2017年天津市红桥区高考数学一模试卷(文科) 有答案

2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题
1．集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则（∁R A）∩B=（）
A．（0，+∞）B．{﹣2，﹣1，1，2}C．{﹣2，﹣1} D．{1，2}
2．“φ=”是“曲线y=sin（x+φ）关于y轴对称”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．如图所示的程序框图，输出S的值是（）
A．30 B．10 C．15 D．21
4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）
A．B．2 C．1 D．
5．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴
的交点为K ，点A 在抛物线上且，则A 点的横坐标为（ ）
A ．
B ．3
C ．
D ．4
6．已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则数列{}的前5项和为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
7．已知函数y=f （x ）的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，满足f （x ）+f （﹣x ）=0，当x ＞0时，f （x ）=1nx ﹣x +1，则函数y=f （x ）的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知函数f （x ）=，若有三个不同的实数a ，b ，c ，使得f （a ）
=f （b ）=f （c ），则a +b +c 的取值范围为（ ）
A ．（2π，2017π）
B ．（2π，2018π）
C ．（，
） D ．（π，2017π）
二、填空题
9．设i 为虚数单位，则复数
= ．
10．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：
人排队的概率是 ．
11．函数f （x ）=sin2x ﹣2
sin 2x 的最大值为 ．
12．已知圆C 的圆心为C （1，1），且经过直线x +y=4上的点P ，则周长最小的圆C 的方程是 ．
13．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延
长到点F ，使得DE=2EF ，则•的值为 ．
14．已知下列命题：
①命题：∀x ∈（0，2），3x ＞x 3的否定是：∃x ∈（0，2），3x ≤x 3； ②若f （x ）=2x ﹣2﹣x ，则∀x ∈R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）；
③若f（x）=x+，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；
④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，则S7=21；
⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．
其中真命题是．（只填写序号）
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A．
（1）求cosA的值；
（2）求c的值．
16．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．
18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，T n为{b n}的前n项和，求T2n．
19．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）．
（1）设函数g（x）=f（x）﹣b，若a=1，求函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求a的取值范围．
20．已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O 为坐标原点）面积的最大值．
2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，+∞）B．{﹣2，﹣1，1，2}C．{﹣2，﹣1} D．{1，2}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集和交集的定义，写出运算结果即可．
【解答】解：集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，
则∁R A={x|x≤0}，
所以（∁R A）∩B={﹣2，﹣1}．
故选：C．
2．“φ=”是“曲线y=sin（x+φ）关于y轴对称”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：若y=sin（x+φ）关于y轴对称，
则φ=+kπ，k∈Z，
故“φ=”是“曲线y=sin（x+φ）关于y轴对称”的充分不必要条件，
故选：A．
3．如图所示的程序框图，输出S的值是（）
A．30 B．10 C．15 D．21
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图，可得该程序的功能是利用循环计算并输出满足条件的S值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：当S=1时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=3，t=3
当S=3时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=6，t=4
当S=6时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=10，t=5
当S=15时，不满足进入循环的条件，
故输出的S值为15
故选C．
4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）
A．B．2 C．1 D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧棱PC⊥底面ABC．取AB的中点D，连接CD，PD，可得CD⊥AB，PD⊥AB．
【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧棱PC⊥底面ABC．取AB的中点D，连接CD，PD，
则CD⊥AB，PD⊥AB，
CD=，PD===．
==．
∴S
△PAB
故选：A．
5．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴
的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（）
A．B．3 C．D．4
【考点】圆锥曲线的共同特征．
【分析】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，
