【初三数学】徐州市九年级数学下(人教版)第二十八章 《锐角三角函数》单元检测试卷及答案

人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优训练
人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优训练一、选择题
1.在中，∠，，，则AC等于（B）.
A. 18
B. 2
C.
D.
2.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为
3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( B )
A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
3.5 cos29°
3. 在Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是( C )
A．sinA＝
3
2
B．tanA＝
1
2
C.cosA＝
3
2
D．以上都不对
4.如图K－16－3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是(C )
图K－16－3
A．sinB＝AD
AB
B．sinB＝
AC
BC
C．sinB＝AD
AC
D．sinB＝
CD
AC
5.已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵
树的高度是（A）．
A. 15m
B. 60m
C. 20m
D.
6. 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝12
13
，则
小车上升的高度是( B )
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为( B )
A.15
4
B．
1
4
C.
15
15
D．
417
17
8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为( A )
A.15
4
B.
1
4
C.
15
15
D.
417
17
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的对边分别是a、b，且满足a2-ab-b2=0，则tan A等于（ B ）
A. 1
B.
C.
D.
10.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( D )
A．26米 B．28米 C.30米 D．46米
二、填空题
11.如图，在菱形ABCD中，AE⊥DC于E，AE=8cm，sin D=，则菱形ABCD的面积是______．
【答案】96cm2
12.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为_____米．
【答案】5
13.△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝3
4
，则BC的长______.
【答案】 27
14.已知对任意锐角α，β均有cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，则cos75°＝________．
【答案】6－2 4
15．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降_______米(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)．
【答案】280
三、解答题
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=a．
（1）求sin a、cos a、t a na的值；
（2）若∠B=∠CAD，求BD的长．
解：在Rt△ACD中，
∵AC=2，DC=1，
∴AD==．
（1）sinα===，cosα===，tanα==；
（2）在Rt△ABC中，
tan B=，
即tanα==，
∴BC=4，
∴BD=BC-CD=4-1=3．
17. 如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响．
(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？
(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长(精确到1米)(参考数据：3≈1.7)?
解：(1)连接AP，由题意得AH⊥MN，AH＝15，AP＝39，在Rt△APH中，由勾股定理得PH＝36.答：此时汽车与点H的距离为36米；
(2)由题意可知，PQ段高架道路旁需要安装隔音板，QC⊥AB，∠QDC＝30°，QC ＝39.在Rt△DCQ中，DQ＝2QC
人教版九年级数学下册单元测试卷：第28章锐角三角函数含答案
一、填空题(每小题3分，共48分)
1．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，则cos A的值为________．
2．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到
达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为____________海里/时．
3．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，过点C 作CD 1⊥AB 于D 1，过点D 1作D 1D 2⊥BC 于D 2，过点D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3，则D 2D 3＝________，这样继续作下去，线段D n D n ＋1＝____________．
4. 如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A ，小明在岸边点B 处测得点A 在点B 的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m 后到达点C ，测得点A 在点C 的北偏西60°方向上，则点A 到河岸BC 的距离为________米．
二、选择题(每小题3分，共48分)
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2
＋b 2
＝c 2
，那么下列结论正确的是( )
A ．csinA ＝a
B ．bcosB ＝c
C ．atanA ＝b
D ．ctanB ＝b 6．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35
，则tan B 的值为( )
A.43
B.45
C.54
D.34
7．如图，，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道(点A ，B 在同一水平面上)．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升机从A 地出发，垂直上升800米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A ，B 两地之间的距离为( )
A ．800sin α米
B ．800tan α米 C. 800sin α米 D. 800cos α米
第7题图
第12题图
8．如果把一个锐角△ABC 的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值( ) A ．扩大为原来的3倍 B ．缩小为原来的1
3 C ．没有变化 D ．不能确定
9．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，则cos A
