山东省单县一中2016届高三下学期二模考前模拟考试数学(理)试题 含答案

2016年高三模拟考试
理科数学
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页.满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1。

已知复数z 满足2,z i i i ⋅=-为虚数单位,则z 的共轭复数z 为 A 。

12i --
B 。

12i +
C 。

2i - D.
12i -+
2.集合(){}lg 10M x x =-<，集合{}11N x x =-≤≤，则M N ⋂= A 。

()0,1 B. [)0,1 C 。

[]1,1- D. [)1,1-
3.已知平面向量()()()
2,,1,3a m b a b b
=-=-⊥且，则实数
m 的值为
A 。

-
B.
C.
D.
4. 3.函数()31
log f x x
=
的定义域为 A. {}x x <1 B 。

{}0x x <<1 C 。

{}01x x <≤ D. {}x x >1 5.“2a =”是“函数()2
22f x x
ax =+-在区间(],2-∞-内单调递减”的
A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 已知0a b >>，椭圆1
C 的方程为
22
22
1x y a b +=，双曲线2
C 的方程为
22
12221,y x C C a b -=与
的离心率之积为2
，则2C 的渐近线方程为 A 。

0y ±=
B 。

0x =
C 。

20x y ±=
D 。

20x y ±=
7. 执行如图所示的程序框图，
如果输入的x y R ∈、，那么输出的
S 的最大
值为
A 。

0
B 。

1 C.2 D.3
双曲线22
21
16
x y a -=8。

已知抛物线2
8y
x =的准线与
相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形,则双曲线的离心率为
A.3 B 。

2 C 。

6
D.
3
9. 定义在R 上的函数f （x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f （x ）的导函数，当x ∈［0，π]时,0＜f （x ）＜1,当x ∈(0,π）且x ≠2
π时，
(x －2
π）()f x '＞0，则函数y ＝f(x ）－sinx 在［－3π，π］上的零点
个数为
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 10.若实数,,,a b c d 满足()()2
2
2
3ln 20b a a c d +-+-+=，则()()
2
2
a c
b d -+-的最小值为
A 。

2 B.8 C. 22 D 。

2
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11。

()()5
2132x x --的展开式中，含x 次数最高的项的系数是
_________(用数字作答)。

12.设,x y 满足约束条件24,,0,0,x y x y m x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩
当35m ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大
值的取值范围是________.
13．函数()x
y x a e =+在0x =处的切线与直线10x y ++=垂直,则a 的值为
_______.
14．若不等式222x y +≤所表示的平面区域为M ，不等式组0
026x y x y y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩
表示
的平面区域为N ,现随机向区域N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域M 内的概率为________． 15．抛物线2
8y
x =的准线与x 轴相交于点P ，
过点P 作斜率为()0k k >的直线交抛物线于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若||2||FA FB =,则
k =。

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16。

（本小题满分12分）
在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos 0a b C c B --=. (I)求角C 的值；
(II ）若三边,,a b c 满足13,7a b c +==，求ABC ∆的面积。

17．(本题满分12分） 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位：人)
（I ）能否据此判断有97。

5%的把握认为视觉和空间能力与性别
有关？
（II ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟,女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．
（III ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X ， 求X 的分布列及数学期望()E X ． 附表及公式
18. （本小题满分12分）
在三棱柱111
ABC A B C -中，侧面11
ABB A 为矩形，12,22AB AA ==,D 是1
AA 的中点，
BD 与1
AB 交于点O ，且CO ⊥平面11
ABB A 。

（I ）证明：1
BC AB ⊥；
（II ）若OC OA =,求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值。

19。

（本小题满分12分） 已知数列{}n
a 前n 项和n
S 满足：21n
n S
a +=。

（I ）求数列{}n
a 的通项公式；
（II)设()()
1
1211n n
n n a b
a a ++=
++，数列{}n b 的前
n 项和为n
T ,求证:1
4
n
T
<。

