数列中的不定方程 Word版含解析

数列中的不定方程问题
数列中的子列存在性问题常常转化成一个不定方程问题来求解，此时把握住不定方程中数的离散性特征，通常配合一定的方法即可有效解决，本文梳理了几类常见的求解方法，供大家参考.
1.因式分解法
通过对所求不定方程进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，利用整数的离散性，进而解出变量.
例1. 设n a a a ,,,21⋅⋅⋅是各项均不为零的)4(≥n n 项等差数列，且公差0≠d ，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：求证：对于给定的正整数)4(≥n n ,存在一个各项及公差均不为零的等差数列n b b b ,,,21⋅⋅⋅，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
证明：假设对于某个正整数n ，存在一个公差为d 的n 项等差数列n b b b ,...,,21，其中
)10(,,111-≤<<≤+++n z y x b b b z y x 为成等比数列的三项，则112
1+++⋅=z x y b b b ，即
)()()(1121zd b xd b yd b +⋅+=+，化简得12)2()(b y z x d xz y -+=-. ①
由01≠d b 知，xz y -2
与y z x 2-+同时为0或同时不为0；当xz y -2
与y z x 2-+同时为0时，有z y x ==，与题设矛盾.故xz y -2
与y z x 2-+同时不为0，所以由①得
y
z x xz y d b 221-+-= 因为10-≤<<≤n z y x ，且z y x ,,为整数， 于是，对于任意的正整数)4(≥n n ，只要d
b 1
为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列.
例2 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且16,132435==-S a a . （1）求数列}{n a 的前n 项和n S ；
（2）是否存在正整数)2(,>>m n n m ，使得m n m S S S S S --,22，成等比数列？若存在，求出所有的n m ,；若不存在，请说明理由.
解析（1）2
n S n =，过程略.
（2）假设存在正整数n m ,，)2(>>m n ，使得m n m S S S S S --,,22成等比数列，则
)()(222m n m S S S S S -⋅=-，即)(4)4(2222m n m -=-，所以12)2(4222+-=m n ，即
12)2(4222=--m n ，即12)22)(22(22=-++-m n m n .因为2>>m n ，所以
3,4≥≥m n ，所以15222≥-+m n .因为222+-m n 是整数，所以等式 12)22)(22(22=-++-m n m n 不成立，故不存在正整数)2(,>>m n n m ，使得 m n m S S S S S --,,22成等比数列.
例3．已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S =． （1）求d 及n S ；
（2）求m ，*(,)k m k N ∈的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=．
解：（1）由11a =，2336S S =得，12123()()36a a a a a +++=，即(2)(33)36d d ++=，化为 23100d d +-=，解得2d =或5-，又公差0d >，则2d =，
所以2*1(1)
()2
n n n S na d n n N -=+
=∈． （2）由（1）得，12(1)21n a n n =+-=-，由1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=得，
(1)()
652
m m k k a a +++=，
即(1)(21)65k m k ++-=，又m ，*k N ∈，则(1)(21)513k m k ++-=⨯， 或(1)(21)165k m k ++-=⨯，下面分类求解： 当15k +=时，2113m k +-=，解得4k =，5m =；
当113k +=时，215m k +-=，解得12k =，3m =-，故舍去； 当11k +=时，2165m k +-=，解得0k =，故舍去；
当165k +=时，211m k +-=，解得64k =，31m =-，故舍去；综上得，4k =，5m =．
2.不等式分析法
很多存在性问题，其中的项数均有范围，此时将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值.
例4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）数列{}n b 满足141
n n n b T S =
-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，
()1k m k <<，使得2
3k m T T =若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得11
2512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11
2a d =⎧⎨=⎩，
()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；
（2）()2122
n n n S n n -=+
⨯=，2111141
22121n b n n n ⎛⎫
∴=
=
- ⎪--+⎝⎭
，1211111
111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=
-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，
若23k m T T =，则()2
232121k m k m =++，整理得2
23412m k m m =+-，又1k m >>，2
234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩
，整理得2221
04121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩
，解得11m <<+*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=，∴存在
2,12m k ==满足题意．
例5．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足2
21n
n a S -=， 1
1
n n n b a a +=
． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ；
（2）在数列{}n b 中，是否存在正整数m ，(1)n m n <<，使得1T ，m T ，n T 依次成等比数列？ 若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）：1n =时，21110a S a ==≠，解得11a =．2n =时，2
23a S =，2(1)33d d ∴+=+，
解得2d =或1-．1d =-时，20a =，舍去．2d ∴=．12(1)21n a n n ∴=+-=-， 111111
()(21)(21)22121
n n n b a a n n n n +=
==--+-+ 由111111(1)2335212121
n n
T n n n =-+-+⋯+-=
-++， （2）由（1）知，21n n T n =
+，113T ∴=，21
m m
T m =+，若1T ，m T ，n T 依次成等比数列， 则21()21321m n m n =++，整理可得22
3241
m m n m
-++=，22410n m ∴-++>，
解得11m <<，又m N ∈，且1m >，所以2m =，此时12n =． 故可知：当且仅当2m =，12n =使数列{}n T 中的1T ，m T ，n T 成等比数列．
例6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足233n n S a =-，数列{}n b 的前n 项和n T 满足111n n
T T n n
+=++且11b =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）数列{}n S 中是否存在不同的三项p S ，q S ，r S ，使这三项恰好构成等差数列？若存在， 求出p ，q ，r 的关系；若不存在，请说明理由． 解析：（1）3n n a ∴=，21n b n ∴=-．
（2）由（1）知{}n a 是以3为首项，以3为公比的等比数列，13(13)33132
n n n S +--∴==
-． 假设数列{}n S 中存在不同的三项p S ，q S ，r S ，使这三项恰好构成等差数列，
2p r q S S S ∴+=．即11133333322P r q +++--+=-．∴11
13332
p r q ++++=．即3323p r q +=．
332p q r q --∴+=，
p ，q ，r 互不相同，不妨设p q r <<，则1r q -，
3332p q r q --∴+≠，与332p q r q --+=矛盾，∴数列{}n S 中不存在不同的三项p S ，q S ，r S ， 使这三项恰好构成等差数列．存在5
11p q =⎧⎨=⎩
或627p q =⎧⎨=⎩，使得3T ，p T ，q T 成等差数列．
3.奇偶分析法
奇偶分析对于某些不定方程，可从不定方程等式两边的符号和奇偶性角度分析，寻求矛盾来否定存在性，或构造等量关系来肯定存在性.
例7. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足)(12*
N n a S n n ∈-=，数列}{n b 满足
))(1()1(*1N n n n b n nb n n ∈+=+-+，且11=b .
（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
（2）是否存在正整数n m ,，使)1(,,1>n b a b n m 成等差数列？若存在，求出所有满足条件的
n m ,；若不存在，请说明理由.
解析：（1）2
1,2n b a n n n ==-
（2）假设存在正整数)1(,>n n m ，使n m b a b ,,1成等差数列，则m n a b b 21=+，即m
n 212=+.若n 为偶数，则21n +为奇数，而m 2为偶数，上式不成立.若n 为奇数，设)(12*
N k k n ∈-=，则m
k k k n 2244)12(112
2
2
=+-=-+=+，于是1
22122-=+-m k k ，即
1221)(2-=+-m k k .当1=m 时，1=k ，此时112=-=k n 与1>n 矛盾；当2≥m 时，上
式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立.综上所述，满足条件的正整数n m ,不存在. 例8．在数列{}n a 中，10a =，*122()n n a a n N +=+∈． （1）设2n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式；
（2）{}n a 中是否存在不同的三项p a ，q a ，(r a p ，q ，*)r N ∈恰好成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的关系；若不存在，说明理由．
解析：（1）112(22)22(2)2n n n n n b a a a b ++=+=++=+=，又1122b a =+=，
所以，数列{}n b 是首项为2、公比为2的等比数列，所以数列{}n b 的通项公式为2n n b =． （2）由（1）得22n n a =-．假设{}n a 中是否存在不同的三项p a ，q a ，(r a p ，q ，*)r N ∈恰好成等差数列，不妨设p q r <<，则(22)(22)2(22)p r q -+-=-，于是1222p r q ++=，所以1122r p q p --++=．因p ，q ，*r N ∈，且p q r <<，所以12r p -+是奇数，12q p -+是偶数，
1122r p q p --++=不可能成立，所以不存在不同的三项p a ，q a ，r a 成等差数列．
4.函数值域法
可将所求不定方程转化为一个是自变量，一个是因变量的函数形式，利用函数求值域的方法找到可能的结果.
例9.设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2
222
234577a a a a ,S +=+=
（1）求数列
{}n a 的通项公式及前n 项和n
S
；
（2）试求所有的正整数m ，使得
12
m m m a a a ++为数列
{}n a 中的项.
解析：（1）设{}n a 的公比为q ，则有2
111848
a q a a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得12q =，或1
3q =-（舍)．
则12832a q =
=，16132()22
n n n a --==，6224log 4log 2424n
n n b a n -===-+．
即数列{}n a 和{}n b 的通项公式为161
32()22
n n n a --==，424n b n =-+．
（2）12(244)(204)4(6)(5)(164)(4)
m m m b b m m m m b m m ++----==
--，令4(3,)t m t t Z =-∈， 所以
124(6)(5)4(2)(1)2
4(3)(4)m m m b b m m t t t b m t t
++--++===++-，如果12m m m b b b ++是数列{}n b 中的项，
设为第0m 项，则有024(3)4(6)t m t ++=-，那么2
3t t
++为小于等于5的整数，
所以{2t ∈-，1-，1，2}．当1t =或2t =时，2
36t t
++
=，不合题意；当1t =-或2t =-时，2
30t t
++=，
符合题意．所以，当1t =-或2t =-时，即5m =或6m =时，12m m m b b b ++是数列{}n b 中的项.。