专题06三角函数及解三角形-2021年高考真题和模拟题数学(文)分项汇编(全国通用)(解析版)

专题06 三角函数及解三角形
1．（2021·江苏高考真题）若函数()()4sin 03f x x πωω⎛
⎫
=-> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，则它的一条对称轴是（ ） A ．12
x π
=- B ．0x = C ．6x π
=
D ．23
x π=
【答案】A 【分析】由2T πω=
，可得2ω=，所以()4sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，令2()32x k k Z πππ-=+∈，得
51
()122
x k k Z ππ=
+∈，从而可得到本题答案. 【详解】由题，得222T ππωπ===，所以()4sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
令2()3
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，得51
()122
x k k Z ππ=
+∈， 所以()f x 的对称轴为51
()122
x k k Z ππ=+∈， 当1k =-时，12
x π
=-
，
所以函数()f x 的一条对称轴为12
x π
=-.
故选：A
2．（2021·全国高考真题（文））函数()sin cos 33
x x
f x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A ．3π2B ．3π和2
C ．6π2
D ．6π和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项.
【详解】由题，()234x f x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，所以()f x 的最小正周期为
26
13
T 2故选：C ．
3．（2021·北京高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A ．奇函数，最大值为2
B ．偶函数，最大值为2
C ．奇函数，最大值为98
D ．偶函数，最大值为98
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，
又2
219()cos cos22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝
⎭， 所以当1
cos 4x =时，()f x 取最大值98
. 故选：D.
4．（2021·全国高考真题）若tan 2θ=-，则()
sin 1sin 2sin cos θθθθ
+=+（ ）
A ．65
-
B ．25-
C ．
25
D ．
65
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得：
()()()22
sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ
+++==+++ ()2222
sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145
θθθθθθθθ++-====+++． 故选：C ．
【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
5．（2021·浙江高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值
2
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得3
sin cos sin cos sin cos 2
αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于
12，再结合特例可得三式中大于1
2
的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβ
αβ+≤，
同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2
γα
γα+≤，
故3
sin cos sin cos sin cos 2
αββγγα++≤
， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12
. 取6
π
α=
，3
π
β=
，4
πγ=
，
则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222
αββγγα=<=>=>， 故三式中大于1
2
的个数的最大值为2， 故选：C.
法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：
sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，
而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222
αγββγαγαβ++=++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12
. 取6
π
α=
，3
π
β=
，4
πγ=
，
则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222
αββγγα=
<=>=>，
2
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
6．（2021·全国高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，AC =2AB =，则BC =（ ）
A ．1
B
C
D ．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===，
结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a =+-⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =. 故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形． 7．（2021·全国高考真题（文））若cos 0,
,tan 222sin παααα⎛⎫
∈= ⎪-⎝⎭
，则tan α=（ ）
A B C D 【答案】A
【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1
sin 4
α=，利用同角三
角函数的基本关系即可求解. 【详解】
cos tan 22sin ααα
=
-
2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααα
αααα
∴===--，
0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，cos 0α∴≠，2
2sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，
cos α∴==
sin tan cos ααα∴==
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α. 8．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．2
24y x x =++
B ．4
sin sin y x x
=+
C ．222x x y -=+
D ．4ln ln y x x
=+
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出
,B D 不符合题意，C 符合题意．
【详解】对于A ，()2
2
24133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不
符合题意；
对于B ，因为0sin 1x <≤，4
sin 4sin y x x
=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；
对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，24
22242
x
x
x x y -=+=+
≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4
ln ln y x x
=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，
D 不符合题意． 故选：C ．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
9．（2021·全国高考真题（文））2
2π5π
cos
cos 1212
-=（ ）
A ．
1
2
B ．
3 C ．
2
D 【答案】D
【分析】由题意结合诱导公式可得2
2
225cos cos cos sin 12
121212
π
πππ
-=-，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意，2
2
22225cos
cos cos cos cos sin 12
12122121212π
ππππππ⎛⎫
-=--=- ⎪⎝⎭
cos
6
π
==
故选：D.
