2.1 时域数学模型

代入整理 U 0 (s ) =
1 0.1s + 0.2 1 0.1(s + 2) + 2 ＝ + s(s 2 + s + 1) s + s + 1 s((s + 0.5)2 + 0.8662 ) (s + 0.5)2 + 0.8662
对上式进行Laplace反变换，得系统的单位阶跃响应：
1 0.1(s 2） u(t ) L U o (s) L 2 2 s (s 0.5) 0.866 (s 0.5) 2 0.8662
（复域）

（频域）
微分方程、传递函数和频率特性分别是系统在 时间域、复数域和频率域中的数学模型。人们在研 究分析一个控制系统的特性时，可以根据对象的特 点和工程的需要，人为地建立不同域中的数学模型 进行讨论。习惯上把用微分方程的求解、分析系统 的方法称为数学分析法，把用传递函数、频率特性 求解、分析系统的方法称为工程分析法。 一般来说，工程分析法比数学分析法直观、方 便，这也是我们引入复域、频域数学模型的主要原 因。
零输入和零初始条件响应合成得到非零响应。
系统对输入和干扰分别研究。
只有线性时不变微分方程才能运用Laplace变换为
代数方程。
三、非线性微分方程的线性化
在实际工程中，几乎所有的器件、系统都是非线 性的，完全线性的几乎没有。
（1）许多情况下，在一定工作范围，一定精度范围 下，可以近似看作是线性。
成为典型分式之和； （3）反Laplace变换得到输出量的时域表达式。
五、运动的模态（振型）Mode
齐次微分方程的解：通解+特解 通解由特征根所决定，若n阶微分方程的特征根为1 , 2 n 称 e 1t , e 2t , , e nt 为该微分方程的运动模态。 （1）定义：所谓模态，即齐次微分方程的独立解，n 阶微分方程有n个独立解。每一种模态代表一种类型的 运动形式。微分方程的通解是这些独立解的线性组合。 （2）特征根与模态形式的关系 特征根 单实根 模态
数学模型
时域模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
微分方程 差分方程
传递函数 拉氏变换传递函数，Z变换传递函数
其他数学工具（如Rough Set，Petri等）
“三域”数学模型及其相互关系
微分方程 t （时域）
L L
-1
F F -1
系统
传递函数 s j
j s
频率特性
s
令D y = y - y 0 = f (x ) - f (x 0 ), D x = x - x 0 , K = (df (x ) / dx )x 0 , 则 : Dy = K Dx
略去增量符号，便得到函数 y = f (x ) 在工作点A附近的 线性化方程：
y = Kx
显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。 为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。

[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
二、线性系统的特性
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。 如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称 该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线 性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输 出叠加得到。 1、线性系统的性质 可叠加性 均匀性（或奇次性）
2-1 时域数学模型
一、线性元件的微分方程
二、线性系统的特性 三、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法） 四、非线性微分方程的线性化 五、运动的模态（振型）Mode
一、线性元件的微分方程
Ur(t)
L
R
例2-1 RLC 无源网络的微分方程 根据基尔霍夫电压定律
C
U0(t)
di(t ) 1 L i (t )dt Ri(t ) u r (t ) dt C 1 uo (t ) i (t )dt C
2、数学模型的意义
定量研究的基础
研究系统运行规律的基础
对系统行为进行控制的基础
对系统未来进行预测的基础
3、建立数学模型的方法
解析法
根据具体系统服从的规律，运用适当的数学工具 列出各变量间的关系。 实验法
在系统内部关系复杂时，为达到某种目的，可以 通过实验手段，测量该系统的输入输出，然后运用系 统辨识的手段，构建出一个近似的数学模型。
第二章
概述
控制系统的数学模型
2-1 时域数学模型 2-2 复数域数学模型 2-3 信号流图
概述
1、数学模型的定义 2、建立数学模型的意义
3、建立数学模型的方法
4、建立数学模型的工具
1、系统数学模型的定义 描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式 称为数学模型。 • 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的， 难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或 理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物 理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求 解的精确要求，来确定出合理的物理模型。 • 电子放大器 看成 理想的线性放大环节。 • 通讯卫星 看成 质点 。
其中：
u0 ' (0)
待入整理得：
du0 (t ) 1 1 i(t ) i(0) dt t 0 C C t 0
U 0 (s ) =
U r (s ) 0.1s + 0.2 + 2 s2 + s + 1 s + s + 1
1 s
因ur (t ) = 1 (突然加1V电压相当于输入为单位阶跃函数), 即U r (s ) = V
四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法）
微分方程的解法
直接解析法（分离变量法） 适用于少量简单的情况 Laplace变换解析法 状态转移矩阵法 数值法 仅适用于线性时不变情况 仅适用于线性时不变情况 适用于所有情况
本节讨论用Laplace变换法解线性时不变微分方程
例2-6 已知L=1H,C=1F,R=1欧姆，且电容上的初始电压 U0(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ur(t)=1V。求 电路突然接通电源时，电容电压u0(t)的变化规律。 解：
18
对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近 展开。设双变量非线性方程为：y f ( x1 , x2 ) ，工作点为 y0 f ( x10 , x20 ) 。则可近似为： y K1x1 K2 x2 式中： x1 x1 - x10 x2 x2 - x。 ， 20
n e1tt ett te , t 2e et cos wt , et sin wt
多重根 一对共轭复根 jw
1 n
增量较小时略去其高次幂项，则有
df ( x) y - yo f ( x) - f ( xo ) ( x - xo ) dx xo
17
df ( x) y - yo f ( x) - f ( xo ) ( x - xo ) dx xo
写出增量线性化微分方程
零初始条件响应
零输入响应
•由输入电压产生的输 出分量 •与初始条件无关
•由初始条件产生的输 出分量 •与输入电压无关
零初始条件响应＋零输入响应＝单位阶跃响应
【Laplace法解线性定常微分方程归纳】
（1）考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行
拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；
（2）由代数方程求出输出量的拉氏变换表达式，使之
-1 -1