20。

（本小题满分13分） 已知函数()ln x f x x =.
(I ）记函数()()2
1,22F x x
x f x x ⎛⎫
⎡⎤=-⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，求函数()F x 的最大值；
(II ）记函数()(),,
2,0x
x s e H x f x x s ⎧≥⎪=⎨
⎪<<⎩
，若对任意实数k,总存在实数0
x ，使得
()0=H x k 成立,求实数
s 的取值集合.
21。

（本题满分14分)已知椭圆
C:2222
x y a b
+=1（a 〉0,b 〉0）的两焦点与
短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+22一
1=0与以
椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． （I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线
CD ，CB ，OB,OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4． （i)求k 1k 2的值: (ii ）求OB 2+ OC 2的值．
2016年高三模拟考试
理科数学答案
1.D 2。

A 3。

B 4.C 5。

A 6. A 7. C 8.A 9.B 10。

B
二、
填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.
11。

64;- 12. []7,8； 13． 0 14．24π
15． 223
三、解答题:本大题共6小题，共75分.
16。

解：（Ⅰ）已知0cos cos )2(=--B c C b a 可化为
0cos sin cos )sin sin 2(=--B C C B A ，
…………………………3分
整理得B C C B C A cos sin cos sin cos sin 2+=
A C
B sin )sin(=+=， ,0sin π,0≠∴<<A A 2
1
cos =
∴C ， 又
.3
ππ,0=
∴<<C C …………………………6分
（Ⅱ)由（Ⅰ）21cos =C ，又,7,13==+c b a
所以由余弦定理ab ab b a C ab b a c 31693)(cos 22222
-=-+=-+=，
ab 316949-=∴，即40=ab ,
…………………………9分
所以3103
π
sin 4021sin 21=⨯⨯==
∆C ab S
ABC
．…………………………12分
17．解：(Ⅰ)由表中数据得的观测值
所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有
关。

）………3分 (Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件
满足的区域为
(如图所示)
设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 (5)
分
由几何概型
即乙比甲先解答完的概率.……7分
(Ⅲ）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人,抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种;恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种
可
能
取
值
为
，
, ………8分
，
………9分
………10分 的分布列为：
1。

-
………12分
18.解：(1）由题意2
tan AD ABD AB
∠==
112tan AB AB B BB ∠==, 又0ABD <∠，1
2
AB B π∠<，1
ABD AB B ∴∠=∠，
1112
AB B BAB ABD BAB π∴∠+∠=∠+∠=, 2
AOB π
∠=
，
1AB BD ∴⊥.
………………………………………………3分
又11
CO ABB A ⊥平面，1
AB CO ∴⊥，
BD 与CO 交于点O ，1AB CBD ∴⊥平面,
又
BC CBD
⊂平面，
1AB BC ∴⊥.
…………………………………………6分
(Ⅱ)如图，分别以1
,,OD OB OC 所在直线为,,x y z 轴，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
O xyz
-，则
2326
(0,(33A B -
-,236(C D , 26232323623
(,,0),(0,,),(,0,)33333AB AC CD =-
==，………………8分
设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，
则00
n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即2623
023230x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,
令1y =，则1z =-，2
2
x =，
所
以平面ABC
的一个法向量
(
)2
,1,12
n =-。

…………………………………10分
设直线CD 与平面ABC 所成角为α,则
||sin |cos ,|||||
CD n CD n CD n α⋅==
⋅62230()(1)|
153235+⨯-==. ………12分
19.解:（I ）因为21n
n S
a +=，所以1121n n S a +++=，
两式相减可得1120n n n a
a a +++-=，
即13n n a a +=，即11
3
n n a a +=， 。