10．（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
单调递增的区间是（ ） A ．0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
B ．,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．3,
2
ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A
【分析】解不等式()222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
<-
<+
∈，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z π
πππ⎛⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
， 对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，由()222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
<-
<+
∈，
解得()2223
3
k x k k Z π
π
ππ-
<<+
∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫
⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭，
32,
,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,
,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫
⊄ ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭，CD 选项均不满足条件. 故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求
()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意
要先把ω化为正数．
11．（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，
()()()3cos ,sin P αβαβ++，1
,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123
OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC
【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，
2||(cos 1OP ==，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1
,sin )AP ββ=--，所以
1||(cos 2|sin
|2
AP α
=
====，
同理2||(cos 2|sin
|2
AP β
=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；
C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；
D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()
OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123
OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；
故选：AC
12．（2021·江苏高考真题）已知5cos 213πθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭，且,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，则()tan 9θπ-的值是_________. 【答案】5
12
-
【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得. 【详解】55cos sin 21313πθθ⎛⎫
+
=⇒=- ⎪⎝
⎭，因为,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以212
cos 1sin 13
θθ=-=
，所以sin θ5tan θcos θ
12，所以()5
tan 9tan 12
θπθ-==-
. 故答案为：5
12
-
. 13．（2021·浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，则
1
2
S S =___________.
【答案】25
【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可. 【详解】由题意可得，大正方形的边长为：23345a +=， 则其面积为：2
1525S ==， 小正方形的面积：212543412S ⎛⎫
=-⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭
， 从而1225
251
S S ==.
故答案为：25.
14．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())6
6
Q ππ
θθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意
的θ=_______________． 【答案】
512
π（满足5,12k k Z π
θπ=+∈即可） 【分析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6
π
θθ+
关于y 轴对称，得出2,6
k k Z π
θθππ+
+=+∈求解.
【详解】(cos ,sin )P θθ与cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛
⎫
⎛
⎫+
+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6
π
θθ+
关于y 轴对称，
2,6
k k Z π
θθππ+
+=+∈，
则5,12
k k Z π
θπ=+
∈， 当0k =时，可取θ的一个值为
512
π. 故答案为：512
π（满足5,12k k Z π
θπ=+∈即可）. 15．（2021·全国高考真题（文））已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则
2f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
_______________.
【答案】3-【分析】首先确定函数的解析式，然后求解2f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值即可.
【详解】由题意可得：31332,,241234T T T
ππππ
πω=-=∴===， 当1312x π=
时，()1313
22,2126
x k k k Z πωϕϕπϕππ+=⨯
+=∴=-∈， 令1k =可得：6
π
ϕ=-
，
据此有：()52cos 2,2cos 22cos 362266f x x f πππππ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫
=-=⨯-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
. 故答案为：3-.
【点睛】已知f (x )＝Acos (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝
2T
π
即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
16．（2021·浙江高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，23AM =，则
AC =___________，cos MAC ∠=___________.
【答案】213
239
13
【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC ，进而可得AC ，再由余弦定理可得cos MAC ∠. 【详解】由题意作出图形，如图，
在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅， 即2
1
124222
BM BM =+-⨯⨯
，解得=4BM （负值舍去），
所以=2=2=8BC BM CM ，
在ABC 中，由余弦定理得2
2
2
1
2cos 464228522
AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯
=，
所以AC =
在AMC 中，由余弦定理得222cos
2AC AM MC MAC AM AC +-∠===
⋅.
故答案为：17．（2021·江苏高考真题）已知向量()
2
23sin ,cos a x x =-，()cos ,6b x =，设函数()f x a b =⋅.
（1）求函数()f x 的最大值;
（2）在锐角ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()0,f B b ==3sin 2sin 0A C -=，求ABC 的面积.
【答案】（1）max ()3f x =；（2
【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得2()233f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
进而可得()f x 的最大值； （2）由锐角ABC ，推出223
3
3B π
π
π
-
<-
<
，再结合f （B ）0=，求得3
B π=，由正弦定理知32a c =，再利用余弦定理求出2a =，3c =，最后由三角形面积公式得解． 【详解】（1）因为()
2
23sin ,cos a x x =-，()cos ,6b x =，
所以函数()f x a b =⋅
2cos 6cos 23cos23x x x x x =-+=++
2
233x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
∴当2sin 213x π⎛
⎫
+
= ⎪⎝⎭
时，max ()3f x = （2）∵ABC 为锐角三角形，02
B π
∴<<
.
25
233
B πππ∴<+< 又
()0f B =
2si n 232B π⎛⎫∴+=-
⎪⎝
⎭24233B ππ∴+= 3B π∴= 3sin 2sin 032A C a c -=∴=
2221cos 22
a c
b B a
c +-==即2229
7
1432
a a a +-= 2,3a c ∴==
123222
ABC
S
∴=⨯⨯⨯=
18．（2021·天津高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，已知
sin :sin :sin A B C =
，b =
（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值； （III ）求sin 26C π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的值． 【答案】（I
）（II ）（III
）
1
16
【分析】（I
）由正弦定理可得::a b c = （II ）由余弦定理即可计算；
（III ）利用二倍角公式求出2C 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I
）因为sin :sin :sin A B C =
::a b c = 2b =
，2a c ∴==；
（II
）由余弦定理可得2223
cos 24
a b c C ab +-=
==； （III ）
3cos 4C =
，sin C ∴==，
3sin 22sin cos 24C C C ∴===
，291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=，
所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛
⎫
-
=- ⎪⎝
⎭1182=-⨯=.
