2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第八章 立体几何与空间向量8.5

大一轮复习讲义
第八章立体几何与空间向量
§8.5　直线、平面垂直的判定与性质
NEIRONGSUOYIN
内容索引基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
课时作业
1基础知识 自主学习PART ONE
知识梳理1.直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l 与平面α内的 直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面.
ZHISHISHULI 任意一条
(2)判定定理与性质定理
文字语言图形语言符号语言
判定定理一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直
性质定理垂直于同一个平面
的两条直线_____
a，b⊂
α
a∩b＝O
l⊥a
l⊥b
a⊥α
b⊥α
相交
平行
2.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和 所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所
成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ，若一条直线和平面平
行，或在平面内，它们所成的角是
的角
.它在平面上的射影直角0°
3.平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面
内分别作
的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是
，就说这两个平面互相垂直.两个半平面垂直于棱直二面角
文字语言图形语言符号语言
判定定理一个平面过另一个平面的
，则这两个平面垂直
性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于的直线与另一个平面垂直
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
垂线
交线
【概念方法微思考】
1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？
提示　垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面.
2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示　垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面.
基础自测JICHUZICE
题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(
)(3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .(
)(4)若α⊥β，a ⊥β，则a ∥α.( )
(5)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直.(
)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(
)××√××√
题组二　教材改编
2.[P73T1]下列命题中错误的是
A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
√
D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析　对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的.
3.[P67练习T2]在三棱锥P －ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O .
(1)若P A ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的_____
心；解析　如图1，连接OA ，OB ，OC ，OP ，
在Rt △POA ，Rt △POB 和Rt △POC 中，P A ＝PC ＝PB ，
所以OA ＝OB ＝OC ，即O 为△ABC 的外心.
外
(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的____心.
解析　如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，P A，PB⊂平面P AB，
∴PC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，∴PC⊥AB，
∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.
同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.
垂
题组三　易错自纠
4.(2018·台州模拟)若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的
√
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析　由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；
若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，
因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.
5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是
√
A.与AC，MN均垂直
B.与AC垂直，与MN不垂直
C.与AC不垂直，与MN垂直
D.与AC，MN均不垂直
解析　因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，
又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.
设正方体的棱长为2，
所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.
6.如图所示，AB 是半圆O 的直径，VA 垂直于半圆O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，则下列结论正确的是
A.MN ∥AB
B.平面VAC ⊥平面VBC
C.MN 与BC 所成的角为45°
D.OC ⊥平面VAC
解析　由题意得BC ⊥AC ，因为VA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
所以VA ⊥BC .
因为AC ∩VA ＝A ，所以BC ⊥平面VAC .
因为BC ⊂平面VBC ，所以平面VAC ⊥平面VBC .故选B.√
2题型分类　深度剖析PART TWO
题型一　直线与平面垂直的判定与性质
例1　如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3，BC ＝2，D 是BC 的中点，F 是CC 1上一点.当CF ＝2时，证明：B 1F ⊥平面ADF .师生共研。