角三角形的三边关系师生互动：问题1：图中每个小方格都是边长为1的小正方形，完成下列内容：(1) BC＝,AC＝, AB＝.(2) 以AC 为边的正方形的面积是；以BC 为边的正方形的面积是；以AB 为边的正方形的面积是 .(3)三个正方形的面积之间的关系是 + ＝ . (4)能不能用直角三角形ABC 的三边表示三个正方形面积的等量关系？问题2：如图所示的是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图,∠ACB ＝.完成下列内容，并试着探究其中规律.（1）以AC 为边的正方形的面积是平方厘米（2）以BC 为边的正方形的面积是平方厘米（3）以AB 为边的正方形的面积是平方厘米. 上面三个正方形的面积之间有什么关系？问题3：（1）在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A ，B ，C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：（2）填表：【对于C 的面积的求法，教师做好指导工作（补形法、分割法）】思考正方形A ，B ，C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？通过探究师生共同猜想：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 二、实验操作验证结论 1.传统拼图验证：给学生进行分组，让学生课前自己准备材料. 步骤如下：（1）随意确定两条线段a 、b ；（2）剪4个以a 、b 为直角边的直角三角形；（3）用这4个直角三角形拼成一个正方形；（4）思考：你拼的正方形中是否含有以斜边c 为边的正方形? （5）你能否就你拼出的图说明222c b a =+？（小组合作，进行拼图，在黑板上将拼图粘贴进行演示说明）教学反思2.展示成果：图2图1证明：∵S大正方形＝2c，S小正方形＝2)ab-（,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，∴222214()2c ab b a a b=⨯+-=+.图2证明：∵S大正方形＝2)ba+（，S小正方形＝2c，∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，222221)4,2.a b ab ca b c+=⨯++=∴（∴三、定理归纳如图，我国古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”.因此，直角三角形三边之间的关系称为勾股定理.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222cba=+.几何语言：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴222cba=+（勾股定理）.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系：222cba=+，222bca-=，222acb-=.四、例题解析例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）若a＝1，b＝2,求c.（2）若a＝15,c＝17,求b.学生分析：使用勾股定理前找准哪条边是直角边，哪条边是斜边，然后套上对应的公式进行计算.解：(1)根据勾股定理,得22222215,0,c a bc c=+=+=>=∵∴(2)根据勾股定理，得222221715(1715)(171564,08.b c ab b=-=-=-+=>=）∵，∴教学反思【变式题】例2 在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，求BC 的长.教师指导，学生分析：此题没有指明哪条边是斜边，所以要分情况讨论，即讨论AB 是直角边或斜边. 解：当AB 为斜边时，如图, 2221697,7.BC AB AC BC =-=-==∴当BC 为斜边时，如图, 22216925,5.BC AB AC BC =+=+==∴教师点睛：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.课堂练习1.直角三角形ABC 的两直角边BC ＝12,AC ＝16,则△ABC 的斜边AB 的长是( ) A .20 B .10 C .9.6 D .82.在△ABC 中，边AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长是( ) A ．42 B ．32 C ．42或32 D ．不能确定3.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 _________.4.在△ABC 中，∠C ＝90°.（1）若a ＝15，b ＝8，则c ＝_________ . （2）若c ＝13，b ＝12，则a ＝ _________ .5.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.6.已知∠ACB ＝90°,CD ⊥AB ,AC ＝3,BC ＝4，求CD 的长. 参考答案1.A2.C3.64 cm ²4.17 155.74或246.解：因为∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，所以22225AB AC BC =+=，即AB ＝5.根据三角形面积公式，11,22AC BC AB CD ⨯=⨯所以CD ＝125. 课堂小结1.勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+.教学反思2.利用勾股定理计算边长.注意：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.布置作业完成教材152页习题A组、B组.板书设计第1课时勾股定理教学反思第十七章特殊三角形17.3 勾股定理第2课时勾股定理的实际应用教学反思本题已知直角三角形的一直角边和斜边,求另一直角边,可以利用勾股定理解决.教学反思(3)请同学们在练习本上完成,指一名学生板演,教师指导步骤.(4)对学生的解题过程进行讲评.解：在△ABC中,∵∠ACB＝90°,∴AC2+BC2＝AB2(勾股定理).∵AB＝200m,BC＝160m,∴AC＝√AB2-BC2＝√2002-1602＝120(m).答：点A和点C间的距离是120m.点睛：基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范．练一练：如图是某厂房屋顶的三角架的示意图.已知AB＝AC＝17m,AD⊥BC,垂足为D,AD＝8m,求BC的长.学生独立完成,指一名学生板演.解：在Rt△ABD中,∵AB＝17m,AD＝8m,∴BD2＝AB2-AD2＝172-82＝225,∴BD＝15m,∵AB＝AC,AD⊥BC,∴BC＝2BD＝30m.例2如图所示,在长为50mm,宽为40mm的长方形零件上有两个圆孔,与孔中心A,B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离.教师引导学生分析题意,提问：(1)在直角三角形中怎样求斜边的长度?(2)AC,BC的长度怎样求?(3)在练习本上写出求解过程.学生独立思考交流,得出：要求斜边AB的长度,就要求出两直角边AC和BC的长度,这样就可以根据勾股定理的变形AB＝√AC2+BC2求出AB的长度.利用线段的平移可求出AC＝50-15-26＝9(mm),BC＝40-18-10＝12(mm).解：∵△ABC是直角三角形,∴AB2＝AC2+BC2.∵AC＝50-15-26＝9(mm),BC＝40-18-10＝12(mm),∴AB＝√AC2+BC2＝√92+122＝15(mm).答：孔中心A和B间的距离是15mm.例3在水平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面3尺，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，问湖水多深？解：如图，设红莲在无风时高出水面部分CD长为3尺，点B为红莲被吹斜后花朵的位置，BC部分长6尺.设水深AC为x尺，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2（勾股定理）.又∵AB＝AD＝（x+3）尺,∴（x+3）2＝x2+62，解得x＝4.5.答：湖水深4.5尺.通过上面几个例题的分析，师生共同归纳：勾股定理的实际应用的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.课堂练习1.如图1，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距( )A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里图1 图2 图32.如图2，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米3.如图3是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm4.如图所示的是在机器人创意大赛中，一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路教学反思转化数学问题实际问题勾股定理直角三角形。