y0），根据|AK|=|AF|及AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，进而可求得A点坐标．
【解答】解：∵双曲线，其右焦点坐标为（3，0）．
∴抛物线C：y2=12x，准线为x=﹣3，
∴K（﹣3，0）
设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0）
∵|AK|=|AF|，又AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，
∴由BK2=AK2﹣AB2得BK2=AB2，从而y02=（x0+3）2，即12x0=（x0+3）2，
解得x0=3．
故选B．
6．已知等比数列{a n}的首项为1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{}的前5项和为（）
A．B．2 C．D．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】等比数列{a n}的首项为1，由4a1，2a2，a3成等差数列，可得2×2a2=a3+4a1，即为4a1q=a1（q2+4），解得q．再利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：等比数列{a n}的首项为1，∵4a1，2a2，a3成等差数列，
∴2×2a2=a3+4a1，∴4a1q=a1（q2+4），解得q=2．
∴a n=2n﹣1，=．
则数列{}的前5项和==．
故选：C．
7．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，满足f（x）+f（﹣x）=0，当x＞0时，f （x）=1nx﹣x+1，则函数y=f（x）的大致图象是（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据条件判断函数的奇偶性，利用特殊值的符号进行排除即可．
【解答】解：由f（x）+f（﹣x）=0得f（﹣x）=﹣f（x），即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，
当x＞0时，f（x）=1nx﹣x+1，则f（1）=ln1﹣1+1=0，f（e）=lne﹣e+1=1﹣e+1=﹣e＜0，排除B，
故选：A．
8．已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）
A．（2π，2017π）B．（2π，2018π）C．（，）D．（π，2017π）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】作出y=f（x）的函数图象，根据函数的对称性可得a+b=π，求出c的范围即可得出答案．
【解答】解：当x∈[0，π]时，f（x）=cos（x﹣）=sinx，
∴f（x）在[0，π]上关于x=对称，且f max（x）=1，
又当x∈（π，+∞）时，f（x）=log2017是增函数，
作出y=f（x）的函数图象如图所示：
令log2017=1得x=2017π，
∵f（a）=f（b）=f（c），
∴a+b=π，c∈（π，2017π），
∴a+b+c=π+c∈（2π，2018π）．
故选：B．
二、填空题
9．设i为虚数单位，则复数=﹣4﹣3i．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．
【解答】解：=，
故答案为：﹣4﹣3i．
10．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：
人排队的概率是．
【考点】互斥事件的概率加法公式．
【分析】由互斥事件的概率公式可得．
【解答】解：由表格可得至少有2人排队的概率
P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74
故答案为：0.74
11．函数f（x）=sin2x﹣2sin2x的最大值为2﹣．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】利用三角恒等变形公式，函数f（x）=2sin（2x+）﹣．
【解答】解：函数f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣2×=sin2x+=2sin（2x+）
﹣．
故答案为：2﹣．
12．已知圆C的圆心为C（1，1），且经过直线x+y=4上的点P，则周长最小的圆C的方程是（x ﹣1）2+（y﹣1）2=2．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】当半径r等于圆心C到直线x+y=4的距离时，圆C的周长最小，由此能求出周长最小的圆C的方程．
【解答】解：∵圆C的圆心为C（1，1），且经过直线x+y=4上的点P，
∴当半径r等于圆心C到直线x+y=4的距离时，圆C的周长最小，
此时r=d==，
∴周长最小的圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．
13．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延
长到点F，使得DE=2EF，则•的值为．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】可作出图形，并连接AE，得到AE⊥BC，根据条件可得出，从而，
这样带入进行数量积的运算即可求出该数量积的值．
【解答】解：如图，连接AE，则AE⊥BC；
根据条件，DE=，且DE=2EF；
∴；
∴=；
∴=
=
=
=．
故答案为：．
14．已知下列命题：
①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；
②若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；
③若f（x）=x+，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；
④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，则S7=21；
⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．
其中真命题是①②④⑤．（只填写序号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，根据含有量词的命题的否定形式判定；
②，若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），；
③，对于函数f（x）=x+，当且仅当x=1时，f（x）=1；
④，，；
⑤，若A＞B，则a＞b，⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB，．
【解答】解：对于①，命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3，正确；对于②，若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），正确；
对于③，对于函数f（x）=x+，当且仅当x=0时，f（x）=1，故错；
对于④，等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，，故正确；
