浙江省近年年中考数学总复习 全程考点训练 专题九 动态几何型问题(含解析)(2021年整理)

浙江省2016年中考数学总复习全程考点训练专题九动态几何型问题（含解析）
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动态几何型问题
一、选择题
（第1题)
1．如图,已知在四边形ABCD中，R,P分别是BC，CD上的点,E，F分别是AP,RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是(C）A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
【解析】连结AR，则EF＝错误!AR，AR不变，∴EF不变．
2．如图①,在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P以1 cm/s的速度从点A出发,沿折线AC－CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D,PD的长y(cm）关于点P的运动时间x（s）的函数图象如图②所示．当点P运动5 s时，PD的长是(A)
(第2题)
A．1。

2 cm B．1.5 cm
C．1。

8 cm D．2 cm
(第2题解)
【解析】由图②可得，AC＝3,BC＝4，∴AB＝5.
当t＝5时，如解图所示．
此时AC＋CP＝5,∴BP＝AC＋BC－AC－CP＝2。

∵sin B＝错误!＝错误!,
∴PD＝BP·sin B＝2×错误!＝错误!＝1.2（cm)．故选A。

（第3题）
3．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A,B分别在OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变,其中AB＝2，BC＝1.运动过程中，点D到点O的最大距离为（A）
A.2＋1 B。

错误!
C.错误! D。

错误!
(第3题解)
【解析】如解图，取AB的中点E,连结OE,DE.
∵OD＜OE＋DE，∴当O，E，D三点共线时,点D与点O的距离最大．
此时,∵AB＝2，∴OE＝AE＝错误!AB＝1。

∵BC＝1,∴AD＝1，
∴DE＝错误!＝错误!＝错误!，
∴DE＋OE＝错误!＋1.
∴OD的最大值为错误!＋1.
4．如图①,从矩形纸片AMEF中剪去矩形BCDM后，动点P从点B出发，沿BC，CD，DE，EF 运动到点F停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则图形ABCDEF的面积是（C)
（第4题）
A．32 B．34
C．36 D．48
【解析】结合函数图象可得BC＝4，CD＝3，DE＝2，EF＝8，∴AF＝BC＋DE＝6，∴六边形ABCDEF的面积为6×8－4×3＝36。

（第5题)
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P,Q两点同时出发,并同时到达终点，连结MP,MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是（C）A．一直增大 B．一直减小
C．先减小后增大 D．先增大后减少
【解析】如解图,连结CM。

(第5题解)
∵M是AB的中点,∴S△ACM＝S△BCM＝错误!S△ABC。

开始时,S△MPQ＝S△ACM＝错误!S△ABC；
点P到达AC的中点时，点Q到达BC的中点，此时S△MPQ＝错误!S△ABC;
结束时，S△MPQ＝S△BCM＝错误!S△ABC。

∴△MPQ的面积大小变化情况是先减小后增大．
6．如图，水平地面上有一面积为错误!π cm2的扇形AOB，半径OA＝3 cm,且OA与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动大半圈至与三角形石块BDE接触为止，此时，扇形与地面的接触点为C，已知∠BCD＝30°，则点O移动的距离为(B）
(第6题）
A．2π cm B．4π cm
C。

错误!π cm D．52π cm
【解析】∵S扇形＝错误!lR＝错误!l×3＝错误!π，∴l＝5π，即错误!的长l错误!＝错误!＝错误!＝5π，∴n＝300.连结OC.∵∠BCD＝30°,∴∠BOC＝2∠BCD＝60°.∴错误!所对圆心角的度数为300°－60°＝240°.点O移动的距离即错误!的长，l错误!＝错误!＝4π.
（第7题)
7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝24，斜边AB＝25,一个以点P为圆心，半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（C）
A.错误! B．25
C。

错误! D．56
【解析】△ABC的内切圆半径r＝1
2
×（24＋7－25）＝3，则
点P经过的路径
△ABC的周长
＝错误!.∵△
ABC的周长＝24＋25＋错误!＝56,∴点P经过的路径＝错误!。

8．如图，已知点A(4,0),O为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点O，A)，过P，O两点的二次函数y
1
和过P，A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C,射线OB与AC交于点D.当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于(A)
（第8题）
A.错误! B。

错误!错误!
C．3 D．4
【解析】连结BP，CP，根据抛物线的对称性,得OB＝PB,PC＝AC，从而易得PB∥AD，PC
∥OD，∴△OBP∽△ODA,△APC∽△AOD，分别作△OBP，△PCA，△ODA的高BE,CF,DG,则有BE DG ＝
错误!，错误!＝错误!，∴错误!＋错误!＝1，由DG＝错误!＝错误!＝错误!，得BE＋CF＝错误!，即两个二次函数的最大值之和为错误!.
二、填空题
（第9题)
9．如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6,BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为2或错误!s时，以P，Q,E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】①当点Q运动到点E和点B之间时，设运动时间为t（s），则2t－错误!＝6－t，解得t＝错误!；
②当点Q运动到点E和点C之间时，设运动时间为t（s)，则错误!－2t＝6－t,解得t＝2.
（第10题）
10．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5.按如图所示的方法折叠纸片，使点A 落在BC边上的A′处，折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为2．【解析】当点P与点B重合时，BA′＝3；当点Q与点D重合时，DA′＝DA＝5，∴CA′＝错误!＝错误!＝4，BA′＝1。

∴点A′可移动的最大距离为2.
（第11题）
11．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝42，∠B＝45°.直角三角尺含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F.若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于错误!或2或4错误!－3．
【解析】若AE＝BE，则CF＝错误!；若AB＝AE，则CF＝2;若AB＝BE，则CF＝4错误!－3.
(第12题）
12．已知线段AB＝6，C,D是AB上两点,且AC＝DB＝1,P是线段CD上一动点,在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，点G 移动的路径长度为2．
【解析】∵∠EPA＝∠B＝60°，∴EP∥FB.
取FP的中点M,PB的中点N,连结GM，MN，知GM∥EP，MN∥FB，∴G，M，N三点共线，且GN＝错误!(EP＋FB）＝错误!(AP＋PB)＝错误!AB＝3。

∴在移动的过程中,GN始终与EP平行且GN＝3.
∴GN是向右平移,且点G的移动长度等于点N的移动长度，N的起点为CB的中点,终点为DB的中点,
∴点G移动的路径长度为1
2
(CB－DB)＝2。

(第13题）
13。

如图,在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10,0）,（0，4），D是OA的中点,点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（2，4)，(3，4）或(8，4）．
【解析】由题意知，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况：
①如解图①所示，PD＝OD＝5,点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.
在Rt△PDE中,由勾股定理，得DE＝错误!＝错误!＝3，
∴OE＝OD－DE＝5－3＝2，
此时点P的坐标为(2,4）．
,(第13题解①）），(第13题解②)）
②如解图②所示，OP＝OD＝5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4。

在Rt△POE中，由勾股定理，得OE＝OP2－PE2＝52－42＝3，
此时点P的坐标为（3,4)．
③如解图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．
(第13题解③)
过点P作PE⊥x轴于点E,则PE＝4。

在Rt△PDE中，由勾股定理，得DE＝错误!＝错误!＝3,
∴OE＝OD＋DE＝5＋3＝8，
此时点P的坐标为(8，4）．
综上所述,点P的坐标为(2，4)或（3，4)或（8，4）．
(第14题）
14．如图，射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M,N，且AC∥QN，AM＝MB＝2 cm,QM ＝4 cm。

动点P从点Q出发，沿射线QN以1 cm/s的速度向右移动,经过t(s),以点P为圆心，错误!cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上)，请写出t可取的一切值：t＝2或3≤t≤7或t＝8(单位：s）．
【解析] ∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝AM＋MB＝4 cm，∠A＝∠C＝∠B＝60°。

