厦门一中2023-2024学年度高2025届高二下学期强化限时训练03 数学试题答案

即 y = et x + (1− t ) et ，点 (a,b) 在直线 y = et x + (1− t ) et 上，可得
b = aet + (1− t ) et = (a +1− t ) et ，令 f (t ) = (a +1− t ) et ，则 f ′(t=) (a − t ) et .当
g ( x) > g (1) = e ，故 e ≥ 1 ，即 a ≥ 1 =e−1 ，即 a 的最小值为 e−1 ．
a
e
3．【答案】B【详解】若存款利率为 x ，则存款量是 kx2 ，银行支付的利息是 kx3 ，获得的贷款利息
是 0.0486kx2 ，∴银行的收益= 是 y 0.0486kx2 − kx3 (0 < x < 0.0486) ，= 则 y′ 0.0972kx − 3kx2 (0 < x < 0.0486) ，
(
x
−
x0
)
过点
A
0,
−
1 2
．则
−
1 2
−
x0
ln
= x0
(ln
x0
+ 1)
(0
−
x0
)
，即
x0
=
1 2
，则
kl2
=
ln
1 2
+1 = 1− ln 2 ，当直线 l
:
=y
kx
−
1 2
绕点
A
0,
−
1 2
在
l1
与
l2
之间旋转时，直线
l
:
=y
kx − 1 与函 2
数
y
=
f
(
x
)
在
[−1,
2]
上的图象有三个交点，故
f
′
1 2
=
cos
1 2
−
cos
1 2
=
0
，而
= f 12
2 sin
1 2
≠
0 ，所以
f
′
1 2
=
f
1 2
不成立，故
C
错误；
f ′( x=)
cos x − cos (1− x=)
sin
x
+
π 2
+
sin
1 −
x
−
π2=
f
x
+
π 2
，故
D
正确.
10.【答案】ABC【详解】根据导函数 f ′( x) 的图象，可知= f ′(a) 0= , f ′(b) 0 ，
t < a 时， f ′(t ) > 0 ， f (t ) 递增，当 t > a 时， f ′(t ) < 0 ， f (t ) 递减，所以
f (t= ) max
f= ( a )
ea ，直线 y = b 与曲线 y = f (t ) 的图象有两个交点，则
b
<
f
(t) max
= ea ，当 t < a +1时，f
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9.【答案】ABD【详解= 】 f ′( x) cos x − cos(1− x) ， f (−x)= sin (−x) + sin (1+ x)= f (1+ x) ，A 正确：
f ( x) + f (π + x) =sin x + sin (1− x) + sin (π + x) + sin (1− π − x)= sin x + sin (1− x) − sin x − sin (1− x)= 0 ，B 正确；
t =− 1 ∈[−1, 0] . 2
=
1 n
，
当n
≥
2
时， an2
= n12 <
1
n(n −1)
= 1 − n −1
1 n
，
a12
+
a22
++
a2 500
>
a12
=1，
a12
+
a22
++
a2 500
<1+
1 −
1 2
+
1 2
−
1 3
+500
=2
−
1 500
<
2 ，所以
a12
+
a22
+ +
a2 500
= 1
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
x < a 时， f ′( x) > 0, a < x < b 时， f ′( x) < 0, x > b 时， f ′( x) > 0, ∴ f (x) 在
(−∞, a) 上递增， f (x) 在 (a, b) 上递减， f (x) 在 (b, +∞) 上递增，故其大致图象 如下：则有 m < a < k < b < t, 故 m + k < a + b < t + k ，则 A 正确；又可得
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3
则
B
2
3 3
,
0,
0
、
C
(0,
2,
0
)
、
A
(0,
0,
2)
、
D
−
2
3 3
,
0,
0
，当
AQ
=
QC
，
4PD
=
DB
时，
Q
(
0,1,1)
，
P
−
3 3
,
0,
0
，
PQ
=
3 3
,1,1
，
DP
=
3 3
,
0,
0
，
所以点
D 到直线
PQ 的距离为 d
2 = DP
(t) >
0 ，当 t
>
a +1时，f
(t ) < 0 ，作出函数
f
(t)
的图象如下：当 0 < b < ea 时，直线 y = b 与 y = f (t ) 图象有两个交点.
法二：画出函数曲线 y = ex 的图象如图所示，根据直观即可判定点 (a,b) 在曲线
下方和 x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知 0 < b < ea . 5．【答案】D【详解】连接 BF, AF ，延长交抛物线于 C, D 两点，不妨 假设 A 在 B 的下方，根据对称性可知， FB, FA 与 y 轴正方向所夹的角为
k
∈
1
−
ln
2,
1 2
．
( ) 8.【答案】C【详解】= a1 1,= an+1
an an +1
n ∈ N*
，
1= an +1
1 an
+
1，即
1 an +
1
−
1 an
= 1，
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2
1
所以
an
是以
1
1 为首项，1 为公差的等差数列，得 an
= 1+ n −1 = n ，即 an
OA = OC = AB sin 60 = 4 3 × 3 = 2 .因为 AC = 2 2 ，所以 OA2 + OC2 = AC2 ，所以 OA ⊥ OC . 32
又因为 AB = AD ， O 为 BD 的中点，则 OA ⊥ BD ，同理可得 OC ⊥ BD ， 因为 OA ⊥ OC ，OA ⊥ BD ，OC BD = O ，OC 、BD ⊂ 平面 BCD ，所以 OA ⊥ 平面 BDC ，因为 OA ⊂ 平面 ABD ，所以平面 ABD ⊥ 平面 BDC ，故 A 正确；因为 OA ⊥ 平面 BDC ，OC ⊥ BD ，以 O 为原 点， OB 、 OC 、 OA 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
= 2 2 × 16
3
6
4 ，所以 PQ
与 AD
所成角的余弦值为 6 ，故 D 正确； 4
( 三、填空题：12. − 1 2
13. −∞, e2 − 2
5 14. π
3
12. 【答案】 − 1 【详解】由 g′(x) = 2x ，则 g(0) − g(−1) = 2t ⋅[0 − (−1)]= 2t ，即 2t = −1，故 2
为1 < a < k < b < t ，则1 < ab < kt ， b < a2b < kta 又导函数 f ′( x) 在 (b, +∞) 单调递增，故
( ) f ′ a2b < f ′(kta) ，所以 D 错误.