19．（2021·全国高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；
（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
4
；（2）存在，且2a =. 【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值.
【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，
222
1
cos 28a b c C
ab
，所以，C 为锐角，则sin C ==
因此，11sin 4522ABC S ab C =
=⨯⨯=
△ （2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，
由余弦定理可得()()()()
2
2
2
22221223
cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，
解得13a -<<，则0<<3a ，
由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，
a Z ∈，故2a =.
20．（2021·北京高考真题）已知在ABC 中，2cos c b B =，23
C π
=． （1）求B 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．
①c =；②周长为4+ABC S ∆=； 【答案】（1）
6
π；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1）
2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，
2sin 2sin 3B π∴==，23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪
⎝⎭，220,3B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 23
B π
∴=
，解得6
B π
=
；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1
）可得sin 21sin 2
c C
b B
===，
与c =矛盾，故这样的ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得6
A π
=
，
设ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得2sin
6
a b R R π
===，
22sin
3
c R π
==，
则周长24a b c R ++==+ 解得2R =
，则2,a c ==
由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：
=；
若选择③：由（1）可得6
A π
=
，即
a b =，
则211sin 22ABC
S
ab
C a =
==
a =
则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：
==
. 21．（2021·全国高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边
AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.
（1）证明：BD b =；
（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠. 【答案】（1）证明见解析；（2）7
cos 12
ABC ∠=
. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有ac
BD b
=
，结合已知即可证结论. （2）由题设2,,33
b b
BD b AD DC ==
=，应用余弦定理求cos ADB ∠、cos CDB ∠，又ADB CDB π∠=-∠，可得42
2
21123
b b a a +=，结合已知及余弦定理即可求cos ABC ∠.
【详解】
（1）由题设，sin sin a C BD ABC =
∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即
sin sin C c
ABC b
=∠， ∴ac
BD b
=
，又2b ac =， ∴BD b =，得证.
（2）由题意知：2,,33
b b BD b AD DC ==
=， ∴222
22241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠
==⋅，同理2222
2
21099cos 2233
b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， ∵ADB CDB π∠
=-∠，
∴2222
22
1310994233
b b
c a b b --
=，整理得222
1123b a c +=，又2b ac =， ∴422
21123b b a a +=，整理得4224
61130a a b b -+=，解得2213a b =或2232
a b =，
由余弦定理知：2222
24cos 232a c b a ABC ac b
+-∠==-，
当2213
a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当223
2a b =时，7cos 12ABC ∠=；
综上，7
cos 12
ABC ∠=
. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB CDB π∠
=-∠得到,,a b c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ABC ∠.
22．（2021·浙江高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.
（1）求函数2
2y f
x π⎡
⎤
⎛
⎫=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的最小正周期；
（2）求函数()4y f x f x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.
【答案】（1）π；（2
）1+
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =-，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2
）由三角恒等变换可得sin 242
y x π⎛
⎫
=-
+ ⎪
⎝
⎭，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1
）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛
⎫=+=
+
⎪⎝
⎭
，
则2
2
23332sin 1cos 21sin 22442y f
x x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪
⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
⎣⎦⎛⎫ ⎪⎭⎦
⎝， 所以该函数的最小正周期22
T π
π=
=;
（2）由题意，()2sin 2sin 2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=-
=+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭ 2
222sin sin cos 2sin 2sin cos 22x x x x x x ⎛⎫=⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
1cos 2222222sin 2sin 2cos 2sin 22222242x x x x x π-⎛
⎫=⋅
+=-+=-+
⎪⎝
⎭， 由0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当242
x π
π
-
=
即38x π=
时，函数取最大值2
12
+
.
1．（2020·江苏高三一模）已知0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭，2sin 2cos 21αα=+，则3cos 2πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭
（ ） A ．
15
B 5
C 25
D ．5【答案】B
【分析】首先根据二倍角公式得到1tan 2
α=
，从而得到5sin α=，再利用诱导公式求解即可.
【详解】22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+⇒=， 因为0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以cos 0α≠，所以1tan 2
α=
. 因为0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以5
sin α=. 所以35cos sin 2παα⎛⎫
+== ⎪⎝⎭
故选：B
2．（2021·全国高三其他模拟（文））ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b A +=，若ABC 的周长为15，且三边的长成等差数列，则ABC 的面积为（ ）
A ．
214
B ．
154
C
D
【答案】D
【分析】利用正弦定理和余弦定理化简22cos a c b A +=可得222a c b ac +-=-，可得1
cos 2
B =-，故b 为最大边，由数列性质设5a t =-，5c =，5b t =+，再由余弦定理即可得解.
【详解】由余弦定理可得222
22cos 22b c a a c b A b bc
+-+==⋅，
整理得222a c b ac +-=-，
所以2221cos 22a c b B ac +-==-
，sin B =
， 故b 为最大边，
不失一般性，设5a t =-，5c =，5b t =+(0t >)， 代入222a c b ac +-=-得2t =， 所以3a =，5c =，ABC
的面积为1sin 2ac B =
， 故选：D.
3．（2021·福建高三其他模拟）已知π0,2θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且cos 2π5sin 4θθ=-⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，则tan 2θ=（ ）． A ．
7
24
B ．
247
C ．724
±
D ．247
±
【答案】D
【分析】由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得7cos sin 5
θθ+=
， 结合22cos sin 1θθ+=求出tan θ的值，再根据正切的二倍角公式即可.
【详解】
)22cos2cos sin 5s in 42
θθθπθ==+=-
⎛⎫- ⎪⎝⎭，
故7cos sin 5
θθ+=
， 又因为π0,
2θ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，且22
cos sin 1θθ+=． 故3cos 5
θ=
，4sin 5θ=或4cos 5θ=，3sin 5θ=，则4tan 3θ=或34，
故22tan 24tan21tan 7
θθθ==±-，
故选：D ．
4．（2021·全国高三其他模拟（文））设2log 0.3a =，0.32b =，sin 5
c π
=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．a b c <<
【答案】C
【分析】利用指数、对数三角函数的性质判定a ,b ,c 与0，1的大小关系，即可得到a ,b ,c 的大小关系. 【详解】22log 0.3log 10a =<=，0.30221b =>=，sin (0,1)5
c π
=∈，
所以a c b <<， 故选：C.
5．（2021·全国高三其他模拟（文））已知
32
2
π
π
θ<<
，sin 2cos 1θθ-=，则tan θ=（ ）
A B ．
34
C ．
D ．34
-
【答案】B
【分析】根据同角三角函数关系式直接计算即可. 【详解】
sin 2cos 1θθ-=，
sin 2cos 1θθ∴=+，
两边同时平方可得22sin 4cos 4cos 1θθθ=++， 又22sin cos 1θθ+=， 故25cos 4cos 0θθ+=，
解得4
cos 5
θ=-或cos 0θ=， 又
32
2
π
πθ<<
， 4cos 5θ∴=-
，3sin 5θ=-，3tan 4
θ=， 故选：B.
6．（2021·全国高三其他模拟（文））把函数()()sin 3f x x ϕ=+的图象向左平移
5π
12
个单位后，得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =是偶函数，则下列数中可能是ϕ的值的为（ ）
A ．
3π
4
B ．
π3
C ．
π6
D ．
π4
【答案】D
【分析】由平移变换写出变换后函数解析式，再根据诱导公式得出结论． 【详解】由题意55()sin 3sin 3124g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫
=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 它为偶函数，则5,42k k Z ππϕπ+=+∈，3,4k k Z πϕπ=-∈，只有1k =时4
π
ϕ=满足． 故选：D ．
7．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））将函数sin 26y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象向左平移
6
π
个单位长度得到函数()y f x =的图象，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数
B ．()f x 的周期是
2
π C ．()f x 的图象关于直线12
x π
=-对称
D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 【答案】D
【分析】利用三角函数图象变换可得函数()y f x =的解析式，然后利用余弦型函数的基本性质逐项判断可得出正确选项.
【详解】由题意可得()2sin 22sin 22cos 2662f x x x x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫=+
+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， 对于A ，函数()y f x =是偶函数，A 错误：
对于B ，函数()y f x =最小周期是22
π
π=，B 错误；
对于C ，由12f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
，则直线12x π=-不是函数()y f x =图象的对称轴，C 错误； 对于D ，由04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则,04π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
是函数()y f x =图象的一个对称中心，D 正确. 故选：D.