2的值是( )
A.35
B.45
C.34 D .54
10．已知0°＜α＜90°，且2sin(α－10°)＝3，则α等于( )
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
11．如图，在湖边高出水面50 m 的山顶A 处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P 处的仰角为45°，又观察到其在湖中的像P ′的俯角为60°，则飞艇距离湖面的高度为( )
A ．(25 ＋75)m
B ．(50 ＋50)m
C ．(75 ＋75)m
D ．(50 ＋100)m
12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC
的值为( )
A.35
B.34
C.105
D ．1 13．如图，在△ABC 中，cosB ＝，sinC ＝，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )
A. 13 B ．12 C ．14 D ．21 14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝12，tan B ＝
3
3
.以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于1
2MN 的长为半径画弧，两
弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则△ACD 的周长为( ) A ．12 B ．12 3 C ．6＋6 3 D ．6＋9 3 15．在△ABC 中，若tan A ＝1，sin B ＝
，你认为最确切的判断是( )
A ． △ABC 是等腰三角形
B ． △AB
C 是等腰直角三角形 C ． ABC 是直角三角形
D ． ABC 是一般锐角三角形
16．如图，小明为测量一条河流的宽度，他在河岸边相距80 m 的P 和Q 两点分别测定对岸一棵树R 的位置，R 在Q 的正南方向，在P 东偏南36°的方向，则河宽( ) A ． 80tan 36° B ． 80tan 54° C ．
D ． 80tan 54°
17.在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：①sin A ＝；②cos B ＝0.5；③tan A
＝
；④tan B ＝
，其中正确的有( )
A ． ①②③
B ． ①②④
C ． ①③④
D ． ②③④ 18．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且cos A ＝
，sin B ＝0.5，则△ABC 是( )
A ． 直角三角形
B ． 钝角三角形
C ． 锐角三角形
D ． 不能确定
19．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，如果AB ＝5，BC ＝8，sin B ＝45，那么tan ∠CDE
的值为( )
A.12
B.33
C.2
2
D.2－1 20．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B .若反比例函数y ＝k x 的图象恰好经过斜边A ′B
的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8
三、解答题(本大题有7个小题，共68分．) 21．(8分)计算：
(1)3tan30°＋cos245°－2sin60°；(2)sin60°－1
tan60°－2tan45°
－3cos30°＋2sin45°.
22．(9分)根据下列条件解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝83，∠A＝60°；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝36，b＝9 2.
23．(9分)某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度(结果精确到0.1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，3≈1.7)．
24．(9分)已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋⎪
⎪⎪
⎪sin B －
32＝0. (1)试判断△ABC 的形状；
(2)求(1＋sin A )2－2cos B －(3＋tan C )0的值．
25．(10分)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝4
5，BC ＝8，D 是AB 中点，过点B 作直
线CD 的垂线，垂足为点E .
(1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠ABE 的值．
26．(11分)如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD )靠墙摆放，高AD ＝80cm ，宽AB ＝48cm ，小强身高166cm ，下半身FG ＝100cm ，洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK ＝80°)，身体前倾成125°，脚与洗漱台距离GC ＝15cm(点D ，C ，G ，K 在同一直线上)．
(1)此时小强头部E 点与地面DK 相距多少？
(2)小强希望他的头部E 恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方，他应向前或后退多少(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，2≈1.41，结果精确到0.1cm)?
27．(12分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)；
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?
参考答案
1.35
2.40＋4033
3.338 ⎝⎛⎭
⎫32n ＋1 解析：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，则CD 1＝32；进而在△CD 1D 2中，有D 1D 2＝32CD 1＝⎝⎛⎭⎫322，同理可得D 2D 3＝⎝⎛⎭
⎫323＝338，…，则线段D n D n ＋1＝⎝⎛⎭
⎫32n ＋1. 4．20
5．A 6.A 7. D 8.C 9.B 10.C 11.D 12.B
13． A 14.C 15.B 16.A 17.D 18.A
19．A 解析：在△ABE 中，AE ⊥BC ，AB ＝5，sin B ＝45
，∴AE ＝4，∴BE ＝AB 2－AE 2＝3，∴EC ＝BC －BE ＝8－3＝5.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝5，∴△CED 为等腰三角形，∴∠CDE ＝∠CED .∵AD ∥BC ，∴∠EAD ＝∠AEB ＝90°，∠ADE ＝∠CED ，
∴∠CDE ＝∠ADE .在Rt △ADE 中，∵AE ＝4，AD ＝BC ＝8，∴tan ∠CDE ＝tan ∠ADE ＝48＝12
. 20．C 解析：设点C 的坐标为(x ，y )，作CD ⊥BO ′交边BO ′于点D .∵tan ∠BAO ＝2，∴BO AO ＝2.∵S △ABO ＝12
·AO ·BO ＝4，∴AO ＝2，BO ＝4.由旋转得A ′O ′＝AO ＝2，BO ′＝BO ＝4.∵点C 为斜边A ′B 的中点，CD ⊥BO ′，∴CD ＝12A ′O ′＝1，BD ＝12
BO ′＝2，∴y ＝BO －CD ＝4－1＝3，x ＝BD ＝2，∴k ＝xy ＝2×3＝6.
21.解：(1)原式＝3×33＋⎝⎛⎭⎫222－2×32＝12
.(4分) (2)原式＝32－13－2×1
－3×32＋2×22＝0.(8分) 22．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3.(4分)
(2)∠A ＝30°，∠B ＝60°，c ＝6 6.(9分)
23．解：如图，作CD ⊥AB 交AB 的延长线于D .(1分)设CD ＝x 米．在Rt △ADC 中，∠DAC ＝25°，∴tan25°＝CD AD ，∴AD ＝CD tan25°≈x 0.5
＝2x 米．(4分)在Rt △BDC 中，∠DBC ＝60°，由tan60°＝x 2x －4＝3，解得x ＝4323－1
≈2.8.(8分) 答：生命迹象所在位置C 的深度约为2.8米．(9分)
24．解：(1)∵(1－tan A )2＋⎪
⎪⎪⎪sin B －32 人教版九年级下册第二十八章 《锐角三角函数》单元练习题（含答案）
一、选择题
1.如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cos A的值等于()
A．
B．
C．
D．
2.在Rt ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()
A．4
B．2
C．
D．
3.已知∠A为锐角，且tan A＝，则∠A的取值范围是()
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
4.把Rt ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt A′B′C′，则锐角A、A′的余弦值之间的关系是()
A．cos A＝cos A′
B．cos A＝5cos A′
C．5cos A＝cos A′
D．不能确定
5.Rt ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝6 cm，那么BC等于()
A．8 cm
B．cm
C．cm
D．cm
6.在ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，则cos B的值等于()
A．
B．
C．
D．
7.在Rt ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()
A．
B．4
C．2
D．5
8.已知∠A为锐角，且sin A＜，那么∠A的取值范围是()
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜60°
C．60°＜∠A＜90°
D．30°＜∠A＜90°
分卷II
二、填空题
9.在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若ABC的面积为，则∠A＝________.
10.若tan (x＋10°)＝1，则锐角x的度数为__________．
11.在ABC中，∠C＝90°，如果tan B＝3，则cos A＝__________.
12.如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以20海里/小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船，我渔政船的航行路程是________海里．
13.如图，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100 m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高为__________，楼高为__________．
14.在Rt ABC中，∠C＝90°，且tan A＝3，则cos B的值为__________．
15.如图，将ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A 的值是__________．
16.ABC中，∠C＝90°，cos ∠A＝0.3，AB＝10，则AC＝__________.
三、解答题
17.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽？(参考数据：≈1.414，≈1.732)
18.课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦，余弦和正切函数，与此类似，在Rt ABC 中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝.
(1)若∠A＝45°，则cot 45°＝__________；若∠A＝60°，则cot 60°＝__________；
(2)探究tan A·cot A的值．
19.已知Rt ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，∠C＝90°，a：c＝2：3，求tan A 的值．
20.在Rt ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．
21.如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图(图2)，支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF 交于点E、D，现测得DE＝20厘米，DC＝40厘米，∠AED＝58°，∠ADE＝76°.
(1)求椅子的高度(即椅子的座板DF与地面MN之间的距离)(精确到1厘米)
(2)求椅子两脚B、C之间的距离(精确到1厘米)(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，sin 76°≈0.97.cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.00)
第二十八章《锐角三角函数》单元练习题
答案解析
1.【答案】D
【解析】∵在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5.
∴cos A＝＝，
故选D.
2.【答案】A
【解析】如图，
∵∠C＝90°，
∴cos B＝，
∴BC＝AB cos B＝6×＝4，
故选A.
3.【答案】C
【解析】∵tan 45°＝1，tan 60°＝，锐角的正切值随角增大而增大，又1＜＜，
∴45°＜∠A＜60°.
故选C.
4.【答案】
【解析】∵Rt ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt A′B′C′，
∴Rt ABC∽Rt A′B′C′，
∴∠A＝∠A′，
∴cos A＝cos A′.
故选A.