∵QN∥AC,AM＝BM，∴N为BC的中点，
∴MN＝错误!AC＝2 cm，∠BMN＝∠BNM＝∠C＝∠A＝60°.
分三种情况讨论：
①如解图①,
(第14题解①)
当⊙P切AB于点M′时，连结PM′，
则PM′＝3cm，∠PM′M＝90°.
∵∠PMM′＝∠BMN＝60°，
∴M′M＝1 cm，PM＝2MM′＝2 cm，
∴QP＝4－2＝2 （cm）,
即t＝2。

②∵△ABC是正三角形，边长为4 cm，
∴点B到AC的距离为2错误!cm，∴MN到AC的距离为错误! cm.
如解图②，
（第14题解②）
当⊙P与AC切于点A时,连结PA,
则∠CAP＝∠APM＝90°，∠PMA＝∠BMN＝60°，AP＝ 3 cm,
∴PM＝1 cm,∴QP＝4－1＝3 （cm),即t＝3。

当⊙P与AC切于点C时，连结PC，
则∠CP′N＝∠ACP′＝90°，∠P′NC＝∠BNM＝60°，CP′＝错误! cm,∴P′N＝1 cm,∴QP′＝4＋2＋1＝7 (cm），即t＝7。

∴当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切．
③如解图③，
（第14题解③)
当⊙P切BC于点N′时，连结PN′，
则PN′＝错误! cm，∠PN′N＝90°.
∵∠PNN′＝∠BNM＝60°,
∴N′N＝1 cm,PN＝2NN′＝2 cm，
∴QP＝4＋2＋2＝8 （cm），即t＝8。

综上所述，t＝2或3≤t≤7或t＝8。

三、解答题
（第15题）
15．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A,B同时出发,P在边AB上沿AB方向以2 cm/s的速度向点B做匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以1 cm/s的速度向点C做匀速运动．设运动时间为x(s），△PBQ的面积为y（cm2)．
(1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围．
(2）求△PBQ的面积的最大值．
【解析】（1)∵S△PBQ＝错误!PB·BQ，
PB＝AB－AP＝18－2x,BQ＝x,
∴y＝错误!（18－2x)x，
即y＝－x2＋9x(0〈x≤4)．
（2)由(1)知y＝－x2＋9x,
∴y＝－错误!错误!＋错误!.
∴当0<x≤错误!时，y随x的增大而增大．
∵0<x≤4，
∴当x＝4时,y最大值＝20，
即△PBQ的最大面积是20 cm2.
(第16题）
16．如图,△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C匀速运动(点P不与点A，C重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向匀速运动(点Q不与点B重合）,过点P作PE⊥AB于点E，连结PQ交AB于点D。

(1)当∠BQD＝30°时,求AP的长．
(2)运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化,请说明理由．
【解析】（1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,
∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝6.
∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°。

设AP＝x,则PC＝6－x，QB＝x，QC＝QB＋BC＝6＋x。

∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝错误!QC，即6－x＝错误!（6＋x）,解得x＝2.
∴AP＝2.
(2)当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
过点Q作QF⊥AB，交AB的延长线于点F，连结QE，PF.
∵PE⊥AB于点E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°。

∵点P，Q做匀速运动且速度相同，∴AP＝BQ。

∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°,
∴△APE≌△BQF,∴AE＝BF，PE＝QF.
易得PE∥QF,∴四边形PEQF是平行四边形,
∴DE＝错误!EF.
∵EF＝BE＋BF＝BE＋AE＝AB，∴DE＝错误!AB.
又∵等边△ABC的边长为6，∴DE＝3，
∴当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变，始终为3。