1 1.15e-0.5t sin(0.866t -120 ) 0.2e-0.5t sin(0.866t - 30 )
u (t ) -1[U 0 ( s )] U i (s) 0.1s 0.2 2 ] 2 s s 1 s s 1 1 0.1( s 2) -1[ ] 2 2 2 2 s (( s 0.5) 0.866 ) ( s 0.5) 0.866 -1[ 1 1.15e -0.5t sin( 0.866t - 120) 0.2e -0.5t sin( 0.866t - 30)
d 2c(t ) dc(t ) + + c(t ) = f (t ) 2 dt dt
若
f1 (t ) c1 (t )，f 2 (t ) c2 (t )
则 a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1c1 (t ) a2c2 (t )
2、线性系统性质的应用
多个外作用产生的响应可通过逐个外作用响应的 叠加。
（2）严重非线性情况下，在工作点附近，可以局部 的线性化。
局部线性化－切线法（小偏差法）
连续变化的非线性函数：
y f (x)
设在平衡该点附近用泰勒级数展开
1 d 2 f ( x) df ( x) ( x - xo ) 2 y f ( x) f ( xo ) ( x - xo ) 2! dx2 x dx xo o
K1 y y | x1 x10 , K 2 | x1 x10 为与工作点有关的常数。 x1 x2 x20 x2 x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性(如间隙、库仑干 摩擦、饱和特性等)，它是可以用泰勒级数展开的。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
【RLC无源网络微分方程】为：
L R
d 2u0 (t ) du (t ) LC RC 0 u0 (t ) ur (t ) dt 2 dt
令
Ur(t)
C
U0(t)
U r (s ) = l [ur (t )]
U 0 (s ) = l [u 0 (t )]
据Laplace变换的微分性质
du (t ) l [ 0 ] = sU 0 (s ) - u 0 (0) dt d 2u 0 (t ) l[ ] = s 2U 0 (s ) - su 0 (0) - u 0 '(0) 2 dt
实验法－:
基于系统辨识的建模方法
输出（已知） 黑匣子
输入（已知）
• • • • •
已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当阶次 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统 模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
4、建立数学模型的数学工具
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) dt dt 这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg, N .s / m, N / m
[需要讨论的问题]：
相似系统和相似量： 我们注意到例2-1的微分方程形式是完全 一样的。 这是因为：若令 q idt (电荷)，则例2-1的结果变为： d 2q dq 1 L 2 R q ui dt dt C 可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类 型的系统也可以有相同形式的数学模型。
合并，整理
d 2uo (t ) duo (t ) LC + RC + uo (t ) = ur (t ) 2 dt dt
[例2-2] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。 输入量为外力F，输出量为位移x。 F m f
图1
k
F m
kx
x
fx
图2
m x
[解]：图1和图2分别为系统 原理结构图和质量块受力 分析图。图中，m为质量， f为粘性阻尼系数，k为弹 性系数。