冀教版八年级上册第十七章《特殊三角形》导学案(无答案)

课题17.1等腰三角形第1课时备课教师学习目标1.理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形和等边三角形的性质.2.在探索等腰三角形的性质的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．重点等腰三角形的定义及性质难点等腰三角形的三线合一一、预习案1.全等三角形的5种判定方法。

2.有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫，两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫(请在图中标出来）3.如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称二、探究案探究一：等腰三角形的性质。

探究活动：中，如果AB=BC=AC。

那么∠A=∠B=∠C.提示：等边三角形是等腰三角形的一种特殊形式，它具有等腰三角形所有的性质，因此可以从等腰三角形的性质定理入手。

归纳：三、训练案(1）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°则∠C＝；若∠B＝72°，则∠A＝.（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝，∠BAM＝.（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角。

∠BAC＝180°－∠B，∠B＝（）∠DAC＝∠C（4）如图，在△ABC中，AB＝AC，外角∠DCA＝100°，则∠B＝度.（5）如图①∵AB=BC∴= (等边对等角)②∵AB=BC，AD是角平分线∴⊥，= （三线合一）③∵AB=BC ，AD是中线∴⊥，∠=∠（三线合一）④∵AB=BC ，AD是高∴= ，∠=∠（三线合一）三、训练案1.在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B= 。