(3)
分
又1
121S a
+=，11
3
a ∴=
, .………………………4分
所以数列{}n
a 是公比为13
的等比数列。

………………………5分
故1111()()333
n n n a -=⋅=，数
列{}n
a 的通项公式为
1
()3
n n a =。

。

…………6分
（II ）
()()
1
1211n n n n a b a a ++=
++,
1
1
1
11122()331131311()1()3333n n n n
n n n n n b +++++⋅∴==++⎛
⎫⎛⎫++⋅ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭ 11
2311
(31)(31)3131
n n n n n ++⋅==-+⋅+++. (10)
分
1212231111111
(
)()(
)31313131
3131
n n n n T b b b +∴=+++=-+-++-++++++ 1111.4314
n +=
-<+ 1
4
n T ∴<。

…………
……………12分
20解：(Ⅰ)1()
2F x x x '=-，令()0F x '=
，得x =
. ∴11()ln 22
4
F =+，(2)4ln 2F =-,1ln 2
2F +=
且1(2)(),(2)2F F F F >>
∴2
x =时，函数
()
F x 取得最大值，最大值为
4ln 2-. ……………………4分
（Ⅱ） 对任意实数k ，总存在实数0
x ,使得0
()H x k =成立，
∴函数()H x 的值域为R 。

函数e 2x y =在[,)s +∞单调递增，其值域为[,)2e
s
+∞。

函数ln ()x y f x x ==，2
1ln x y x -'=。

当e x =时，0y '=。

当e x >时，0y '<,函数ln x y x =在[e,)+∞单调递减，
当
0e
x <<时，
y '>,函数
ln x y x
=
在
(0,e)
单调递
增. ……………………8分
（1）若e s >，函数ln x y x
=在(0,e)单调递增,在(e,)s 单调递减，其值域为
1
(,]e
-∞，
又12e e
s >，不符合题意；
（2)若0e s <≤，函数ln x y x =在(0,)s 单调递增，其值域为ln (,]s s
-∞,
由题意得ln 2e s s s
≤，即22eln 0s s -≤;
令2
()2eln u s s s =-，2
2e 2(e)
()2s u s s s s
-'=-=.
当s >()
0u s '>，()u s 在单调递增；
当0s <<
()0
u s '<，()u s 在
单调递减.
∴s =时，()u s
有最小值0u =,从而()0u s ≥恒成立（当且仅当s =时,()
0u s =）.
由(1）（2）得，()0u s =,
所以s =
综
上所述，实数
s
的
取
值集合为
.
……………………13分
21。

解：（Ⅰ)设椭圆C 的右焦点2
(,0)F c
由题意，以椭圆C
为半径的圆的方程为2
2
2
)(a y c x =+-,
∴圆心到直线10x y ++=的距离
d a =
=(）………………………2分
∵椭圆
C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形， ∴b =,2a c =， 代入（）式得1,c b ==2a =,
故所求椭圆方
程为
22
143
x y +=
………………………………………6分
学必求其心得，业必贵于专精
(Ⅱ）（i ）设1
1
2
2
(,),(,)B x y C x y ，则1
1
(,)D x y --，
于是2
22
221212*********
21212
1
2133(4)(4)
3444
x x y y y y y y k k x x x x x x x x ----+-=⋅===--+---—（10分) （ii ）方法一由（i ）知，341234k k k k ==-，故121234
y y x x =-．
所以,222222*********(4)(4)1644
x x y y x x ==-⋅-
即22
222212
1
2
12
164()x x x x x x =-++，所以，2212
4x x +=．
又222222*********
2
2()()434343
x y x y x x y y ++=+++=+,故2212
3y y +=．
所以，OB 2+OC 2
2
2
2
2221
1
2
2
7OB OC x y x y +=+++=．—-—--—-——----——-——（14分）
方法二 由（i)知，3412
3
4
k k k k ==-．将直线3
y k x =方程代入椭圆22
1
43x y +=中，
得21
2
31234x
k =
+．同理,22
2
4
12
34x
k =
+．
所以,
22
231
2
22
222
2343333
161212121212
43343434343434()4k x x k k k k k k +=+=+=+=++++++-．
下同方法一．----———---——-—-——-（14分）。