11. 【答案】ABD【详解】取 BD 中点 O ，连接 OA 、 OC ；因为 AB = 4 3 ， ∠BAD = 60 ，所以 3
f ′(= x)
ln
x
+1，当 0
<
x
<
1 e
时，
f
′(x)
<
0
；当
1 e
<
x
≤ 1时，
f
′(x)
>
0
，所以
f
(x)
在
0,
1 e
上递
减，
f
(x)
在
1 e
,1
上递增．得
f
(x)
在[−1, 2] 上的图象如下：
由于直线 l : =y
kx
−
1 2
过定点
A
0,
−
1 2
．如图连接
A，B
(1,0)
两
点作直线 l1 :=y
−
PQ ⋅ DP
2
= 1 −
PQ
3
1 2
3
= 14 ，故 C 错误；设 P (a, 0, 0) 、
21 7
3
( )
Q x, y, z ，由 CQ = λCA 得，Q(0, 2 − 2λ, 2λ ) ， PQ =
a2 + (2 − 2λ )2 + (2λ )2 =
a2
+
8 λ
所以 f ( x) =x5 − 2024, f (a) =f (−1) =−2025 .
2.【答案】C【详解】依题可知， f ′( x)= aex − 1 ≥ 0 在 (1, 2) 上恒成立，显然 a > 0 ，所以 xex ≥ 1 ，
x
a
设 g= ( x) xex , x ∈(1, 2) ，所以 g′( x) =( x +1) ex > 0 ，所以 g ( x) 在 (1, 2) 上单调递增，
−
1 2
2
+
2
，当
a
=
0
且 λ = 1 时，PQ =
2
min
2 ，故 B 正确；当 P 、Q 分别为线段 BD 、CA 的中点时，P (0, 0, 0) 、Q (0,1,1) ，
PQ
=
(0,1,1)
，AD
= − 2 33
, 0,
−2
，设
PQ
与
AD
所成的角为 θ
，= 则cosθ
PQ ⋅ AD = PQ ⋅ AD
f (b) < 1 < f (a) ，所以 B 正确；又有导函数 f ′( x) 的图象，结合
m < a < k < b < t, 知， f ′(m) > 0 ， f ′(k ) < 0 ， f ′(t ) > 0 ∴ f ′(m) ⋅ f ′(k ) ⋅ f ′(t ) < 0 ，故 C 正确；因
2 = −PF
− PF ⋅ FN − PF ⋅ FM − FM ⋅ FN ，由于 FM
=
−FN ，
2 2 2 2
2
所以 PM ⋅ PQ = −PF − PF ⋅ FN + PF ⋅ FN + FN = FN − PF= 49 − PF ，
因为 P 为双曲线上点，所以 PF = 1，且此时 P 在圆内，所以 PM ⋅ PQ ≤ 49 −1 =48 .
1 x − 1 ，过点 A 作 f= ( x)
22
x ln x (0 < x ≤ 1) 的
( ) 切线 l2 ，设切点 P
x ,y 00
．其中 y0 = x0 ln x0 ， f ′(= x)
ln x +1，则斜率= kl2
ln x0 +1 ，切线
l2 : y − x0 ln x0 =
(
ln
x0
+1)
π , 2π ，因为 p = 2 ，所= 以 BF
33
= p 1− cos π
= 4 ， AF
3
1= − cops 2π 3
4 3 ．由余弦定
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1
理，得 AB= 16 + 16 − 2× 4× 4 × cos π= 4 7 ．
9
3 33
6.【答案】A【详解】由双曲线方程知，右焦点 F (2, 0) ， M (4,3 5) 在双曲线上，因为直线 MF 的
令 y′ = 0 得：x = 0.0324 或 x = 0（舍去）.当 0 < x < 0.0324 时，y′ > 0 ；当 0.0324 < x < 0.0486 时，y′ < 0 . ∴当 x = 0.0324 时， y 取得最大值，即当存款利率为 0.0324 时，银行获得最大收益.
( ) 4.【答案】D【详解】y = ex 上任取 P t, et ，y′ = ex ，所以 y = ex 在 P 处的切线方程为 y − et= et ( x − t ) ，
( ) 方程为
3
y−0 5−0
=
x 4
− −
2 2
，整理= 得 y
3 5 ( x − 2) ，令 x = 0 ，解得 y = −3
2
5 ，所以 N 0, −3 5 ，
= 又 4 + 0 2= , 3 5 − 3 5 0 ，故 MN 的中点为 F ，所以以 MN 为直径的圆的
2
2
( ) 圆心为 F，且 MF =
答案 选择题：1~8：ACBD DADC 9.ABD 10.ABC 11.ABD 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
1.【答案】A【详解】 f ′( x) = 5x4 + 4(a +1) x3 ，又 f ′( x) 为偶函数，所以 4(a +1) =0 ，即 a = −1，
min
7. 【答案】D【详解】方程 f ( x=) kx − 1 在[−1, 2]上恰有三个根，即直线 l : =y kx − 1 与函数 y = f ( x)