人教新课标版数学高二-数学选修2-1能力拓展 3-2-2 向量法在空间平行关系中的应用

能力拓展提升
一、选择题
9．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( )
A ．2
B ．－4
C ．4
D ．－2
[答案] C
[解析] ∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2
k ，
∴k ＝4，故选C.
10．如果直线l 的方向向量是a ＝(－2,0,1)，且直线l 上有一点P 不在平面α内，平面α的法向量是b ＝(2,0,4)，那么( )
A ．l ⊥α
B ．l ∥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α斜交 [答案] B
[解析] ∵a ·b ＝－4＋4＝0， ∴a ⊥b ，又∵l ⊄α，∴l ∥α. 二、解答题
11．在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，F 为PC 的中点，点E 在PD 上，且PE
ED ＝2，求证：BF ∥平面AEC .
[证明] ∵BF →＝BC →＋12CP →
＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12CD →＋32DE →
＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →，
∴BF →、AE →、AC →
共面．
又BF ⊄平面AEC ，从而BF ∥平面AEC .
12．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、M 、
N 分别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG ∥平面HMN .
[证明] 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为2，易得E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)．
∴EF →＝(0，－1,1)，EG →
＝(1,0,1)， HM →＝(0,1，－1)，HN →
＝(－1,0，－1)．
设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 、平面HMN 的法向量，
由⎩⎨⎧ m ·EF →＝0
m ·
EG →
＝0⇒⎩⎨
⎧ －y 1＋z 1＝0
x 1＋z 1＝0
，
令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)．
由⎩⎨⎧
n ·HM →＝0
n ·
HN →
＝0⇒⎩⎨
⎧
y 2－z 2＝0
－x 2－z 2＝0
.
令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)． ∴m ＝n ，即平面EFG ∥平面HMN . 13.
如图，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点．设Q 是CC 1上的点．当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系D
－xyz ，设正方体棱长为2，
则O (1,1,0)，A (2,0,0)，P (0,0,1)，B (2,2,0)，D 1(0,0,2)．
再设Q (0,2，c )，∴OA →＝(1，－1,0)，OP →＝(－1，－1,1)，BQ →
＝(－2,0，c )，BD 1→
＝(－2，－2,2)．
设平面PAO 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
n 1·OA →＝0，
n 1
·
OP →
＝0，⇒⎩⎨
⎧
x －y ＝0，
－x －y ＋z ＝0.
令x ＝1，则y ＝1，z ＝2.
∴平面PAO 的一个法向量为n 1＝(1,1,2)．
若平面D 1BQ ∥平面PAO ，那么n 1也是平面D 1BQ 的一个法向量． ∴n 1·BQ →＝0，即－2＋2c ＝0，∴c ＝1， 这时n 1·BD 1→＝－2－2＋4＝0，
故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .
14．如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 在PD 上，且PE ED ＝2 1.在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．
[证明] 以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系(如图)，
则由题设条件知，相关各点的坐标分别为A (0,0,0)，B (32a ，－1
2a,0)，C (32a ，12a,0)，D (0，a,0)，P (0,0，a )，E (0，23a ，1
3a )，
∴AE →＝(0，23a ，13a )，AC →＝(32a ，12a,0)，AP →＝(0,0，a )，PC →＝(32a ，12a ，－a )，BP →＝(－32a ，1
2a ，a )．
设点F 是棱PC 上的点，PF →＝λPC →＝(32aλ，1
2aλ，－aλ)，其中0<λ<1.
则BF →＝BP →＋PF ＝(－32a ，12a ，a )＋(32aλ，1
2aλ，－aλ) ＝(32a (λ－1)，1
2a (1＋λ)，a (1－λ))， 令BF →＝λ1AC →＋λ2AE →，
得⎩⎪⎨⎪⎧
32a (λ－1)＝3
2a λ1，
1
2a (1＋λ)＝12a λ1
＋2
3a λ2
，
a (1－λ)＝13
a λ2
.
即⎩⎪⎨⎪⎧
λ－1＝λ1，
1＋λ＝λ1
＋43
λ2，1－λ＝13λ2
.
解得λ＝12，λ1＝－12，λ2＝3
2， 即当λ＝12时，BF →＝－12AC →＋32AE →
，
即F 是PC 的中点时，BF →、AC →、AE →
共面，又BF ⊄平面AEC ， ∴当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .。