2022-2023学年四川省绵阳市高一年级上册学期入学考试数学试题【含答案】

绵阳市2022级高一新生入学考试
数学 试 题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.下列运算中正确的是（ ） A. 352()x x =
B. 23a -·633a a -=
C. 2
2
1
4
-=
D. 324(2)2x x x ÷-=
2.如右图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其俯视图是（ ） A.
B.
C. D.
3.下列关系中，正确的有（ ）
①13
R ∈ ②2Q ∉③|2|N -∈ ④|2|Z -∈ A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.已知全集{}1
23456U =，，，，，，集合{}235A =，，，则集合U
A =（ ）
A.{}2,4,6
B. {}1,3,5
C.{}1,4,6
D. {}4,5,6 5.设集合{}{}1,3,5,3,6,9A B ==，则A B ⋂=（ ） A ．∅
B ．{}3
C ．{}1,5,6,9
D ．{}1,3,5,6,9
6.在平面中，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是（ ） A ．四边形是平行四边形且对角线相等B ．四边形两组对边相等 C ．四边形的对角线互相平分
D ．四边形的对角线垂直
7.小明为了测量南山公园的水湖湖面的宽度BC ，他在与水湖处于同一水平面上取一点A ，
测得湖的一端C 在A 处的正北方向，另一端B 在A 处的北偏东60︒的方向，并测得A ,C 之间的距离A C 10=m ，则湖面的宽度BC 为（ ）
.
A 103
10
m .B 20m .C 103m .D 203m
8.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，30CDB ∠=︒，23CD =，则阴影部分图形的面积为（ ）
2022年8月
A. 4π
B. 2π
C.
πD. 23
π
9.命题“x ∃∈R ，使得2320x x ++≤”的否定是（ ） A ．x ∃∈R ，使得2320x x ++> B ．x ∃∈R ，使得2320x x ++≥ C ．x ∀∈R ，都有2320x x ++≤
D ．x ∀∈R ，都有2320x x ++>
10.如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，以B 为圆心BC 为半径画弧交AD 于点E ，连接CE ，作BF ⊥CE ，垂足为F ，则tan ∠FBC 的值为（ ） A. 1
2 B.
25
C.
310
D. 13
11.已知集合2{|320}A x x x =-+=，{|15,}B x x x N =-<<∈，则满足A C B ⊂⊆≠的集合C 的个数为（ ） A ．4
B ．7
C ．8
D ．15
12.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
.0Aabc >2.40B b ac -< .930C a b c ++> .80D c a +<
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卷中的横线上） 13.因式分解：339a b ab -=____________________．
14.下列所给的对象能构成集合的是__________．(请填上所有你认为正确的序号) ①高中数学必修第一册课本上所有的难题；②高一（3）班的高个子； ③英文26个字母；④中国古代四大发明；⑤方程22x =的实数根.
15.观察下列图形，若第1个图形中阴影部分的面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为3
4
，第3个图形中阴影部分的面积为916，第4个图形中阴影部分的面积为2764
，...则第n 个图形中阴影部分的面积为_____.（用字母n 表示）
16.已知2
410a a ++=，且42321
533a ma a ma a
++=++，则m ＝ ．
三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本题满分10分）请按要求完成下列各小题： (1)请用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合； (2)请用描述法表示不等式100x ->的解集；
(3)若集合A ＝{x |x 2﹣6x +5＝0}，写出集合A 的所有子集．
18. （本题满分12分）在初三综合素质评定结束后，为了了解年级的评定情况，现对初三某班的学生进行了评定等级的调查，绘制了如下男女生等级情况折线统计图和全班等级情况扇形统计图．
(1)调查发现评定等级为合格的男生有2人，女生有1人，则全班共有多少名学生？ (2)补全女生等级评定的折线统计图．
(3)根据调查情况，该班班主任从评定等级为A 的学生中选2名学生进行交流，请用树形图或表格求出刚好选中一名男生和一名女生的概率．
19. （本题满分12分）如图，已知一次函数1y k x b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数2
k y x
=
的图象分别交于C ，D 两点，且()2,3D -，2OA =.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求C 点的坐标，根据图象指出使反比例函数值大于一次函数值的x 的取值范围.
20. （本题满分12分）已知集合{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<.
(1)求A B ；
(2)定义{}|M N x x M x N -=∈∉且，求A B -.
21. （本题满分12分）设集合11{|}{12|}A x a x a B x x x -<<<->＝
+，＝或. (1)若A B ∅＝，求实数a 的取值范围； (2)若A B B ＝，求实数a 的取值范围.
22. （本题满分12分）如图，直线3
4
y x a =
+与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线2
34
y x bx c =
++经过点A ，B ．点M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线分别交直线AB 及抛物线于点P ，N ．
(1)求点B 的坐标及抛物线的解析式；
(2)当点M 在线段OA 上运动时（不与点O ，A 重合），
①当m 为何值时，线段PN 有最大值，并求出PN 的最大值； ②求出使△BPN 为直角三角形时m 的值；
(3)若抛物线上有且只有三个点N 到直线AB 的距离是h ，请直接写出此时由点O ，B ，N ，P 构成的四边形的面积．
(参考答案）
一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A
C
C
B
A
C
D
D
D
B
D
二、填空题
13.()()3131ab ab ab +- 14.③④⑤ 15.1
3()4
n -（n 为整数） 16.