河北省2024八年级数学上册第十七章特殊三角形17.1等腰三角形1等腰三角形及其性质堂堂清新版冀教版

第十七章特殊三角形
17.1 等腰三角形
第1课时等腰三角形及其性质
1．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝BC，BD平分∠ABC.若AC＝6，则AD的长为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
(第1题) (第2题) (第3题)
2．（2023金华期中）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，且CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D 的度数为( )
A．75° B．85° C．65° D．30°
3．（2024苏州月考）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝________．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，E是AD上任意一点，请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明．
第十七章特殊三角形
17.1 等腰三角形
第1课时等腰三角形及其性质
1.B
2.A
3.15°
4．解：△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD，任选两对即可．
以△ABE≌△ACE为例，证明如下：
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAE ＝∠CAE .
在△ABE 和△ACE 中，
∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ，
∴△ABE ≌△ACE (SAS)．(答案不唯一)。

新冀教版八年级上册初中数学 17.1 等腰三角形教案

17.1等腰三角形第1课时等腰三角形、等边三角形的性质定理┃教学过程设计┃第2课时等腰三角形、等边三角形的判定定理┃教学过程设计┃学生观察、思考、讨论、交流.3.归纳如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.其中，两个相等的角所对的边相等.简称“等角对等边”.4.小结现在判定一个三角形是等腰三角形的办法有几种？5.运用例在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形，为什么？教师巡回指导.解：因为∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－70°＝70°，所以∠C＝∠B.因此△ABC是等腰三角形.学生分析、讨论交流.6.思考(1)三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？你能说明理由吗？(2)有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形吗？教师归纳：等边三角形的判定定理(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.出示例2：已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形.引导分析作图的方法，让学生思考后完成.学生思考、讨论交流.7.给出等腰直角三角形定义顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形.问题：请计算等腰直角三角形每个内角的大小.8.引申：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D，则图中共有多少个等腰直角三角形？三、运用新知，解决问题学以致用，巩固所学知识.1.剪两个同样大小的等腰直角三角形，你能将这两个等腰直角三角形拼成一个什么三角形？2.如图，已知在△ABC中，AC＝BC，∠ACD＝120°，那么，△ABC是什么三角形？为什么？学生思考、解答后交流、讨论.四、课堂小结，提炼观点1.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理.2.会运用“等角对等边”进行简单的数学说理.3.本节课用到类比的数学思想.4.“等角对等边”与“等边对等角”是互逆的. 学生回顾，理解.梳理知识、形成完整的知识体系.五、布置作业，巩固提升教材“练习”1、2和“习题”A组.【板书设计】等腰三角形、等边三角形的判定定理一、等腰三角形的判定定理二、等边三角形的判定定理。

精品河北省八年级数学上册17特殊三角形17-1等腰三角形1导学案无答案新版冀教版

17.1 等腰三角形(1)【学习目标】1．理解并掌握等腰三角形的概念及性质；2．掌握等边三角形的性质．【学习重点】1.等腰三角形的概念及性质；2.等边三角形的性质．【学习难点】等腰三角形的性质．【预习自测】知识链接：三角形的三边，有的各不相等，有的有两边相等，有的三条边都相等．三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形也叫正三角形．(如图)【合作探究】阅读课本，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）1.△ABC是等腰三角形吗？如果是，请指出它的两条腰．2.△ABC是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴．3.∠B和∠C有什么关系?4.BC边上的高、中线以及顶角的角平分线与线段AD有什么关系?【解难答疑】1．等腰直角三角形底角的度数是________．2．等腰三角形顶角是底角的14，这个三角形的顶角的度数是________． 3．等边三角形有________条对称轴．4．等腰三角形的两边a ，b 满足()2250a b -+-=，那么这个三角形的周长是________．5．下面关于等腰三角形全等的判断中，正确的是（）A ．顶角相等的两个等腰三角形全等；B ．底角相等的两个等腰三角形全等；C ．腰相等的两个等腰三角形全等；D ．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．6．作出一个等边三角形的所有的角平分线、中线和高，共计有（）A ．9条线段B ．6条线段C ．3条线段D ．以上都不对【反馈拓展】1．已知1，3，x 分别为等腰△ABC 的三边长，化简|5—3x |+|13—4x |=_________．2．等腰三角形的一个外角是40度，则这个等腰三角形的底角等于________度．3. 如图，CE 为△ABC 中∠C 的平分线,延长BC 到D使CD=CA , F 为AD 中点,连结CF,求∠ECF 的度数．4．如图，CE 交AB 于E ，且CE=CB ，∠A=∠B ，说明：CE∥DA ．A BC E FD【总结反思】1.本节课我学会了：还有些疑惑：2.做错的题目有：原因：。

新冀教版初中数学八年级上册17.1 第2课时等腰(边)三角形的判定定理导学案

171 等腰三角形第2课时等腰（边）三角形的判定定理学习目标：1掌握判定等腰（边）三角形的判定定理2能运用等腰（边）三角形的判定定理解决有关问题学习重点：等腰（边）三角形的判定定理学习难点：运用等腰（边）三角形的判定定理解决有关问题一、知识链接1．等腰三角形的性质：（1）从边看：等腰三角形的相等．（2）从角看：等腰三角形的相等．简写成“ ”．（3）从重要线段看：等腰三角形底边上的、与顶角的互相重合．简称“ ”．2．如图，在△AB 中，AB=A ，（1）若AD 平分∠BA ，那么，．（2）若BD ＝D ，那么，．（3）若AD ⊥B 那么，．二、新知预习1．我们知道，等腰三角形的两个底角相等．反过，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？2．请拿出一张半透明纸，按以下方法进行操作：（1）在半透明纸上画一条线段B；（2）以B为始边，分别以点B和点为顶点，在B的同侧用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A；（3）用刻度尺找出B的中点D，连接AD，然后将△AB沿AD对折．问题1．AB与A是否重合？问题2．本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述？三、自学自测1．如图，其中△AB是等腰三角形的是（）2．三角形的一个外角为130°，不相邻的一个内角为65 °，这个三角形是（）A钝角三角形 B直角三角形等腰三角形 D等边三角形3．如图，A和BD相交于点O，且AB∥D，OA=OB，求证：O=ODD CA B四、我的疑惑_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：等腰三角形的判定问题：在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？（补齐证明过程）已知：在△AB 中，∠B=∠，求证：AB=A ．证明：过A 作∠BA 的平分线AD ，交B 于点D【归纳总结】CBA等腰三角形的判定定理如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形．其中，两个相等的角所对的边相等．（简称“ ”）．例1．如图，在△AB 中，∠A=36°，∠=72°，∠AB 的平分线交A 于点D ，则图中共有几个等腰三角形？请一一证明【归纳总结】要证一个三角形是等腰三角形，就要证出有两条边相等，而“等角对等边”是证明两边相等的一个重要且常用的方法．【针对训练】已知：AE 是△AB 的外角平分线，且AE ∥B ．求证：△AB 是等腰三角形．探究点2：等边三角形的判定问题1：如图，在△AB 中，∠A=∠B=∠，则AB 、AC 、BC 之间的关系怎样？理由是：问题2：如图，在△AB 中，AB=A ，∠A=60°，△AB 是什么三角形？理由是：【归纳总结】等边三角形的判定定理（1）都相等的三角形是等边三角形．符号语言：∵∠ =∠ =∠∴△AB是__________（2）有一个角的等腰三角形是等边三角形．符号语言：∵ = ，∠ = °，∴△AB是__________例2．已知：在△AB中，∠A=60°，如要判定△AB是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB=A”，那么△AB是等边三角形；②如果添加条件“∠B=∠”，那么△AB是等边三角形；③如果添加条件“边AB、B上的高相等”，那么△AB是等边三角形．上述说法中，正确的说法有（）A．3个 B．2个．1个 D．0个【归纳总结】等边三角形有下面三个判定方法：（1）三边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形【针对训练】下列四个说法中，正确的有（）个．①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有两个角等于60°的三角形是等边三角形．③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．A ．0个B ．1个．2个 D ．3个探究点3：已知底边及底边上的高作等腰三角形例3．如图，已知线段a ，h 求作△AB，使AB=A ，且B=a ，高AD=h ．【归纳总结】等腰三角形的高在底边的垂直平分线上，也可利用等腰三角形的轴对称性作图．二、课堂小结1．如图，在△AB中，AB=A，∠A=36°，BD、E分别是∠AB、∠BD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个 B．4个．3个 D．2个2在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的处，他先沿正东方向走了200到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地（如图），那么，由此可知，B、两地相距．3如图，△AB中，AE为中线，AD为高，∠BAD=∠EAD．若B=10c，则D= ．4如图，D平分∠AB，AE∥D，AE交B的延长线于点E，且∠AE=60°。