8．（2020·江苏高三一模）已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数
为()g x ，若3g π⎛⎫
= ⎪⎝⎭118f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
__________.
【分析】由题意求出=0=22A ϕω=，，，进而得出函数()f x 的解析式，将118
x π
=
代入()f x 即可. 【详解】函数()=sin()(00)f x A x A ωϕωϕπ+>><，，
是奇函数，则=0ϕ， 因为()f x 的最小正周期为π，所以=2ω，
将()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)， 所得图像对应的函数为()=sin g x A x ，
又()3
g π=，所以sin
3
A π
=，解得2A =，
所以()=2sin 2f x x
所以1111(
)2sin 84
f ππ
==
9．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos a b C =，则B =___________. 【答案】
2
π 【分析】本题可通过余弦定理得出结果. 【详解】由余弦定理易知：
222
cos 2a b c a b C b ab
+-==⨯
，即222a c b +=， 则ABC 是以角B 为直角顶点的直角三角形，2
B π
=，
故答案为：
2
π. 10．（2021·贵州省瓮安中学高三其他模拟（文））已知过球面上三点、、A B C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且6,4AB BC AC ===，则球面面积为__________. 【答案】54π
【分析】利用余弦定理求得cos B ，进而得到sin B 的值，利用正弦定理求得△ABC 的外接圆半径，进而利用球的截面圆心与球心的连线垂直于截面，利用直角三角形中边角关系求得外接球的半径，利用球的面积公式计算即可.
【详解】如图所示，设外接球O ,截面圆圆心为1O ,连接11,,BO BO OO ,则11OO BO ⊥.
2226647cos 2669
B +-==⨯⨯,
∴sin B =
,
∴12sin AC BO B =
=
∵12OB OO =, ∴16
OBO π
∠=
,
∴
12cos
6
BO BO π
=
=
∴球的面积为2454S R ππ==, 故答案为：54π
11．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”．他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”．世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜帮，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用
公式2222221(
)42⎡⎤
+-=-⎢⎥⎣⎦
c a b S c a a ，b ，c ，S 为三角形的三边和面积）表示．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若3a =，且2
2cos cos 3
c b C c B -=则ABC 面积的最大值为______．
93
【分析】利用余弦定理化简已知条件得到,b c 的关系式，将,b c 的关系式代入所给的面积公式中，将面积S 转化为关于c 的函数形式，根据二次函数的对称轴求解出面积的最大值即可.
【详解】因为22cos cos 3c b C c B -=，所以22222222223
a b c a c b c a a +-+--=
， 所以222
233
b c c -=
，所以223b c =， 所以()
222
22219319()42243944ABC
c c c S
c ⎡⎤+-⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣--+⎦
所以当29c =时，ABC S
有最大值为()max 124393
44ABC S
=
⋅=
， 93
. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于余弦定理边角互化的运用以及对新的三角形面积公式的分析，先通过余弦定理分析边之间的关系，再根据二次函数模型求解最值.
12．（2020·全国高三其他模拟（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B b A +=，
2b =，c =a =___________.
【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理即可直接求解. 【详解】解：因为asin cos 0B b A +=， 由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A +=， 因为0,
2B π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,所以sin 0B >， 所以sin cos 0A A +=，又0,2A π⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
,所以34A π=，
因为2b =，c =
由余弦定理得2222
cos
22b c a A bc +-=-==
，
解得：a =
.
【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．
13．（2020·江苏高三一模）已知函数()cos 2cos 2sin 2sin 26633f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-++++--
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
（1）求函数()f x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域； （2）设在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且()1f A =，1a =，求ABC 的面积S 的最大值.
【答案】(1)⎡⎤⎣⎦；(2)
14
【分析】(1)利用两角和与差的三角函数化简函数得到()=2sin(2)3
f x x π
+
，结合角的范围，求出相位的范
围，再求函数()f x 的值域.
