2024届广西贵港市数学高一第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2024届广西贵港市数学高一第二学期期末达标检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．等比数列中，，，则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．128
D ．
或
2．若一元二次不等式2
3
208
kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ） A ．()3,0- B ．](
3,0-
C ．()()
,30,-∞-⋃+∞
D ．()),30,⎡-∞-⋃+∞⎣
3．函数()()sin f x x ωϕ=+（其中2
π
ϕ<
）的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x
=的图象，则只要将()f x 的图象（ ）
A ．向右平移6π
B ．向右平移12
π
C ．向左平移
6
π D ．向左平移
12
π
4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形 5．已知函数，且实数
，满足
，若实数是函
数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，
3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为（）
A ．
72
π B ．14π C ．28π D ．56π
7．已知直线1l ：10x ay +-=，2l ：(1)0a x ay +-=，若p ：12l l //；:2q a =-，则
p 是q 的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
8．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）
A ．[2,3]
B ．[2,5]
C ．[2,6]
D ．[2,7]
9．不等式的解集是（ )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．函数()()2
lg 311f x x x
=
++-的定义域是（ ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．两圆2
2
1x y +=，()()2
2
4+25x y a +-=相切，则实数a ＝______.
12．若α是三角形的内角，且1
sin 2
α=
，则α等于_____________． 13．已知在ABC 中，角,,A B C 的大小依次成等差数列，最大边和最小边的长是方程29200x x -+=的两实根，则AC =__________．
四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________． 15．不等式()()120x x -->的解集为_____________________。

16．若数列{}n a 满足11n n n a a a +=
+，且12
3
a =，则10a =___________. 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．已知公差0d >的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足34117a a =，
2522a a +=.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：(
)*
41k S k N
+∈是数列{}n
a 中的项；
（3）若正整数m 满足如下条件：存在正整数k ，使得数列2a ，m a ，k a 为递增的等比数列，求m 的值所构成的集合.
18．已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量， 其中a =（1，2），b =（﹣2，3），c =（﹣2，m ） （1）若a ⊥（b +c ），求|c |；
（2）若k a +b 与2a ﹣b 共线，求k 的值．
19．如图，某地三角工厂分别位于边长为2的正方形ABCD 的两个顶点,A B 及CD 中点M 处.为处理这三角工厂的污水，在该正方形区域内（含边界）与,A B 等距的点O 处建一个污水处理厂，并铺设三条排污管道,,AO BO MO ，记辅设管道总长为y 千米.
（1）按下列要求建立函数关系式： （i ）设BAO θ∠=，将y 表示成θ的函数； （ii ）设2MO x =-，将y 表示成x 的函数；
（2）请你选用一个函数关系，确定污水厂位置，使铺设管道总长最短.
性别 团员 群众 男 x
80
女
180
y
（1）若随机抽取一人，是团员的概率为
5
8
，求x ，y ； （2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，然后在这5名团员中任选2人，求两人中至多有1个女生的概率．
21．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，8BC =，45BAC ∠=︒，1cos 2
ABC ∠=-
.
（1）在ABC ∆中，求AC 的长；
（2）若BCD ∆的面积等于203，求BD 的长.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
根据等比数列的通项公式得到公比，进而得到通项. 【题目详解】 设公比为，则，∴
， ∴或，∴或
，
即或
.
本题考查了等比数列通项公式的应用，属于简单题. 2、A 【解题分析】
该不等式为一元二次不等式，根据一元二次函数的图象与性质可得，2
3
28
y kx kx =+-
的图象是开口向下且与x 轴没有交点，从而可得关于参数的不等式组，解之可得结果. 【题目详解】
不等式为一元二次不等式，故0k ≠， 根据一元二次函数的图象与性质可得，
23
28
y kx kx =+-的图象是开口向下且与x 轴没有交点，
则2
2034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩
，解不等式组，得30k -<<. 故本题正确答案为A. 【题目点拨】
本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查一元二次函数的图象与性质，注意数形结合的运用，属基础题. 3、A 【解题分析】
利用函数的图像可得T π=，从而可求出ω，再利用特殊点求出ϕ，进而求出三角函数的解析式，再利用三角函数图像的变换即可求解. 【题目详解】
由图可知74123T πππ⎛⎫=-=
⎪⎝⎭
，所以22T π
ω==， 当3
x π
=
时，03f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， 由于2
π
ϕ<
，解得：3
π
ϕ=
，
所以()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 要得到()sin 2g x x =的图像，则需要将()f x 的图像向右平移6
π.