河北省2024八年级数学上册第十七章特殊三角形17.1等腰三角形2等腰三角形的判定堂堂清新版冀教版

第十七章特殊三角形
17.1 等腰三角形
第1课时等腰三角形及其性质
1．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( ) A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝70°，∠B＝50°
C．∠A＝40°，∠B＝70° D．∠A＝60°，∠B＝80°
2．（2023海口期末）如图，线段AC，BD相交于点O且互相垂直平分，则图中共有等腰三角形( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
(第2题) (第3题) (第4题)
3．如图，△ABC是等边三角形，且AD＝BE＝CF，则△DEF是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
4．（2023北京朝阳区期中）如图，在一个池塘旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置)，测得的相关数据：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝58米，则AC ＝________米．
5．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O.试判断△OEF 的形状，并说明理由．
第十七章特殊三角形
17.1 等腰三角形
第1课时等腰三角形及其性质
1.C
2.C
3．A 4.58
5．解：△OEF 为等腰三角形．
理由：∵BE ＝CF ，
∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE . 在△ABF 和△DCE 中，
∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，
∴△ABF ≌△DCE (AAS)． ∴∠AFB ＝∠DEC .
∴OF ＝OE .
∴△OEF 为等腰三角形．。

新冀教版八年级数学上册17.1等腰三角形(2)导学案

新冀教版八年级数学上册17.1等腰三角形（2）导学案学习目标：1、经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理.2、能够灵活运用公理和等腰三角形有关性质、判定定理进行相关题目的证明，进一步发展推理能力.学习重点：探索并证明等腰三角形的性质、判定的过程. 学习难点：用文字语言叙述的几何命题的证明及辅助线的添加．学习过程：一．学前准备：回想一下，我们探索过的等腰三角形的性质？性质1：；性质2： . 二、自主学习，合作探究：前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等。

反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？1、如图：在△ABC 中，∠B=∠C ，求证：AB=AC.2、自我完成书中52页的例2，并记住该结论。

三、自我小结：等腰三角形的判定方法：如果有一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边，简写成。

D CBA 图1BEDCA四、自我测试：1．如上图，在△ABC 中BC=AC ，CD ⊥AB ，DE ∥BC ，试说明△ADE 和△CED 都是等腰三角形。

2．如图，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB=AC ，BC=BD=BE ，AE=DE ，求∠A 的度数。

3．已知△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，若AD=AB ，∠CAD=36°，求∠DBC 的度数。

EDCBABE DCA4、已知：如图2，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，E是AC的中点，DF⊥BC，EG ⊥BC，垂足分别是点F，G。