5.【答案】A
【解析】∵Rt ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝6 cm，
∴tan A＝＝＝，
解得BC＝8，
故选A.
6.【答案】A
【解析】设BC＝2x，
∵tan A＝，∴AC＝x，
∴AB＝3，
∴cos B＝＝，
故选A.
7.【答案】B
【解析】∵cos B＝，
∴BC＝AB·cos B＝6×＝4.
故选B.
8.【答案】A
【解析】∵∠A为锐角，且sin 30°＝，
又∵当∠A是锐角时，其正弦随角度的增大而增大，
∴0°＜A＜30°，
故选A.
9.【答案】60°
【解析】∵在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若ABC的面积为，∴S＝AC·BC＝，
∴AC＝，
∵tan A＝＝＝，
∴∠A＝60°.
10.【答案】20°
【解析】∵tan (x＋10°)＝1，
∴tan (x＋10°)＝＝，
∴x＋10°＝30°，
∴x＝20°.
11.【答案】
【解析】由tan B＝3，可以设∠B的对边是3k，邻边是k，则根据勾股定理，得斜边是k＝k，
故cos A＝.
12.【答案】30
【解析】作CD⊥AB于点D，垂足为D，
在Rt BCD中，
∵BC＝20×1.5＝30(海里)，∠CBD＝45°，
∴CD＝BC·sin 45°＝30×＝15(海里)，
则在Rt ACD中，
AC＝＝15×2＝30(海里)．
13.【答案】100m(100－100)m
【解析】设CD＝x m，则
∵CE＝BD＝100，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE·tan 45°＝100.
∴AB＝100＋x.
在Rt ADB中，
∵∠ADB＝60°，∠ABD＝90°，
∴tan 60°＝，
∴AB＝BD，即x＋100＝100，
∴x＝100－100，
即楼高100－100 m，塔高100m.
14.【答案】
【解析】解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
∵在Rt ABC中，∠C＝90°，tan A＝3，
设a＝3x，b＝x，则c＝x，
∴cos B＝＝＝.
解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．
又∵tan A＝＝3，
∴sin A＝3cos A.
又sin2A＋cos2A＝1，
∴cos A＝.
∵A、B互为余角，
∴cos B＝sin (90°－B)＝sin A＝.
15.【答案】
【解析】作BD⊥AC于点D，
∵BC＝2，AC＝＝3，点A到BC的距离为3，AB＝＝，∴＝，
即＝，
解得BD＝，
∴AD＝＝＝2，
∴tan A＝＝＝.
16.【答案】3
【解析】∵∠C＝90°，AB＝10，
∴cos A＝＝＝0.3，
∴AC＝3.
17.【答案】解不需要移栽，理由：
∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝5米，
在Rt BCD中，新坡面DC的坡度为i＝∶3，即∠CDB＝30°，
∴DC＝2BC＝10米，BD＝BC＝5米，
∴AD＝BD－AB＝(5－5)米≈3.66米，
∵2＋3.66＝5.66＜6，
∴不需要移栽．
【解析】根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB－AB求出AD的长，然后将AD＋2与6进行比较，若大于则需要移栽，反之不需要移栽．
18.【答案】解(1)由题意得：cot 45°＝1，cot 60°＝；
(2)∵tan A＝，cot A＝，
∴tan A·cot A＝·＝1.
【解析】(1)根据题目所给的信息求解即可；
(2)根据tan A＝，cotA＝，求出tan A·cot A的值即可．
19.【答案】解设a＝2k，c＝3k.
由勾股定理得b＝＝＝k.
则tan A＝＝＝.
【解析】设a＝2k，c＝3k，依据勾股定理可求得b的长度，然后依据锐角三角函数的定义解答即可．
20.【答案】解在Rt ABC中，∠B＝90°－∠A＝60°，
∵tan B＝，
∴b＝a×tan B＝5×tan 60°＝5，
由勾股定理，得c＝＝10.
