通川区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

通川区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若，[]0,1b ∈，则不等式2
2
1a b +≤成立的概率为（ ）
A ．
16π B ．12π C ．8π D ．4
π
2． 设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 下列函数中哪个与函数y=x 相等（ ）
A ．y=（
）2
B ．y=
C ．y=
D ．y=
4． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上，属于醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2011年3月15日至3月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）
A ．2160
B ．2880
C ．4320
D ．8640
5． 下列关系式中正确的是（ ）
A ．sin11°＜cos10°＜sin168°
B ．sin168°＜sin11°＜cos10°
C ．sin11°＜sin168°＜cos10°
D ．sin168°＜cos10°＜sin11°
6． 已知i 为虚数单位，则复数
所对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7． 定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则有（ ）
A ．(49)(64)(81)f f f <<
B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f <<
8．
已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于
π，则()f x 的一条对称轴是（ ）
A ．12x π=-
B ．12x π=
C ．6
x π
=-
D ．6
x π
=
9． 函数2
-21y x x =-，[0,3]x ∈的值域为（ ）
A. B. C. D. 10．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2
π
ϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最
小距离为
2π
，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2
π D ．23π
11．函数2
1()ln 2
f x x x ax =+
+存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞
【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 12．下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A
．
B ．y=﹣2x+5
C ．y=lnx
D ．
y=
二、填空题
13．如果直线3ax+y ﹣1=0与直线（1﹣2a ）x+ay+1=0平行．那么a 等于 ．
14．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时．
15．不等式()2110ax a x +++≥恒成立，则实数的值是__________.
16．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ≥”的概率为_________.
17．已知函数f （x ）=x 2+
x ﹣b+（a ，b 为正实数）只有一个零点，则+的最小值为 ．
18．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间
()1k k +，内，则正整数k 的值为________． 三、解答题
19．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1)cos 2cos a B b A c -=， （Ⅰ）求
tan tan A
B
的值；
（Ⅱ）若a =4
B π
=
，求ABC ∆的面积．
20．已知三次函数f （x ）的导函数f ′（x ）=3x 2﹣3ax ，f （0）=b ，a 、b 为实数． （1）若曲线y=f （x ）在点（a+1，f （a+1））处切线的斜率为12，求a 的值；
（2）若f （x ）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，且1＜a ＜2，求函数f （x ）的解析式．
21．将射线y=x （x ≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cos θ，sin θ）．
（Ⅰ）求点A 的坐标；
（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，]的值域．
22．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
23．（本小题满分12分）
如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，M为A1A的中点，AB＝BD＝2，且△BMC1为等腰三角形．
（1）求证：BD⊥MC1；
（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积．
24．已知等差数列{a n}，满足a3=7，a5+a7=26．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；
（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．
通川区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】
考点：几何概型．
2．【答案】A
【解析】解：0＜a＜1，实数x，y满足，即y=，故函数y为偶函数，它的图象关于y
轴对称，
在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），
故选：A．
【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．
3．【答案】B
【解析】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．
B．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．
C．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．
D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．
故选B．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．
4．【答案】C
【解析】解：由题意及频率分布直方图的定义可知：属于醉酒驾车的频率为：（0.01+0.005）×10=0.15，
又总人数为28800，故属于醉酒驾车的人数约为：28800×0.15=4320．
故选C
【点评】此题考查了学生的识图及计算能力，还考查了频率分布直方图的定义，并利用定义求解问题．
5． 【答案】C
【解析】解：∵sin168°=sin （180°﹣12°）=sin12°， cos10°=sin （90°﹣10°）=sin80°．
又∵y=sinx 在x ∈[0，]上是增函数，
∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．
故选：C ．
【点评】本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用．关键在于转化，再利用单调性比较大小．
6． 【答案】A
【解析】解： =
=1+i ，其对应的点为（1，1），
故选：A ．
7． 【答案】A
【解析】
考
点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111] 8． 【答案】D 【解析】
试题分析：由已知()2sin()6
f x x π
ω=+
，T π=，所以22π
ωπ=
=，则()2sin(2)6
f x x π
=+，令 2,62x k k Z π
π
π+
=+
∈，得,26
k x k Z ππ
=
+∈，可知D 正确．故选D ．
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性．
9． 【答案】A 【解析】
试题分析：函数()2
2
2112y x x x =--=--在区间[]0,1上递减，在区间[]1,3上递增，所以当x=1时，
()()min 12f x f ==-，当x=3时，()()max 32f x f ==，所以值域为[]2,2-。