求证：DF=EG。

5、已知，如图3，点D，E分别在AB，AC上，AB=AC，DE∥BC。

求证：BD=CE。

图3 CAB D E图2 CABF GD E。

河北省八年级数学上册17特殊三角形17.4直角三角形全等的判定导学案无答案新版冀教版

17.４直角三角形全等的判定【学习目标】１.会用“HL ”判定两个直角三角形是否全等．２.已知斜边及一直角边，会用尺规画直角三角形．【学习重点】会用“HL ”判定两个直角三角形是否全等．【学习难点】已知斜边及一直角边，会用尺规画直角三角形【预习自测】三角形全等的判定方法有哪些？因此对于任意三角形全等的判定方法有：(SSS) (SAS) (ASA) (AAS)△ABC 和△A’B’C ’中．AC=A’C’，AB=A’B ’，∠C=∠C ’， △ABC 和△A’B’C’全等吗？【合作探究】在△ABC 和△A’B’C’中．AC =A’C ’，AB=A’B’，∠C=∠C’， △ABC 和△A’B’C’全等吗？两个角和其中一个角的对边对应相等，不能判断两个三角形全等如果∠C=∠C ’=90° ，△ABC 和△A’B’C’全等吗？【解难答疑】：C C ＇C C B ’１.要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ,再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在同一条直线上，如图，可以得到EDC ABC ≅△△，所以ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定EDC ABC ≅△△的理由是（）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．HL２.下列判断中错误．．的是（） A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等３.已知点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AB=DE ， BF=CE ，求证△ABC ≌△DEF .【拓展延伸】１.点A 、E 、F 、D 在同一直线上，且AE=DF ，BF ⊥AD ，CE ⊥AD ，垂足分别为点F 、E ，且BF=CE .求证：AB=CD.２.在△ABC 和△BCD 中,AC 与BD 交于O 点,BE ⊥AC,CF ⊥BD 且OB=OC .求证:BE=CF.A B E D C FG３.已知∠ACB=∠BDA=90°，AD=BC，AB//CD.求证：∠1=∠2.【总结反思】1.本节课我学会了：还有些疑惑：2.做错的题目有：原因：。

冀教版八年级上册数学17.1等腰三角形导学案(无答案)

17.1等腰三角形导学案课题：17.1等腰三角形学习目标1：理解并掌握等腰三角形的相关概念，培养学生的识图能力和自主学习的意识。

2：通过对等腰三角形图形的观察、操作、猜想和证明，探究归纳出等腰三角形的性质定理，培养学生通过添加辅助线，以全等三角形为推理工具来解决几何问题的能力。

3：培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．重、难点在掌握轴对称图形的基础上，利用所学知识探索等腰三角形的重要性质并会合理应用。

【复习案】【学法指导】独立思考，自主完成，回顾三角形的内角和定理和三边关系定理1：在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A= ，∠B= ，∠C= 。

2：有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，现在再取一根木棒与它们摆成一个三角形，设第三根木棒的长度为xcm，则x的取值范围为【自学案】【学法指导】第一步：利用5分钟阅读课本140页—141页，同时勾画出你认为重要的概念和定理，并对定理的证明方法进行初步的理解和感悟；第二步：结合下面的“自学提纲”进行第二次的阅读和理解，并对所学的知识点进行盘点和梳理，找出自己的困惑；第三步：把自己的困惑与小组其他成员进行交流探讨，寻求帮助。

知识点1：等腰三角形的概念：阅读完教材后，根据自己的理解填空1：有两条边的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边叫，另一边叫，两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫。

如图：在△DEF中，DE=DF，DE、DF叫；EF叫；是顶角；是底角。

2：顶角为直角的等腰三角形叫做；知识点2：等腰三角形的性质（1）等腰三角形是图形，有条对称轴，它的对称轴是（2）等腰三角形的两个底角。

（简称）理解课本中性质定理证明的依据和方法，思考后，小组交流：还有其他证法吗？请你写下来已知：在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C【跟踪练习】温馨提示：请注意解题格式如图：在△ABC中，AB=AC，请求出下图中各等腰三角形的内角度数：等腰三角形中常见的辅助线：总结【探究案】【学法指导】第一步：独立思考，写出答案（可以画草图，帮助解题）；第二步：与对子交流，互查；第三步：小组成员之间对每组题目中给出的条件进行比对，找出区别，总结出解题技巧和规律。

冀教版初中数学八年级上册 17.1 等腰三角形(第一课时) 导学案 .doc

课题等腰三角形（第一课时）教学目标：（1）知识与技能：①掌握等腰三角形的性质；②理解感受等腰三角形性质的证明过程；③学会用等腰三角形的性质来解决有关的问题.（2）过程与方法：①经历观察、实验、操作等活动过程，发现并归纳等腰三角形的基本性质；②培养猜想、归纳、推理、证明等数学思想方法.（3）情感与态度：通过探究学习，培养学生良好的情绪、积极的探究欲望、团队合作精神、创新意识.教学重点与难点：教学重点：等腰三角形的性质、推理过程及简单应用.教学难点：等腰三角形性质的推理证明.设计思想：等腰三角形作为一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质以外，还具有一些特殊的性质。