【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt ABC中，∠C＝90°则∠A＝90－∠B＝60°，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．
21.【答案】解(1)如图，作DP⊥MN于点P，即∠DPC＝90°，
∵DE∥MN，
∴∠DCP＝∠ADE＝76°，
则在Rt CDP中，DP＝CD sin ∠DCP＝40×sin 76°≈39(cm)，
答：椅子的高度约为39厘米；
(2)作EQ⊥MN于点Q，
∴∠DPQ＝∠EQP＝90°，
∴DP∥EQ，
又∵DF∥MN，∠AED＝58°，∠ADE＝76°，
∴四边形DEQP是矩形，∠DCP＝∠ADE＝76°，∠EBQ＝∠AED＝58°，
∴DE＝PQ＝20，EQ＝DP＝39，
又∵CP＝CD cos ∠DCP＝40×cos 76°≈9.6(cm)，
BQ＝＝≈24.4(cm)，
∴BC＝BQ＋PQ＋CP＝24.4＋20＋9.6≈54(cm)，
答：椅子两脚B、C之间的距离约为54 cm.
【解析】(1)作DP⊥MN于点P，即∠DPC＝90°，由DE∥MN知，∠DCP＝∠ADE＝76°，根据DP＝CD sin ∠DCP可得答案；
(2)作EQ⊥MN于点Q可得四边形DEQP是矩形，知DE＝PQ＝20，EQ＝DP＝39，再分别求出BQ、CP的长可得答案．
人教版九年级数学下第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）.
一、选择题
1.如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，这时测得大树在地面的影长BC为10 m，则大树的长为()
A．5m
B．10m
C．15m
D．20m
2.如图，长为6米的梯子AB靠在墙上，梯子地面上的一端B到墙面AC的距离BC为2.4米，则梯子与地面所成的锐角α的大小大致在下列哪个范围内()
A．0°＜α＜30°
B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60°
D．60°＜α＜90°
3.如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为()
A．
B．
C．
D．不能确定
4.已知tanα＝，则锐角α的取值范围是()
A．0°＜α＜30°
B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60°
D．60°＜α＜90°
5.若规定sin (α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，则sin 15°等于() A．
B．
C．
D．
6.cosα表示的是()
A．一个角
B．一个实数
C．一个点
D．一条射线
7.四位学生用计算器求sin 62°20′的值正确的是()
A．0.8857
B．0.8856
C．0.8852
D．0.8851
8.对于锐角α，sinα的值不可能为()
A．
B．
C．
D．2
9.在ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos A＝，则AC等于()
A．18
B．2
C．
D．
10.如图，在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部C的仰角为30°，旗杆底部D的俯角为45°.已知楼高AB＝9 m，则旗杆CD的高度为()
A．(9＋) m
B．(9＋3) m
C．9m
D．12m
二、填空题
11.如图，Rt ABC中，∠C＝90°，且AC＝1，BC＝2，则sin ∠A＝____________.
12.在Rt ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b＝3a，则tan A ＝__________.
13.在Rt ABC中，∠C＝90°，2a＝c，则∠B＝________.
14.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：≈1.73)
15.如图，Rt ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若AD：CD＝4∶3，则tan B＝__________.
16.已知Rt ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠B＝__________.
17.如图，若点A的坐标为(1，)，则sin ∠1＝________.
18.在ABC中，sin B＝cos (90°－C)＝，那么ABC是__________三角形．
19.某校初三(一)班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，它们在离旗杆6米的A处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部B处的仰角为60°，如图所示，则旗杆的高度为__________米．(已知≈1.732结果精确到0.1米)
20.有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，
B之间的距离是__________海里．(结果取整数)(参考数据：≈1.73)
三、解答题
21.计算：(1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°；
(2)tan260°－2sin 30°cos 45°.
22.计算：cos245°＋cot230°.
23.某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．
24.计算：sin 45°＋cos230°＋2sin 60°.
25.小明周日在广场放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为20米，小明的身高AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度．(结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73)
26.计算：sin 45°＋sin 60°－2tan 45°.
27.如图，长方形广告牌架在楼房顶部，已知CD＝2 m，经测量得到∠CAH＝37°，∠DBH＝
60°，AB＝10 m，求GH的长．(参考数据：tan 37°≈0.75，≈1.732，结果精确到0.1 m)
28.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)1.2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米)．
答案解析
1.【答案】B
【解析】如图，作AD⊥CD于D点．
因为∠B＝30°，∠ACD＝60°，
且∠ACD＝∠B＋∠CAB，
∴∠CAB＝30°.
∴BC＝AC＝10 m，
在Rt ACD中，CD＝AC·cos 60°＝10×0.5＝5 m，
∴BD＝15.
∴在Rt ABD中，
AB＝BD÷cos 30°＝15÷＝10m.
故选B.
2.【答案】D
【解析】如图所示，在直角ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝2.4，∴cosα＝＝＝0.4，
∴∠α≈66.4°，
∴60°＜α＜90°.
故选D.
3.【答案】B
【解析】如图，连接AC，根据勾股定理可以得到AC＝AB＝，BC＝2.
∵()2＋()2＝(2)2.
∴AC2＋AB2＝BC2.
∴△CAB是等腰直角三角形．
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABC的正弦值为.
故选B.
4.【答案】C
【解析】∵tan 30°＝≈0.577，tan 45°＝1，tan 60°＝≈1.732，
又∵tanα＝＝1.2，
∴tan 45°＜tanα＜tan 60°，
∵锐角的正切值随角度的增大而增大，
∴45°＜α＜60°，
故选C.
5.【答案】D
【解析】由题意得，sin 15°＝sin (45°－30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°
＝××
＝，
故选D.
6.【答案】B
【解析】由三角函数的定义可知，三角函数是线段的比值，所以三角函数是一个实数，故选B.
7.【答案】A
【解析】本题要求熟练应用计算器，根据计算器给出的结果进行判断．
sin 62°20′≈0.8857，
故选A.
8.【答案】D
【解析】∵α是锐角，
∴sinα的取值范围是sinα＜1，
∴sinα的值不可能为2.
故选D.
9.【答案】B
【解析】∵在ABC中，∠C＝90°，
∴cos A＝，
∵cos A＝，AB＝6，
∴AC＝AB＝2，
故选B.
10.【答案】B
【解析】如图，过点A作AE⊥CD于点E，∵AE∥BD，
∴∠ADB＝∠EAD＝45°，
∴AB＝BD＝9 m.
∵AB⊥BD，ED⊥BD，AE⊥CD，AB＝BD，∴四边形ABDE是正方形，
∴AE＝BD＝AB＝DE＝9 m.
在Rt ACE中，
∵∠CAE＝30°，
∴CE＝AE·tan 30°＝9×＝3，
∴CD＝CE＋DE＝(3＋9) m.
故选B.
11.【答案】
【解析】∵∠C＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∵AC＝1，BC＝2，
∴AB＝；
∴sin ∠A＝＝＝.
12.【答案】
【解析】∵∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，∴tan A＝，
∵2b＝3a，
∴＝，
∴tan A＝＝.
13.【答案】30°
【解析】在Rt ABC中，
∵∠C＝90°，2a＝c，
∴b＝＝，
则sin ∠B＝＝，
∴∠B＝30°.
14.【答案】208
【解析】由题意可得：tan 30°＝＝＝，
解得：BD＝30，
tan 60°＝＝＝，
解得DC＝90，
故该建筑物的高度为BC＝BD＋DC＝120≈208(m)．15.【答案】
【解析】∵Rt ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，
∴∠B＝∠CAD，
∵AD：CD＝4：3，
∴tan B＝tan ∠CAD＝＝.
16.【答案】60°
【解析】∵∠C＝90°，3a＝b，
∴＝，
即tan B＝，
∴∠B＝60°.
17.【答案】
【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于点B，
∵点A的坐标为(1，) ，
∴OB＝1，AB＝，
由勾股定理，得OA＝＝2.
sin ∠1＝＝.
18.【答案】等腰
【解析】∵sin B＝cos (90°－C)＝，
即sin B＝，
∴∠B＝30°；
cos (90°－C)＝，
∴90°－∠C＝60°，
∴∠C＝30°，
∴∠C＝∠B.
∴△ABC是等腰三角形．
19.【答案】11.9
【解析】在Rt ABC中，BC＝AC×tan ∠BAC＝6×≈10.4米，10．4＋1.5＝11.9米．
20.【答案】7
【解析】由题意得：∠CAP＝30°，∠CBP＝45°，BC＝10海里，在Rt APC中，∵∠CAP＝30°，
∴AC＝＝＝10≈17.3海里，
∴AB＝AC－BC≈17.3－10≈7海里．
21.【答案】解(1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°
＝×＋1×
＝＋
＝.
(2)原式＝()2－2××
＝3－1－1
＝1.
【解析】将特殊角的三角函数值代入求解．
22.【答案】解原式＝2＋()2
＝＋3
＝.
