2008湖北黄冈高二数学试题

湖北省黄冈市红安一中高二实验班数学期中试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．） 1．不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是（D ）
A ．{x|0≤x＜1}
B ．{x|x ＜0且x≠－1}
C ．{x|－1＜x ＜1}
D ．{x|x<1且x≠－1} 2．直角三角形ABC 的斜边AB ＝2，内切圆半径为r ，则r 的最大值是（D ） A ． 2
B ．1
C ．
22
D ．2－1
3．给出下列三个命题 ①若1->≥b a ，则
b
b
a a +≥
+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤，则2
)(n m n m ≤
- ③设),(11y x P 为圆9:2
2
1=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1． 当1)()(2
121=-+-y b x a 时，圆1O 与圆2O 相切
其中假命题的个数为（A ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 4．不等式|2x －log 2x|＜2x ＋|log 2x|的解集为（C ）
A ．(1，2)
B ．(0，1)
C ．(1，+∞)
D ．(2，+∞) 5．如果x ，y 是实数，那么“xy＜0”是“|x－y|＝|x|＋|y|”的（A ） A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充要条件 D ．非充分条件非必要条件 6．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln5
5
，则（C ）
A ．a<b<c
B ．c<b<a
C ．c<a<b
D ．b<a<c
7．某工厂第一年年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则（B ）
A ．x ＝
2b a + B ．x≤2b a + C ．x ＞2b a + D ．x≥2
b
a + 8．若方程036=++-+k y x y x 仅表示一条直线，则k 的取值范围是（ D ）
A (]3,∞-
B (]30,=∞-k 或
C 3=k
D ()30,=∞-k 或
9．抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（A ）
A ．
43 B ．75 C ．8
5
D ．3 10．过椭圆左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于B A ,两点，若FB FA 2=，则椭圆
的离心率等于 （ D ）
A
32 B 22 C 21 D 3
2 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11．与圆()222
2
=-+y x 相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
4,+-=±=x y x y
12．已知a ＞0，b ＞0，且22
12
b a +=，则的最大值是
4 13．已知{
1,0,
()1,0,x f x x ≥=
-<则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是]2
3,(-∞ ．
14．正三角形ABC 中，AC AB E D ,,分别是的中点，则以C B ,为焦点
且过E D ,的双曲线的离心率是 1+15．若曲线2
y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ． 解：作出函数21,0
||11,0x x y x x x +≥⎧=+=⎨-+<⎩
的图象，
如右图所示：
所以，0,(1,1)k b =∈-；
11． 12．
13． 14．
15． 三、解答题：
16．（本小题满分12分）解关于x 的不等式
.1||,11
≠>++a a
x ax 其中 解：,0)1()1(01>+--->+--+a x a x a a x a x ax 即
若01
,1>+->a x x a 则得原不等式的解集为}1|{a x x x -<>或
若01
,1<+-<a
x x a 则
若,1,11<-<<-a a 时得原不等式的解集为}1|{<<-x a x ；
若1,1>--<a a 时，得原不等式的解集为}1|{a x x -<<
17．（本题满分12分）
⑴已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222
()a b a b x y x y
++≥+，并指出等号成立的条件；
⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =
+
-（1
(0,)2
x ∈）的最小值，并指出取最小值时x 的值．
解：（1）应用二元均值不等式，得
22222222()()a b y x x y a b a b a b x y x y ++=+++≥++2()a b =+， 故 222
()a b a b x y x y
++≥+． 当且仅当2
2y x a
b x y =，即a b
x y
=时上式取等号 （2）由（1）222
23(23)()252122(12)
f x x x x x +=
+≥=-+-． 当且仅当
23212x x =
-，即1
5
x =时上式取最小值，即min [()]25f x = 18．（本题满分12分）
已知变量x ,y 满足约束条件1≤x+y ≤4,-2≤x-y ≤2.若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，求：a 的取值范围。

解析：变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤ 在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD ，其中A(3，1)，
1,1AD AB k k ==-，目标函数z ax y =+（其中0a >）中的z 表示斜
率为－a 的直线系中的截距的大小，若仅在点()3,1处取得最大值，则斜率应小于1AB k =-，即1a -<-，所以a 的取值范围为(1，+∞)。

19．（本题满分12分）
当m 为参数时，集合A={(x,y)∣x 2
+y 2
+x －6y+m=0}是以(－
2
1
,3)为圆心的同心圆系，问m 取何值时，直线x+2y －3=0与圆系中的某一个圆交于P,Q 两点，满足条件OP ⊥OQ(O 为坐标原点).
解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),，则,,2
211x y k x y k OQ OP ==
x y 2
2
4
1
+=由OP ⊥OQ,得
1212
2
111y x x x y x y +⇒-=y 2=0 由{
320622=-+=+-++y x m y x y x 消去y,得5x 2
+10x+4m －27=0 ① ∴x 1+x 2=－2, x 1x 2=
5
27
4-m ② 而P,Q 在直线x+2y －3=0上，则 y 1y 2=
21(3－x 1)(3－x 2)=41[9－3(x 1+x 2)+x 1x 2]=5
12+m ③ 将②,③代入x 1x 2+y 1y 2=0解得m=3，将其代入①检验，⊿>0成立，故m=3为所求。

20．(本题满分13分)
设椭圆方程为2
2
14
y x +=，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =
+，点N 的坐标为11
(,)22
，当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）NP 的最小值与最大值。

解：（1）设l 方程为y k x -=-10()，即y kx =+1代入椭圆方程 得()423022
++-=k x kx
设A x y ()11，，B x y ()22，，则OA x y →=()11，，OB x y →
=()22，
x x k k x x k 12212
2243
4+=
-+=-+， OP OA OB →=→+→12()，（x x y y 121
22
2++，） P 为AB 中点，设P x y ()00，
∴=
-+x k
k 024 <1>
y kx k 00214
4=+=
+ <2>
<><>12得：x y k k x y 00
0044=-∴=-，
x y 2
11612141+-=2
() ∴=+-=+y x y y y x 000202
020
2
4
444()
又y 00≠，
∴--=y x y 0202040 4022
x y y +-= 即 （2）点P 轨迹为
∴≤-≤≤
x x 2116141
4，即
||()()()()NP x y x x x →=-+-=-++=-++
222222121212144316712 ∴当
x =14时，||min NP →=
21
16
∴→=
||NP 1
4 当
x =-
1
6时，||max NP →=216 21．(本题满分12分)
已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线2
2(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标
原点,向量OA ,OB 满足O A O B O A O B +=-.设圆C 的方程为
221212()()0x y x x x y y y +-+-+=
(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;
(II)
当圆C 的圆心到直线X-2Y=0P 的值。

【解析】(I)证明1:
22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-
2
2
2
2
22OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+
整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=
设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=
整理得:22
1212()()0x y x x x y y y +-+-+=
故线段AB 是圆C 的直径 证明2:
22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-
2
2
2
2
22OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+
整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=……..(1) 设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则 即
21
1221
1(,)y y y y x x x x x x x x --⋅=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=
点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得:
221212()()0x y x x x y y y +-+-+=
故线段AB 是圆C 的直径 证明3:
22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-
2
2
2
2
22OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+
整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=……(1) 以线段AB 为直径的圆的方程为
2222121212121
()()[()()]224
x x y y x y x x y y ++-
+-=-+- 展开并将(1)代入得:22
1212()()0x y x x x y y y +-+-+=
故线段AB 是圆C 的直径
(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则12122
2
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
22
1
1222,2(0)y px y px p ==>22
12122
4y y x x p ∴=
又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22
12122
4y y y y p ∴-⋅=
12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠2124y y p ∴⋅=-
2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +=
=+=++-221
(2)y p p
=+ 所以圆心的轨迹方程为2
2
2y px p =- 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则
2
2221|
(2)2|
y p y d +-==
=22=
当y=p 时,d
=
2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则12122
2
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
22
1
1222,2(0)y px y px p ==>22
12122
4y y x x p ∴=
又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22
12122
4y y y y p ∴-⋅= 12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠2124y y p ∴⋅=-
2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +=
=+=++-221
(2)y p p
=+ 所以圆心的轨迹方程为2
2
2y px p =-
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0
的距离为
5
,则2m =± 因为x-2y+2=0与2
2
2y px p =-无公共点,所以当x-2y-2=0与2
2
2y px p =-仅有一个公共
点时,该点到直线x-2y=0
的距离最小值为
5
22
220(2)2(3)
x y y px p --=⎧⎨=-⎩将(2)代入(3)得22
2220y py p p -+-= 2244(22)0p p p ∴∆=--=
2.
p p >∴=
解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则121
22
2
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,
则12
12|
()|x x y y d +-+=22
1
1222,2(0)y px y px p ==>22
12122
4y y x x p ∴=
又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22
12122
4y y y y p ∴-⋅= 12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠2124y y p ∴⋅=-
2
212122221|
()()|
y y y y d +-+∴
=22=
当122y y p +=时,d
,
5=
2p ∴=。