17．在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0），点B（0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA.
（1）如图①，求点E的坐标．
(2)如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B，BE′.
①设AA′＝m，其中0〈m〈2，试用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标．
②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可）．
（第17题)
【解析】（1）∵点A（－2，0),点B（0，4),
∴OA＝2，OB＝4.
∵∠OAE＝∠OBA，∠EOA＝∠AOB＝90°,
∴△OAE∽△OBA，
∴错误!＝错误!,即错误!＝错误!，
解得OE＝1，∴点E的坐标为(0，1)．
(第17题解)
(2）①如解图，连结EE′.
由题设知AA′＝m（0＜m＜2），则A′O＝2－m.
在Rt△A′BO中，由A′B2＝A′O2＋BO2，得A′B2＝(2－m）2＋42＝m2－4m＋20。

∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′＝AA′。

∴∠BEE′＝90°,EE′＝m.
又∵BE＝OB－OE＝3，
∴在Rt△BE′E中，BE′2＝E′E2＋BE2＝m2＋9.
∴A′B2＋BE′2＝m2－4m＋20＋m2＋9＝2m2－4m＋29＝2(m－1)2＋27.
当m＝1时，A′B2＋BE′2可以取得最小值,此时，点E′的坐标是（1,1）．
②如解图，过点A作AB′⊥x轴,并使AB′＝BE＝3，连结A′B′.易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A′＝BE′,
∴A′B＋BE′＝A′B＋B′A′.
当点B,A′，B′在同一条直线上时，A′B＋B′A′最小,即此时A′B＋BE′取得最小值．此时有△AB′A′∽△OBA′，
∴错误!＝错误!＝错误!,∴AA′＝错误!AO＝错误!×2＝错误!,
∴EE′＝AA′＝错误!，即点E′的坐标为错误!.
18．如图，在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A（－2,0）,B(4，0)两点,与y轴交于点C.
（1)求抛物线的表达式．
（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时,求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
(3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．
(第18题）
【解析】（1)将A(－2，0),B(4，0)两点的坐标分别代入y＝ax2＋bx－3(a≠0），
得错误!解得错误!
∴抛物线的表达式为y＝错误!x2－错误!x－3.
(2）设运动时间为t（s)，由题意可知：0〈t<2.
如解图①，过点Q作QD⊥AB，垂足为D.
(第18题解①)
易证△OCB∽△DQB，
∴错误!＝错误!。

∵OC＝3，OB＝4，BC＝错误!＝5，AP＝3t，PB＝6－3t，BQ＝t,
∴错误!＝错误!,
∴DQ＝错误!t。

∴S△PBQ＝错误!PB·DQ＝错误!（6－3t）·错误!t＝－错误!t2＋错误!t＝－错误!(t－1）2＋错误!。

∴当运动1 s时，△PBQ的面积最大，最大面积为错误!.
（3）如解图②，设点K错误!，连结CK，BK，过点K作KL∥y轴交BC于点L。

（第18题解②)
由（2）知，S△PBQ＝错误!。

∵S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，∴S△CBK＝错误!。

设直线BC的表达式为y＝kx＋n.
∵直线BC过点B(4，0)，C（0，－3)，
∴错误!解得错误!
∴直线BC的表达式为y＝错误!x－3，
∴L错误!，
∴KL＝错误!－错误!＝错误!m－错误!m2。

∴S△CBK＝S△KLC＋S△KLB＝1
2
·错误!·m＋错误!·错误!·（4－m）＝错误!·4·错误!,
∴2错误!＝错误!，解得m1＝1，m2＝3。

∴点K的坐标为错误!或错误!。

（第19题)
19．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A，B分别落在坐标轴上，O为原点，点A的坐标为（6,0)，点B的坐标为(0,8）．动点M从点O出发，沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒错误!个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M,N运动的时间为t（s)．（1）当t＝3时,直接写出点N的坐标，并求出经过O，A，N三点的抛物线的表达式．(2）在此运动过程中,△MNA的面积是否存在最大值?若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形？
【解析】（1）由题意，得A（6，0）,B（0，8),则OA＝6,OB＝8，AB＝10.
当t＝3时，AN＝错误!t＝5＝错误!AB，即N是线段AB的中点，∴点N(3，4)．
设抛物线的表达式为y＝ax（x－6)，则4＝3a(3－6)，∴a＝－错误!。