【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
23.【答案】解作AD⊥BC于D，
∵∠EAB＝30°，AE∥BF，
∴∠FBA＝30°，又∠FBC＝75°，
∴∠ABD＝45°，又AB＝60，
∴AD＝BD＝30，
∵∠BAC＝∠BAE＋∠CAE＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠C＝60°，
在Rt ACD中，∠C＝60°，AD＝30，
则tan C＝，
∴CD＝＝10，
∴BC＝30＋10.
故该船与B港口之间的距离CB的长为30＋10海里．
【解析】作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD＝45°，得到AD＝BD＝30，求出∠C＝60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案．
24.【答案】解原式＝×＋2＋2×
＝＋＋
＝1＋.
【解析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．25.【答案】解∵在Rt CBE中，sin 60°＝，
∴CE＝BC·sin 60°＝20×≈17.3 m，
∴CD＝CE＋ED＝17.3＋1.75＝19.05≈19.1 m.
答：风筝离地面的高度是19.1 m.
【解析】先根据锐角三角函数的定义求出CE的长，再由CD＝CE＋ED即可得出结论．
26.【答案】解原式＝×＋2×－2×1
＝＋3－2
＝.
【解析】根据特殊角的三角函数值进行计算．
30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin 30°＝；cos 30°＝；tan 30°＝；
sin 45°＝；cos 45°＝；tan 45°＝1；
sin 60°＝；cos 60°＝；tan 60°＝.
27.【答案】解延长CD交AH于点E，如图所示：根据题意得CE⊥AH，
设DE＝x m，则CE＝(x＋2)m，
在Rt AEC和Rt BED中，tan 37°＝，tan 60°＝，
∴AE＝，BE＝，
∵AE－BE＝AB，
∴＝10，
即－＝10，
解得x≈5.8，
∴DE＝5.8 m，
∴GH＝CE＝CD＋DE＝2 m＋5.8 m＝7.8 m.
答：GH 的长为7.8 m.
【解析】首先构造直角三角形，设DE ＝x m ，则CE ＝(x ＋2)m ，由三角函数得出AE 和BE ，由AE ＝BE ＝AB 得出方程，解方程求出DE ，即可得出GH 的长．
28.【答案】解 由题意得，AB ⊥EB ，CD ⊥AE ，
∴∠CDA ＝∠EBA ＝90°，
∵∠E ＝30°，
∴AB ＝AE ＝8米，
∵BC ＝1.2米，
∴AC ＝AB －BC ＝6.8米，
∵∠DCA ＝90°－∠A ＝30°，
∴CD ＝AC ×cos ∠DCA ＝6.8×≈5.9米．
答：该校地下停车场的高度AC 为6.8米，限高CD 约为5.9米．
【解析】根据题意和正弦的定义求出AB 的长，根据余弦的定义求出CD 的长．
人教版数学九年级下册二十八章锐角三角函数单元检测卷
人教版数学九年级下册二十八章锐角三角函数单元检测卷
一、选择题
1.如图K －16－2，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则sin ∠AOB 的值是( D )
图K －16－2
A.32
B.23
C.21313
D.31313
2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则tanA ·tanB 的值一定( D )
A ．小于1
B ．不小于1
C ．大于1
D ．等于1
3.在△ABC 中，若⎪
⎪⎪⎪⎪⎪cosA －12＋(1－tanB)2＝0，则∠C 的度数是( C ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．105°
4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )
A ．csinA ＝a
B ．bcosB ＝c
C ．atanA ＝b
D ．ctanB ＝b
5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，则∠A 的度数为( D )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
6.2017·温州如图K －20－2，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已
知cos α＝1213
，则小车上升的高度是( A )
图K －20－2
A ．5米
B ．6米
C ．6.5米
D ．12米
7．如图K －21－3，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC ，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A 处测得信号塔下端D 的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达B 处，又测得信号塔顶端C 的仰角为45°，CD ⊥AB 于点E ，点E ，B ，A 在一条直线上，则信号塔CD 的高度为( C )
图K －21－3
A ．20 3米
B ．(20 3－8)米
C ．(20 3－28)米
D ．(20 3－20)米
8.2017·重庆B 卷如图K －22－2，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处．斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯角为20°，则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( A )
图K －22－2
A ．29.1米
B ．31.9米
C ．45.9米
D ．95.9米