本题考查了由图像求解析式以及三角函数的图像变换，需掌握三角函数图像变换的原则，属于基础题.
4、C
【解题分析】
将角C用角A角B表示出来，和差公式化简得到答案.
【题目详解】
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
=⇒=+=+
2cos sin sin2cos sin sin()sin cos cos sin
B A
C B A A B A B A B
B A A B A B
-=⇒-=
cos sin cos sin0sin()0
角A，B，C为△ABC的内角
∠=∠
A B
故答案选C
【题目点拨】
本题考查了三角函数和差公式，意在考查学生的计算能力.
5、D
【解题分析】
由函数的单调性可得：当时，函数的单调性可得：（a），（b），（c），即不满足（a）（b）（c），得解．
【题目详解】
因为函数，
则函数在为增函数，
又实数，满足（a）（b）（c），
则（a），（b），（c）为负数的个数为奇数，
对于选项，，选项可能成立，
对于选项，
当时，
函数的单调性可得：（a），（b），（c），
即不满足（a）（b）（c），
故选项不可能成立，
本题考查了函数的单调性，属于中档题． 6、B 【解题分析】
将棱锥补成长方体，根据长方体的外接球的求解方法法得到结果. 【题目详解】
根据题意得到棱锥的三条侧棱两两垂直，可以以三条侧棱为长方体的楞，该三棱锥补成长方体，两者的外接球是同一个，外接球的球心是长方体的体对角线的中点处。

设球的
半径为 R ，则()2
222227123242
R R R ++==⇒=
表面积为2414.S R ππ== 故答案为：B. 【题目点拨】
本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球. 7、C 【解题分析】
因为直线1l ：10x ay +-=，2l ：()10a x ay +-=，所以
()()1210//010
a a a l l a a ⎧--+=⎪⇔⇔=⎨-+≠⎪⎩或2a =-，即p 是q 的必要不充分条件.故选C.
点睛：本题考查两条直线平行的判定；由直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若将一般式化成斜截式，往往需要讨论斜率是否存在，为了避免讨论，记住以下结论： 已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=. 则121221//0l l A B A B ⇔-=或12
210AC A C -≠；
0l l A A B B ⊥⇔+=
8、C 【解题分析】
过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知
222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行
性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【题目详解】
过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD
2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+
//EF 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=
∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE 平面EFG //GE ∴平面11BDD B
又平面ABCD
平面11BDD B BD =，GE
平面ABCD //GE BD ∴
E 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点
即F 在线段GH 上
min 1AF AG ∴==，max 145AF AH ==+=min 112EF ∴+max 156EF +=则线段EF 长度的取值范围为：2,6⎡⎣
本题正确选项：C 【题目点拨】
本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.
【解题分析】试题分析：且 且，化
简得解集为
考点：分式不等式解法 10、B 【解题分析】
根据函数f （x ）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【题目详解】
∵函数f （x ）2
1x
-+lg （3x+1），
∴10
310
x x -⎧⎨
+⎩＞＞；
解得﹣
1
3
＜x ＜1， ∴函数f （x ）的定义域是（﹣1
3
，1）． 故选B ． 【题目点拨】
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、0, ±5【解题分析】
根据题意，由圆的标准方程分析两圆的圆心与半径，分两圆外切与内切两种情况讨论，求出
a 的值，综合即可得答案． 【题目详解】
根据题意：圆22
11C x y +=：的圆心为（0，0），半径为1，圆
222(4)()25C x y a ++-=：的
圆心为（﹣4，a ），半径为5， 若两圆相切，分2种情况讨论：
当两圆内切时，有（﹣4）2+a 2=（1﹣5）2，解可得a=0，
综合可得：实数a 的值为0或±
故答案为0或± 【题目点拨】
本题考查圆与圆的位置关系，关键是掌握圆与圆的位置关系的判定方法． 12、
56
6
π
π
或
【解题分析】
∵α是三角形的内角，且1sin 2
α=
， ∴566π
πα=
或
故答案为566
ππ
或
点睛：本题是一道易错题，在()0,π，上，sin a 0α=>，
分两种情况：若a 1=，则2
π
α=；
若a 1≠，则α有两种情况锐角或钝角.
13【解题分析】
本题首先可根据角,,A B C 的大小依次成等差数列计算出3
B π
=，然后根据最大边和最
小边的长是方程29200x x -+=的两实根得到9a c 以及20ac ，最后根据余弦定
理即可得出结果． 【题目详解】
因为角,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+， 又因为A B C π++=，所以3
B π
=
.