∴抛物线的表达式为y＝－4
9
x(x－6)＝－错误!x2＋错误!x.
(2）过点N作NC⊥OA于点C.
由题意,得AN＝5
3
t,AM＝OA－OM＝6－t，
∴NC＝NA·sin∠BAO＝错误!t·错误!＝错误!t，
∴S△MNA＝错误!AM·NC＝错误!×(6－t）×错误!t＝－错误!(t－3)2＋6(0＜t＜6），∴当t＝3时，△MNA的面积有最大值，最大值为6。

(3)在Rt△NCA中,AN＝5
3
t，NC＝错误!t，
∴AC＝AN·cos∠BAO＝t,
∴OC＝OA－AC＝6－t,∴点N错误!.
∴MN＝错误!＝错误!.
又∵AM＝6－t，AN＝错误!t(0＜t＜6），
∴当MN＝AN时，错误!＝错误!t，即t2－8t＋12＝0，解得t1＝2，t2＝6（舍去);
当MN＝MA时，错误!＝6－t，即错误!t2－12t＝0，解得t1＝0（舍去)，t2＝错误!;
当AM＝AN时，6－t＝错误!t，解得t＝错误!。

综上所述，当t＝2或错误!或错误!时，△MAN是等腰三角形．
20．如图①,已知在△ABC中，AB＝10 cm，AC＝8 cm,BC＝6 cm.如果点P由点B出发沿BA 方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2 cm/s。

连结PQ，设运动时间为t(s)(0≤t≤4）,解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
(2）设△AQP的面积为S(cm2），当t为何值时，S取得最大值？并求出最大值．
（3)是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4)如图②，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′。

那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
（第20题)
【解析】（1)∵AB＝10 cm，AC＝8 cm，BC＝6 cm，
∴由勾股定理逆定理,得△ABC为直角三角形，∠C为直角．
∵BP＝2t，∴AP＝10－2t.
∵PQ∥BC，∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得t＝错误!.
∴当t＝错误!时，PQ∥BC。

（2)过点P作PD⊥AC于点D,则PD∥BC，
∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得PD＝6－错误!t.
∴S＝错误!AQ·PD＝错误!×2t×错误!＝－错误!t2＋6t＝－错误!错误!错误!＋错误!,
∴当t＝错误!时，S取得最大值，最大值为错误! cm2.
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，则有S△AQP＝错误!S△ABC,
而S△ABC＝错误!AC·BC＝24 cm2，
∴此时S△AQP＝12 cm2.
由(2)可知，S△AQP＝－错误!t2＋6t，
∴－6
5
t2＋6t＝12，化简，得t2－5t＋10＝0。

∵Δ＝（－5）2－4×1×10＝－15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
(4）假设存在某时刻t,使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ＝PQ＝BP＝2t。

过点P作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴错误!＝错误!＝错误!，即错误!＝错误!＝错误!，解得PD＝6－错误!t,AD＝8－错误!t，
∴QD＝AD－AQ＝8－8
5
t－2t＝8－错误!t.
在Rt△PQD中，由勾股定理，得QD2＋PD2＝PQ2，即错误!错误!＋错误!错误!＝（2t）2,化简,得13t2－90t＋125＝0，解得t1＝5(舍去），t2＝错误!，∴t＝错误!。

由（2)可知，S△AQP＝－错误!t2＋6t，
∴S菱形AQPQ′＝2S△AQP＝2×错误!＝2×错误!＝错误!(cm2)．
∴存在时刻t＝错误!，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为错误! cm2。