9．如图K －17－6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为( A )
图K －17－6
A.13
B.2－1 C ．2－ 3 D.14
10.如图K －17－4是教学用的直角三角板，边AC 的长为30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33
，则边BC 的长为(C )
图K －17－4
A ．30 3 cm
B ．20 3 cm
C ．10 3 cm
D ．5 3 cm
二、填空题
11．如图K －16－5，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝4
5
，则sinB ＝________．
图K －16－5
[答案] 2
3
12.如图K －16－8，在▱ABCD 中，连接BD ，已知AD ⊥BD ，AB ＝4，sinA ＝3
4，则▱
ABCD 的面积是________．
图K －16－8
[答案] 3 7
14.如图K －17－8，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tanD ＝________．
图K －17－8
[答案] 2 2
15.2017·烟台在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin A
2
＝________．
[答案] 1 2
16.2017·大连如图K－22－6，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．此时，B处与灯塔P的距离为________n mile.(结果取整数，
参考数据：3≈1.7，2≈1.4)
图K－22－6
[答案] 102
三、解答题
17.如图K－16－11，小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，点B恰好落在AD边上的点F处，若AB∶BC＝4∶5.求sin∠DCF的值．
图K－16－11
解：∵AB∶BC＝4∶5，
∴设AB＝4x，则BC＝5x.
由题意，得FC＝BC＝5x，DC＝AB＝4x.
由勾股定理，得DF＝3x.
在Rt △CDF 中，∠D ＝90°，DF ＝3x ，FC ＝5x ， ∴sin ∠DCF ＝DF FC ＝3
5
.
18.如图K －17－11，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，AC ＝2，CD ＝1，记∠CAD ＝α.
(1)试写出α的三个三角函数值； (2)若∠B ＝α，求BD 的长．
图K －17－11
解： (1)∵CD ＝1，AC ＝2， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝5，
∴sin α＝CD AD ＝55，cos α＝AC AD ＝2 55，tan α＝1
2.
(2)∵∠B ＝α，∴tanB ＝tan α＝
1
2.
∵tanB ＝
AC BC
， ∴BC ＝AC tanB ＝2
1
2＝4.
∵CD ＝1，∴BD ＝BC －CD ＝3.
19．如图K －18－5，河的两岸l 1与l 2互相平行，A ，B 是l 1上的两点，C ，D 是l 2上的两点，某人在点A 处测得∠CAB ＝90°，∠DAB ＝30°，再沿AB 方向前进20 m 到达点E(点E 在线段AB 上)，测得∠DEB ＝60°，求C ，D 两点间的距离．
图K－18－5 解：
如图，过点D作l
1
的垂线，垂足为F.
∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，
∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°，
∴DE＝AE＝20 m.
在Rt△DEF中，EF＝DE·cos60°＝20×1
2
＝10(m)．
∵DF⊥AF，∴∠DFB＝90°，∴AC∥DF.
由l
1∥l
2
，可知CD∥AF，
∴四边形ACDF为矩形，
∴CD＝AF＝AE＋EF＝30 m.
答：C，D两点间的距离为30 m.
20.如图K－19－11，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)．
图K－19－11
解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图①所示．在Rt△ADC中，AC＝4.
∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，
∴AD＝1
2
AC＝2，
CD＝AC·cos30°＝4×
3
2
＝2 3.
在Rt△ABD中，tanB＝AD
BD
＝
2
BD
＝
1
8
，
∴BD＝16，
∴BC＝BD－CD＝16－2 3.
(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图②所示．∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，
tan15°＝tan∠AMD＝AD
MD
＝
2
4＋2 3
＝
1
2＋3
≈
1
2＋1.7
≈0.3.
21.2017·安徽如图K－20－11，游客在点A处坐缆车出发，沿A—B—D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600 m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．
(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，2≈1.41)
图K－20－11
解：在Rt△ABC中，∵cosα＝BC AB ，
∴BC＝AB·cosα≈600×0.26＝156(m)；
在Rt△BDF中，∵sinβ＝DF BD ，
∴DF＝BD·sinβ＝600×
2
2
＝300 2≈300×1.41＝423(m)．
又EF＝BC，
∴DE＝DF＋EF≈423＋156＝579(m)．
22.如图K－21－8，某无人机于空中A处探测到目标B，D的俯角分别是30。