设方程29200x x -+=的两根分别为a 、c ，则9
20
a c ac +=⎧⎨=⎩，
由余弦定理可知：2
22
2cos AC a c ac B
2
2122cos 9220220
212
a c
ac ac B ，
所以AC =【题目点拨】
本题考查根据余弦定理求三角形边长，考查等差中项以及韦达定理的应用，余弦定理公
式为2222cos b a c ac B =+-，体现了综合性，是中档题．
14、(16π 【解题分析】
根据正四棱柱外接球半径的求解方法可得到正四棱柱底面边长和高的关系，利用基本不
等式得到ah ≤，得到侧面积最大值为积，作差得到结果. 【题目详解】
设球内接正四棱柱的底面边长为a ，高为h
则球的半径:2r ==
22216h a ∴+=≥ ah ∴≤
∴正四棱柱的侧面积：4S ah =≤侧球的表面积：24216S ππ=⨯=
∴当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为：
(
1616ππ-=
本题正确结果：(16π 【题目点拨】
本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用.
15、{|x x <或}2x > 【解题分析】
利用一元二次函数的图象或转化为一元一次不等式组解一元二次不等式. 【题目详解】
由()()120x x -->，1020x x -<⎧⎨
-<⎩或10
20
x x ->⎧⎨->⎩，所以1x <或2x >， 不等式的解集为{|x x <或}2x >. 【题目点拨】
本题考查解一元二次不等式，考查计算能力，属于基本题.
16、
219
【解题分析】
对已知等式左右取倒数可整理得到
11
11n n
a a ，进而得到1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列；利用等
差数列通项公式可求得1
n
a ，进而得到n a 的通项公式，从而求得结果.
【题目详解】
11n n n a a a +=
+ 1111
1n n n n a a a a ++∴==+，即
111
1n n
a a
∴数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以1132a =为首项，1为公差的等差数列
()131211222n n n n a -∴
=+-=-= 221n a n ∴=- 10219
a ∴=
故答案为：
2
19
【题目点拨】
本题考查利用递推公式求解数列通项公式的问题，关键是明确对于1n
n n ma a ka b
+=+形式
的递推关系式，采用倒数法来进行推导.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1) 43n a n =-；(2)证明见解析；(3) 见解析 【解题分析】
(1)根据等差数列性质2534a a a a +=+,结合34117a a =求得34,a a 等再求n a 的通项公式.
(2)先求出(
)*
41k S k N
+∈,再证明41k S
+满足
n a 的通项公式.
(3)由数列2a ,m a ,k a 为递增的等比数列可得2
2m k a a a =⋅,从而根据n a 的通项公式求m
的值所构成的集合. 【题目详解】
(1)因为{}n a 为等差数列,故342522a a a a +=+=,故
3432
3333
34
41179(22)1172211702213a a a a a a a a a a ==⎧⎧⇒-=⇒-+=⇒⎨⎨+==⎩⎩或34139a a =⎧⎨=⎩,又公差0d >,所以34
913a a =⎧⎨
=⎩,故111291
3134a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩,故14(1)43n a n n =+-=-. (2)由43n a n =-可得(143)
(21)2
n n n n n S +-=
=-,
故41(41)(821)(41)(81)k S k k k k +=++-=++,
若41k S +是数列{}n a 中的项,则(41)(81)43n a k n k +==+- 即2
4(41)(81)332124n k k k k =+++=++, 即2831n k k N +=++∈,故(
)*
41k S k N
+∈是数列{}n
a 中的项；
(3)由数列2a ，m a ，k a 为递增的等比数列,则2
2,(2)m
k a a a m k =⋅<<
即2
(43)5(43)m k -=-.由题意存在正整数k 使得等式2
(43)5(43)m k -=-成立, 因为2,(,)m k m k N +<<∈,故43m -能被5整除,设435,()m n n N +
-=∈,
则53344n n m n ++=
=+,又m 为整数,故34n +为整数设3
4
n t +=,即43,()n t t N +=-∈，故4352015m n t -==-,解得53m t =-,又2m >,故
532,1t t ->>,
不妨设1()p t p N +
=-∈,则535(1)352()m t p p p N +
=-=+-=+∈. 即52()m p p N +=+∈
又当52()m p p N +
=+∈时,由2
(43)5(43)m k -=-得
[]
2
24(52)35(43)20102p k k p p +-=-⇒=++满足条件.
综上所述,52()m p p N +
=+∈.