(2)利用余弦定理和基本不等式化简即可推出ABC 的面积的最大值. 【详解】(1)由函数()=cos 2cos 2sin 2sin 2=2sin 266333f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-++++--+
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
因为]2
[0x π∈，，所以42[]333
x π
ππ
+
∈，， 即()f x
的值域为[2]； (2)由题意知，在锐角ABC 中
()=2sin(2)1=34
f A A A ππ
+=⇒，又1a =，
由余弦定理和基本不等式可得
2222cos 2(1cos )a b c bc A bc A =+-≥-，
有
12bc ≤
=+
，当且仅当b c =时等号成立，
所以11sin (122S bc A =
≤+=
即ABC 的面积S
. 14．（2021·陕西高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∠的平分线交线段AC 于点D
，且sin BD A =. （1）求cos ABC ∠；
（2）若3a c =，4b =，求ABC 的面积. 【答案】（1）
1
3
；（2
）【分析】（1）在ABD △中，利用正弦定理
sin sin BD AD
A ABD
=∠
，结合sin BD A =求解； （2）在ABC 中，根据3a c =，4b =，利用余弦定理求得a ，c ，再利用三角形的面积公式求解. 【详解】（1）如图所示：
在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AD
A ABD
=∠， 因为3sin BD AD A =， 所以3sin ABD ∠=
所以2
1sin c 3
os 12A AB C D B -∠∠=
=； （2）在ABC 中，因为3a c =，4b =， 由余弦定理得：2222cos b a c a ABC =+-∠， 解得2,32c a =
=
所以ABC 的面积是1
sin 2
S ac ABC =
∠， 122322222=⨯=. 15．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积为
315
16
，11cos 16B =，
（1）求边b 的最小值； （2）若19
sin sin 14sin 4
=-
+b B A C ，求ABC 的面积. 【答案】（1）
3158；（2）
315
4
. 【分析】（1）根据
sin sin =≥b c
c B C
建立不等关系求解即可； （2）由正余弦定理及三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）2315
sin 1cos B B =-=
，
1sin 2ABC S ac B =
==△， 所以2c =，
由
sin sin =≥b c c B C ，得sin ≥⋅b c B =，
所以b ； （2）由19
sin sin 14sin 4
=-
+b B A C 及正弦定理， 得2
19
144
=-
+b a c ， 由余弦定理及2c =，得222
1144cos 44
=+-⋅=+-
b a a B a a ， 所以19284-
+a 211
44
=+-a a ，即22240a a +-=， 解得4a =.
∴1sin 2ABC S ac B =
=
△16．（2021·全国高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos 2cos C a c
B b
-=
. （1）求证：三内角A ，B ，C 成等差数列；
（2）若ABC 2sin 3sin A C =，求ABC 的周长.
【答案】（1）证明见解析；（2）5
【分析】（1）由正弦定理化边为角后，利用两角和的正弦公式及诱导公式变形求得B 角后可证得结论； （2）由三角形面积求得ac ，再由正弦定理得23a c =，可解得,a c ，用余弦定理求得b 后可得周长． 【详解】（1）由正弦定理得
cos 22sin sin cos sin C a c A C
B b B
--==. cos sin 2sin cos sin cos C B A B C B =-，2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B C B C B B C A =+=+=，
又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2
B =，(0,)B π∈，所以3B π
=，
所以223
3
A C
B π
π
π+=-
=
=，所以,,A B C 成等差数列；
（2）由题意11sin sin 223ABC S ac B ac π=
==
△6ac =， 又2sin 3sin A C =，由正弦定理得23a c =，
由623ac a c =⎧⎨=⎩，解得3
2a c =⎧⎨=⎩
（边长为正，负的舍去），
b ===
所以三角形周长为5a c b ++=
17．（2021·全国高三其他模拟（文））已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
()()()sin sin sin 0a c A C B a b -+--=.
（1）求C ；
（2）若ABC
S
=2c =，求ABC 周长.
【答案】（1）3
C π
=
；（2）2.
【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出C 的值；
（2）先根据三角形的面积公式求解出ab 的值，然后根据余弦定理求解出a b +的值，由此可求解出ABC 周长值.
【详解】（1）因为()()()sin sin sin 0a c A C B a b -+--=，所以()()()0a c a c b a b -+--=， 所以2220a c ab b --+=，所以222222cos c a b ab a b ab C =+-=+-， 所以2cos 1C =且()0,C π∈，所以3
C π
=；
（2）因为1
sin 2
ABC
S
ab C =
=8ab =， 又因为()2
222
2cos 34c a b ab C a b ab =+-=+-=，
所以()2
384a b +-⨯=，所以a b +=
所以周长为2a b c ++=.