故选A 。

考点：二次函数的图象及性质。

10．【答案】A 【解析】
考
点：三角函数的图象性质． 11．【答案】D 【解析】因为1
()f x x a x
'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x >）有解，
因为1
2x x
+
?，所以1a £，故选D ． 12．【答案】C
【解析】解：对于A ，函数y=
在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；
对于B ，函数y=﹣2x+5在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；
对于C ，函数y=lnx 在（0，+∞）上是增函数，∴满足题意；
对于D ，函数y=在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意．
故选：C ．
【点评】本题考查了基本初等函数的单调性的判断问题，是基础题目．
二、填空题
13．【答案】
．
【解析】解：∵直线3ax+y ﹣1=0与直线（1﹣2a ）x+ay+1=0平行，
∴3aa=1（1﹣2a ），解得a=﹣1或a=，
经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去
故答案为：．
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
14．【答案】 0.9
【解析】解：由题意， =0.9，
故答案为：0.9
15．【答案】1a = 【解析】
试题分析：因为不等式()2110ax a x +++≥恒成立，所以当0a =时，不等式可化为10x +≥，不符合题意；当0a ≠时，应满足20
(1)40a a a >⎧⎨
∆=+-≤⎩，即2
0(1)0
a a >⎧⎨-≤⎩，解得1a =.1 考点：不等式的恒成立问题. 16．【答案】
1e e
- 【解析】解析： 由ln a b ≥得a
b e ≤，如图所有实数对(,)a b 表示的区域的面积为e ，满足条件“a
b e ≤”的实数对(,)a b 表示的区域为图中阴影部分，其面积为
1
1
1|a a e da e e ==-⎰
，∴随机事件“ln a b ≥”的概率为
1
e e
-．
17．【答案】 9+4 ．
【解析】解：∵函数f （x ）=x 2
+
x ﹣b+只有一个零点，
∴△=a ﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1， ∵a ，b 为正实数，
∴+=（+）（a+4b ）=9++
≥9+2=9+4
当且仅当
=，即a=
b 时取等号，
∴+的最小值为：9+4
故答案为：
9+4
【点评】本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．18．【答案】2
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由1)cos2cos
a B
b A c
-=及正弦定理得
1)sin cos2sin cos sin sin cos+cos sin
A B B A C A B A B
-==，（3分）
cos3sin cos
A B B A
=
，∴tan
tan
A
B
=6分）
（Ⅱ）tan A B
==
3
A
π
=
，
sin4
2
sin sin
3
a B
b
A
π
π
===，（8分）
sin sin()
4
C A B
=+=，（10分）
∴ABC
∆
的面积为111
sin2(3
2242
ab C=⨯=（12分）
20．【答案】
【解析】解：（1）由导数的几何意义f′（a+1）=12
∴3（a+1）2﹣3a（a+1）=12
∴3a=9∴a=3
（2）∵f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b
∴
由f′（x）=3x（x﹣a）=0得x1=0，x2=a
∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2
∴当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0）
∵f（0）=b，
∴b=1
∵，
∴f（﹣1）＜f（1）
∴f（﹣1）是函数f（x）的最小值，
∴
∴
∴f（x）=x3﹣2x2+1
【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x（x≥0）的倾斜角为α，则tanα=，α∈（0，）．
∴tanθ=tan（α+）==，
∴由解得，
∴点A的坐标为（，）．
（Ⅱ）f（x）=•=3sinθ•sin2x+2cosθ•2cos2x=sin2x+cos2x
=sin（2x+）
由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[﹣，1]，
∴函数f（x）的值域为[﹣，]．
【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．
22．【答案】
【解析】
【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；
【解答】解：（1）已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2
=9的圆心为C （1，0），因为直线l 过点P ，C ，所以直线l 的斜率为2，所以直线l 的方程为y=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣2=0．
（2）当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为
，即x+2y ﹣6=0．
23．【答案】
【解析】解：（1）证明：如图，连接AC ，设AC 与BD 的交点为E ，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴BD ⊥AC ，
又AA 1⊥平面ABCD ，
BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A ⊥BD ；
又A 1A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1，
又MC 1⊂平面A 1ACC 1，∴BD ⊥MC 1.
（2）∵AB ＝BD ＝2，且四边形ABCD 是菱形，
∴AC ＝2AE ＝2AB 2－BE 2＝23，
又△BMC 1为等腰三角形，且M 为A 1A 的中点，
∴BM 是最短边，即C 1B ＝C 1M .
则有BC 2＋C 1C 2＝AC 2＋A 1M 2，
即4＋C 1C 2＝12＋（C 1C 2
）2， 解得C 1C ＝463
， 所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为V ＝S 菱形ABCD ×C 1C
＝12AC ×BD ×C 1C ＝12×23×2×463
＝8 2. 即四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为8 2.
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设{a n }的首项为a 1，公差为d ，
∵a5+a7=26
∴a6=13，，
∴a n=a3+（n﹣3）d=2n+1；
（Ⅱ）由（1）可知，
∴．。