372
三、解答题：
17解：(1){}01
23456789，，，，，，，，， …………3’ (2){}|10x x >; …………6’ (3)易得A ＝{1，5}，故A 的所有子集为：∅，{1}，{5}，{1，5}．…………10’ 18.解：(1)因为合格的男生有2人，女生有1人，共计2+1=3人，
又因为评级合格的学生占6%，所以全班共有：3÷6%=50（人）；…………3’ (2)根据题意得：女生评级3A 的学生是：50×16%-3=8-3=5（人），
女生评级4A 的学生是：50×50%-10=25-10=15（人），
…………6’
（3）根据题意列表得：
123
⎧⎪
⎨⎪⎩女男女女213
⎧⎨⎩女女女23
→女女
∵共有6种等可能的结果数，其中一名男生和一名女生的共有3种， ∴选中一名男生和一名女生的概率为
1
2
． …………12’ 19.解：(1)由题意，点()2,3D -在反比例函数图象上， 故22362k k -=
∴=-所以反比例函数解析式为：6y x
-=…………2’ 一次函数过(2,0)A -，()2,3D -，代入一次函数解析式可得
1112033,23
42k b k b k b -+=⎧∴=-=-⎨
+=-⎩，所以一次函数解析式为：33
42y x =-- …………6’ (2)联立一次函数和反比例函数
332
426
3y x x y y x ⎧
=--⎪=⎧⎪∴⎨⎨-=-⎩⎪=⎪⎩
或432x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，由于C 在第二象限，故3(4,)2C - …………9’
结合图象，使反比例函数值大于一次函数值的x 的取值范围是{|40x x -<<或2}x >…12’ 20.解：(1)
{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<，
∴{}|2A B x x =≥； …………6’
(2)
{}|M N x x M x N -=∈∉且，{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<，
∴{}235A B x x x -=|≤≤≥或. …………12’
21.解：集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝{x |x <－1或x >2}，
(1)若A ∩B ＝∅，则⎩
⎪⎨⎪⎧a －1≥－1，a ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，
a ≤1.故实数a 的取值范围为{a |0≤a ≤1}. …………6’
(2)若A ∪B ＝B ，则A ⊆B .所以a ＋1≤－1或a －1≥2，解得a ≤－2或a ≥3.则实数a 的取值范围为：{a |a ≤－2或a ≥3}. …………12’ 22.解：(1)把点A 坐标代入直线表达式3
4y x a =
+， 解得：3a =-，则：直线表达式为：3
34
y x =-，令x ＝0，则：y ＝3-，
则点B 坐标为（0，3-）， …………1’ 将点B 的坐标代入二次函数表达式得：c ＝3-， 把点A 的坐标代入二次函数表达式得：3164304b ⨯+-=，解得：94
b =， 故：抛物线的解析式为：239
344
y x x =
--. …………3’ (2)①∵M （m ，0）在线段OA 上，且MN ⊥x 轴，∴点3(,3)4P m m -，239
(,3)44
N m m m --，
∴22
3393(3)(3)(2)34444PN m m m m =----=--+， …………4’
∵3
04
a =-<，∴抛物线开口向下，∴当m ＝2时，PN 有最大值是3； …………5’
②当∠BNP ＝90°时，点N 的纵坐标为3-，
把y ＝3-代入抛物线的表达式得：239
3344
m m -=
--，解得：m ＝3或0（舍去m ＝0），∴m ＝3； …………6’
当∠NBP ＝90°时，∵BN ⊥AB ，两直线垂直，其k 值相乘为1-，设：直线BN 的表达式为：4
3
y x n =-+，
把点B 的坐标代入上式，解得：n ＝3-，则：直线BN 的表达式为：4
33
y x =--， 将上式与抛物线的表达式联立并解得：11
9
m =或0（舍去m ＝0）， …………7’ 当∠BPN ＝90°时，不合题意舍去，
故：使△BPN 为直角三角形时m 的值为3或11
9； …………8’ (3)∵OA ＝4，OB ＝3，在Rt △AOB 中，tan α＝43，则：cosα＝35，sinα＝4
5
，∵PM ∥y 轴，∴∠BPN ＝
∠ABO ＝α，
若抛物线上有且只有三个点N 到直线AB 的距离是h ，
则只能出现：在AB 直线下方抛物线与过点N 的直线与抛物线有一个交点N ，在直线AB 上方的交点有两个． 当过点N 的直线与抛物线有一个交点N ，
点M 的坐标为（m ，0），设：点N 坐标为：（m ，n ），则：239
344
n m m =
--，过点N 作AB 的平行线，则点N 所在的直线表达式为：3
4y x b =
+，将点N 坐标代入， 解得：过N 点直线表达式为：33
()44
y x n m =+-，
将抛物线的表达式与上式联立并整理得：231212340x x m n --+-=， △＝14434(1234)0m n -⨯⨯-+-=，
将239344n m m =
--代入上式并整理得：2440m m -+=，解得：m ＝2，则点N 的坐标为9
(2,)2
，则：点P 坐标为3
(2,)2
-, …………10’
则：PN ＝3，∵OB ＝3，PN ∥OB ，∴四边形OBNP 为平行四边形，则点O 到直线AB 的距离等于点N 到直线AB 的距离，
即：过点O 与AB 平行的直线与抛物线的交点为另外两个N 点，即：N ′、N ″， 直线ON 的表达式为：3
4
y x =
，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：2440x x --=，解得：
2x =±N ′、N ″的横坐标分别为2+，2-
作NH ⊥AB 交直线AB 于点H ，则h ＝NH ＝NP 12sin 5
α=
，
作N P x ''⊥轴，交x 轴于点P '，则：ON P α''∠=，5
(222)sin 4
OP ON α''==+， S 四边形OBPN ＝512
625
BP h ⨯=
⨯=， …………11’ 则：662OP N OBP OBP N S S S '''∆∆''=+=+四边形，同理：626OBP N S ''''=-四边形，故：点O ，B ，N ，P 构成的四边形的面积为：6或662+或626-．
…………12’。