18．（2021·全国高三其他模拟（文））已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 且
cos cos 2cos a B b A c C +=；
（1）求角C ；
（2）如图，边AB 的垂直平分线ED 交AB 于E ，交边AC 于,3,10D AE BC ==AD 长． 【答案】（1）3
C π
=
；（2）22AD =．
【分析】（1）由正弦定理得:sin cos cos sin 2sin cos A B A B C C +=，化简计算即可求得结果； （2）由已知可得223AB AE ==ABC 中，由正弦定理可求得sin A ，在Rt AED △中，由
cos AE
AD A
=
计算即可求得结果. 【详解】（1）cos cos 2cos a B b A c C +=，
由正弦定理得:sin cos cos sin 2sin cos A B A B C C +=， 则()sin 2sin cos ,A B C C A B C π+=++=，即1
cos 2
C =， 又C 是锐角三角形的内角，故;3
C π
=
（2）
,AD DB ADB =∴是等腰三角形，
且A ∠是一个底角，故0,2
A E π
<<为AB 的中点，则223AB AE == 在ABC 中，23,,103
AB C BC π
==
=，
由正弦定理得
3
sin 102:sin 1023
C A BC AB =⋅==
故6cos A =
，故在Rt AED △中，22cos AE AD A =
= 19．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c ，已知sin A A =30，27a =2b =．
（1）求角A 和边长c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD 为角A 的平分线，试求三角形ABD 的面积；
（3）在（2）的条件下，点E 为线段BD 的中点，若AE AB AC λμ=+，分别求λ和μ的值． 【答案】（1）23A π=
；4c =；（2）4
33；（3）23λ=，13
μ=． 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可得tan 3A =-，结合()0,A π∈，可求A 的值，进而根据余弦定理可求c 的值． （2）由角平分线的性质可知：
2BD AB DC AC
==，进而根据三角形的面积公式即可求解． （3）由题意可得2CE EB =，根据平面向量的基本定理、共线定义以及平面向量的运算可得
21
33
AE AB AC =
+，即可得,λμ的值． 【详解】（1）因为tan 3A =-，∴2
3A π=
在ABC 中，由余弦定理得22844cos120c c =+-°，∴4c = （2）由角分线性质知：
2BD AB c DC AC a ===，所以2
3
BD BC = 过A 做AE 垂直BC 于E 点，
则11
,22ABD ABC S AE BD S AE BC =⋅=⋅△△ 所以24333
ABD
ABC S S ==△△（3）由题意可知：
()
22CE EB AE AC AB AE =⇒-=-
32AE AB AC ⇒=+
21
33AE AB AC ⇒=
+， ∴23λ=，13μ=.
【点睛】关键点点睛：在解决第（2）问时，要注意内角角平分线定理的使用，这是解决这题的关键. 20．（2021·吉林松原市·高三月考）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin B a =+.
（1）若4
B π
=
，c =ABC 的面积；
（2）若2
6cos 26a B c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，求角C .
【答案】（1）3（2）12C π=
或712
C π
=
. 【分析】（1）结合正弦定理、同角的商数关系以及恒等变换，然后化简求3
A π
=，进而结合面积公式即可求解；
（2）结合正弦定理以及恒等变换，然后化简求值即可. 【详解】在ABC 中，由正弦定理得
sin sin sin a b c A B C ==，且sin tan cos B B B
=，
sin B a =+
sin B a -=)sin sin cos cos sin B C C B A -=，
所以()sin B C A +=，
而A B C π=--sin A A =，即tan A =
A 为ABC 内角，0A π∴<<，3
A π∴=
. （1）
4
B π=
，512C π∴=，
由正弦定理得
sin sin b c B C
=，b ∴= 11π
sin sin 3223
bc A ∴=⨯⨯=+
ABC ∴的面积为3+（2）由2
6cos 26a B c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，得22
212sin B a c =，
在ABC 中，由正弦定理得
sin sin sin a b c
A B C ==，且3
A π=，
1sin sin 4
B C ∴=， 2
π3
B C =
-，
22π1
1sin sin sin cos 32
4C C C C C ⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭，
()11
1cos2444
C C -+=，
cos2C C ，得tan2C =
4π20,3C ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，π26C ∴=或7π26C =，
1π2C ∴=
或712
C π=
.
21．（2021·福建高三三模）在ABC 中，AB =，AC 45B =︒. （1）求ABC 的面积；
（2）在边BC 上取一点D ，使得4
cos 5
ADB
，求tan DAC ∠. 【答案】（1）
32
；（2）2
11.
【分析】法一：（1）由已知利用余弦定理可得2230BC BC --=，解方程可得BC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.
（2）在ABC 中，由正弦定理得sin C 的值，利用同角三角函数基本关系式可求tan C ，3
tan 4
ADB ∠=，进而根据两角差的正切公式即可求解tan DAC ∠的值.
法二：（1）同解法一.（2）在ABC 中，由正弦定理可求sin BAC ∠，利用同角三角函数基本关系式可求
tan BAC ∠，3
tan 4
ADB ∠=
，进而利用两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】解：法一：
（1）由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，
由题设知252cos45BC BC =+-⋅︒，
所以2230BC BC --=，又0BC >， 所以3BC =，
所以113sin 32222
ABC S AB BC B =
⋅⋅=⨯=△. （2）在ABC 中，由正弦定理得
sin sin AB AC
C B
=，
所以
sin sin AB B
C AC
⋅=
==， 又AB AC <，所以04C π
<<
，所以1tan 2
C =
， 在ABD △中，4
cos 5
ADB ，
所以3tan 4
ADB ∠=
， 因为DAC ADB C ∠=∠-∠，
所以31tan tan 242tan tan()311tan tan 11
142
ADB C DAC ADB C ADB C -
∠-∠∠=∠-∠=
==+∠⋅∠+⨯. 法二： （1）同解法一.
（2）在ABC 中，由正弦定理得
sin sin BC AC
BAC B
=∠，
所以
3sin 2sin 5BC B
BAC AC
⨯
⋅∠=
== 因为AB AC <，4
B π
=
，所以04
C π
<<
，所以2
BAC π
∠>
.
所以tan 3BAC ∠=-， 在ABD △中，因为4
cos 5ADB
，所以3tan 4
ADB ∠=. 在ABD △中，()BAD B ADB π∠=-∠+∠，
所以tan tan tan tan()1tan tan B ADB BAD B ADB B ADB ∠+∠∠=-∠+∠=-
-∠⋅∠3
1473114
+
=-=--⨯， 因为DAC BAC BAD ∠=∠-∠， 所以tan tan tan tan()1tan tan BAC BAD DAC BAC BAD BAC BAD ∠-∠∠=∠-∠=
+∠⋅∠3(7)21(3)(7)11
---==+-⨯-.
【点睛】关键点睛：本小题关键是正弦定理､余弦定理､两角和差公式等基础知识的运用，考查运算求解能力.考查化归与转化思想等.
22．（2021·广东高三其他模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos a c B b C -=．
（1）求B 的大小；
（2）如图，在AC 边的右侧取点D ，使得24AD CD ==，若b c =，求当ADC ∠为何值时，四边形ABCD 的面积最大，并求其最大值． 【答案】（1）3
B π
=
；（2）当56
ADC π
∠=
时，四边形ABCD 的面积取得最大值853+． 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后求解出cos B 的值，则B 的大小可求； （2）设ADC α∠=，利用余弦定理表示出2AC ，再分别表示出,ABC
ADC
S
S
，将四边形ABCD 的面积表
示为α的函数，利用辅助角公式以及三角函数的性质求解出面积的最大值以及对应ADC ∠的大小. 【详解】（1）在△ABC 中，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 所以2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+， 所以2sin cos sin A B A =． 因为sin 0A ≠，所以1
cos 2
B =． 又0B π<<，故3
B π
=
．
（2）由（1）知，3
B π
=
且AB AC =，所以△ABC 为等边三角形．
设ADC α∠=，则在△ACD 中，由余弦定理得216416cos 2016cos AC αα=+-=-， 所以211
sin 5343cos ,42sin 4sin 23
2
ABC
ACD
S
AC S π
ααα=
⨯⨯=-=
⨯⨯=， 四边形ABCD 的面积5343cos 4sin 538sin 3S πααα⎛⎫
=-+=+- ⎪⎝
⎭
． 因为0απ<<，所以23
3
3
π
π
πα-<-
<
． 当3
2
π
π
α-
=
，即56
π
α=
时，max 853S =+． 所以当56
ADC π
∠=
时，四边形ABCD 的面积取得最大值853+． 23．（2021·银川市第六中学高三其他模拟（文））如图，在ABC 中，点D 是边BC 上的一点，2AD DC ==，
4BD =，3AC =.
（1）求ACD △的面积； （2）求sin BAC ∠. 【答案】（137（2）
14
4
【分析】（1）利用余弦定理求cos ACD ∠，再求sin ACD ∠，利用面积公式计算即可. （2）根据余弦定理求出AB ，再依据正弦定理即可求解. 【详解】（1）在ACD △中，因为2AD DC ==，3AC =，
由余弦定理得2222323
cos 2234
ACD +-∠==⨯⨯，
所以2
2
37sin 1cos 14ACD ACD ⎛⎫∠=-∠=-= ⎪⎝⎭
，
又由2DC =，3AC =，所以1737
232ACD S ∆=
⨯⨯=
. 2（）在ABC 中，由余弦定理得222633
cos 2634
AB ACB +-∠==⨯⨯，解得32AB =。