它是轴对称图形，具有对称性，本节课就是要利用轴对称的知识来研究等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质。

并利用全等三角形的知识证明这些性质。

各个环节层层深入，环环相扣，在教师的整体调控下，通过与学生的交流互动，学生动手操作，动眼观察，动脑思考，亲身经历了知识和方法的形成过程；其次，以问题为驱动，学生通过分组合作探究，由表及里，激发学生学习兴趣，逐步深入的掌握本节内容.教法、学法：根据课程标准的教学建议、教学内容、学生的具体情况，采用“自学、探究、合作、引导、讲解、讨论”的教学模式.教学准备：多媒体课件、长方形纸片、三角板、剪刀.教学过程：一.导入新知：操作：取一张长方形纸片并将它对折，沿着折叠处剪下一个直角三角形，并展开观察并回答问题：1、剪下的三角形是什么三角形？为什么？2、重叠的两条边叫什么？另一条边叫什么？3、两腰的夹角叫什么？腰和底的夹角呢？4、等腰三角形是轴对称图形吗？它们的对称轴是什么？二.探究新知：（一）自主研讨： 1.如图，把上面的图形标上字母，思考并回答下面的问题：等腰三角形除了两腰相等这条性质外，还有那些相等的角？相等的线段？折痕所在的直线AD与底边BC有什么位置关系？并将你的结论与同学交流。

2.总结等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两个底角________,简称“__________________________”。

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17.1 等腰三角形(2)
【学习目标】
1．掌握判定等腰三角形、等边三角形的方法；
2．能运用等腰三角形判定定理及性质定理解决实际问题；
3. 会用尺规作等腰三角形．
【学习重点】
等腰三角形、等边三角形的判定．
【学习难点】
等腰三角形的判定．
【预习自测】
知识链接：
在上节课我们学习了等腰三角形的特征（性质）
(1)等腰三角形是轴对称图形；
(2)等腰三角形的两底角相等．
用符号语言来表示：
如图，在△ABC中，因为AB=AC所以∠B=∠C.
其作用是：用于说明（证明）同一个三角形中的两角相等.
(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴(也称之为“三线合一”)．
其作用是：可说明（证明）角相等、线段相等或垂直.
【合作探究】
自学：阅读课本，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题.
等腰三角形的识别方法：
（1）用定义识别：有两条边相等的三角形是等腰三角形.
（2）等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
推理格式：△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC．
等边三角形的识别方法：
（1）有三个角都相等的三角形是等边三角形．
符号语言：△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC是等边三角形．
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
符号语言：△ABC 中，AB=AC ，∠A =60° (∠B =60°或∠C =60°)，则△ABC 是等边三角形．【解难答疑】
1．如图，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC ，图中除BC 外，与B C 相等的线段分别是________．
2．如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，那么BD ：DC =________．
3．如图，P 是∠AOB 的平分线上的一点，要求在OA 上取一点Q ，使△OPQ 为等腰三角形，满足要求的点有（
） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
4．如果等腰三角形的三个内角中，有一个钝角，那么这个角一定是（）
A ．顶角
B ．底角
C ．顶角或底角
D ．无法确定
5等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是35°，则这个等腰三角形的顶角等于（）
A ．35°
B ．55°
C ．70°
D ．80°
【反馈拓展】
1．如图，AB=AC ，O 是BC 的中点，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ．请用两种方法说明OD=OE 的理由．
2.如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点O ，DE 经过O 点，且DE//BC ．
⑴请指出图中的两个等腰三角形． ⑵请选择⑴中的一个三角形，说明它是等腰三角形的理由．
⑶如果△ABC 的周长是26，△ADE 的周长是18，请求出BC 的长．
A
1题图
D 2题图
2题图。