【题目点拨】
(1)本题考查等差数列性质：若{}n a 是等差数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+
(2)证明数列中是否满足某项或者存在正整数使得某三项为等比数列时,均先根据条件列出对应的表达式,再利用正整数的性质进行判断,有一定的难度. 18、（1
（2）-2
【解题分析】
（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出; （2）根据向量共线的条件即可求出． 【题目详解】
（1）()43b c m +=-+，
∵()
a b c ⊥+，∴()
a b c ⊥+，()
()4230a b c m ∴⋅+=-++=，
∴m=﹣1∴()21c =--，
∴c =（2）由已知：()223ka b k k +=-+，，()241a b ，-=，
因为()()ka b
ka b ++，
所以：k ﹣2=4（2k+3）， ∴k=﹣2 【题目点拨】
本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行，属于基础题． 19、（1）（i ）2sin 2cos y θ
θ
-=
+（00θθ≤≤，其中0tan 2θ=）.
（ii)2,(02)y x x =+≤≤.
（2）污水厂设在与直线AB 【解题分析】
（1）（i ）设AB 的中点为N ，则1AN =，tan ON θ=，1
cos OA θ
=，2tan MO θ=-，由此可得y 关于θ的函数；
（ii ）由题意2MO x =-，则ON x =，AO =，由此可得y 关于x 的函数；
（2）设m x =，(,0)n x m n =>，则1mn =，然后利用基本不等式求最值． 【题目详解】 解：
（1）（i ）设AB 中点N ，则1AN =，tan ON θ=，1
cos OA θ
=，2tan MO θ=-， ∴2sin 2cos y θ
θ
-=
+（00θθ≤≤，其中0tan 2θ=）；
（ii ）
2MO x =-，2,1ON x AO x ∴==+
2212,(02)y x x x ∴=++≤≤；
（2）设21m x x =+，21,(,0)n x x m n =
+>，则1mn =，
133
2232224
y m n mn ∴=
++≥=， 当3m n =，即3
3
x =
时，y 取最小值23， ∴污水厂设在与直线AB 距离3
23+千米．
【题目点拨】
本题主要考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属于中档题．
20、（1）120x =，100y =；（2）7
10
． 【解题分析】
（1）随机抽取一人，是团员的概率为
58
，得
1805
4808x +=，再由总人数为480得,x y 的另一个关系式，联立求解，即可得出结论；
（2）根据团员男女生人数的比例，可求出抽取一个样本容量为5的样本，男生为2人，女生为3人，将5人编号，列出从5人中抽取2人的所有基本事件，求出至多有1个女生的基本事件的个数，按古典概型求概率，即可求解. 【题目详解】 解：（1）由题意得：
1805
480
818080480
x x y +⎧=⎪
⎨⎪+++=⎩， 解得120x =，100y =．
（2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法， 抽取一个样本容量为5的样本， 抽中男生：12052180120⨯
=+人，抽中女生：180
53180120
⨯=+人，
2名男生记为,a b ，3名女生记为1,2,3， 在这5名团员中任选2人，基本事件有：
(,),(,1),(,2),(,3),(,1)(,2)(,,3)a b a a a b b b ，，，
(1,2),(1,3),(2,3)共有10个基本事件，
两人中至多有1个女生包含的基本事件个数有7个， ∴两人中至多有1个女生的概率710
p =． 【题目点拨】
本题考查分层抽样抽取元素个数的分配，考查古典概型的概率，属于基础题. 21、（1
）；（2
）【解题分析】
（1）首先利用同角三角函数的基本关系求出sin ABC ∠，再利用正弦定理求解即可． （2）求出梯形的高，再利用三角形的面积求解即可． 【题目详解】
解：（1）在梯形ABCD 中，//AB CD ，8BC =，45BAC ∠=︒，1cos 2
ABC ∠=-．
可得sin ABC ∠=，
由正弦定理可得：8sin sin BC ABC
AC BAC
∠=
=
=∠
（2）过C 作CE AB ⊥，交AB 的延长线于E
则n 2
si CE AC CAB =⋅==∠
即梯形的高为43
因为BCD ∆的面积等于203 1
432032CD ∴⨯⨯ 10CD ∴=，
11
sin 810sin 20322
BCD S BC CD BCD BCD ∆=
⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠= 3
sin BCD ∴∠=
60BCD ∴∠=︒，
222cos BD BC CD BC CD BCD ∴=+-⋅⋅⋅∠221
81028102212
=+-⨯⨯⨯
【题目点拨】
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．。