对于⑤，在△ABC中，若A＞B，则a＞b⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB，故正确．
故答案为：①②④⑤
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A．
（1）求cosA的值；
（2）求c的值．
【考点】余弦定理．
【分析】（1）依题意，利用正弦定理=及二倍角的正弦即可求得cosA的值；
（2）易求sinA=，sinB=，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=，在△ABC 中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．
【解答】解：（1）∵△ABC中，a=3，b=2，B=2A，
∴由正弦定理得：=，即=，
∴cosA=；
（2）由（1）知cosA=，A∈（0，π），
∴sinA=，又B=2A，
∴cosB=cos2A=2cos2A﹣1=，B∈（0，π），
∴sinB=，
在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，
∴c===5．
16．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．
【解答】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，
由题意有30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均为整数．
由图知直线y=﹣x+P过M（4，9）时，纵截距最大．
这时P也取最大值P max=6×4+8×9=96（百元）．
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．
17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接BD，交AC于F，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）运用面面垂直的判定定理，只要证得CD⊥平面PAD，由线面垂直和矩形的定义即可得证．【解答】证明：（1）连接BD，交AC于F，
由E为棱PD的中点，F为BD的中点，
则EF∥PB，
又EF⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，
则PB∥平面EAC；
（2）由PA⊥平面PCD，
则PA⊥CD，
底面ABCD为矩形，
则CD⊥AD，
又PA∩AD=A，
则有CD⊥平面PAD，
由CD⊂平面ABCD，
则有平面PAD⊥平面ABCD．
18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，T n为{b n}的前n项和，求T2n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．可得a3=a4﹣2a2，a2q=a2（q2﹣2），解得q．进而得出a1，可得a n．
（II）n为奇数时，b n===．n为偶数时，b n=．分组求和，利用“裂
项求和”方法可得奇数项之和；利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得偶数项之和．
【解答】解：（I）∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．
∴a3=a4﹣2a2，可得a2q=a2（q2﹣2），
∴q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∴a1+a2=2a2﹣2，即a1=a2﹣2=2a1﹣2，解得a1=2．
∴a n=2n．
（II）n为奇数时，b n===．
n为偶数时，b n=．
∴T2n=++…+++…+
=++…+
=++…+．
设A=+…+，
则A=+…++，
∴A=+…+﹣=﹣，
∴A=﹣．
∴T2n=+﹣．
19．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）．
（1）设函数g（x）=f（x）﹣b，若a=1，求函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求得g（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线的方程；
（2）先求出f（x）的导函数，然后求出导函数的根，讨论a的取值范围分别求出函数的单调增区间，使（0，2）是增区间的子集即可，解不等式即可得到所求a的范围．
【解答】解：（1）函数g（x）=f（x）﹣b=﹣x3+x2，
导数为g′（x）=﹣3x2+2x，
函数g（x）在（1，g（1））处的切线斜率为﹣3+2=﹣1，
切点为（1，0），可得切线的方程为y=﹣（x﹣1），
即x+y﹣1=0；
（2）由题意，得f'（x）=﹣3x2+2ax，
令f′（x）=0，解得x=0或x=a，
当a＜0时，由f′（x）＞0，解得＜x＜0，
所以f（x）在（，0）上是增函数，与题意不符，舍去；
当a=0时，由f'（x）=﹣3x2≤0，与题意不符，舍去；
当a＞0时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜，
所以f（x）在（0，）上是增函数，
又f（x）在（0，2）上是增函数，
所以≥2，解得a≥3，
综上，a的取值范围为[3，+∞）．
20．已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O 为坐标原点）面积的最大值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），讨论直线AB的斜率为0和不为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式和二次函数的最值的求法，可得面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，e==，a 2﹣b 2=c 2，
∵点在椭圆上， ∴
，解得a=2，b=1．
∴椭圆方程为
；
（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
∵AB 的垂直平分线过点
，∴AB 的斜率k 存在．
当直线AB 的斜率k=0时，x 1=﹣x 2，y 1=y 2，
∴S △AOB =•2|x |•|y |=|x |•
=
≤•
=1，
当且仅当x 12=4﹣x 12，取得等号，
∴
时，（S △AOB ）max =1；
当直线AB 的斜率k ≠0时，设l ：y=kx +m （m ≠0）．
消去y 得：（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4=0，
由△＞0可得4k 2+1＞m 2①，
x 1+x 2=﹣
，x 1x 2=
，可得，
，
∴AB 的中点为
，
由直线的垂直关系有
，化简得1+4k 2=﹣6m ②
由①②得﹣6m ＞m 2，解得﹣6＜m ＜0，
又O （0，0）到直线y=kx +m 的距离为
，
，
=，
∵﹣6＜m＜0，∴m=﹣3时，．
由m=﹣3，∴1+4k2=18，解得；
）max=1；
即时，（S
△AOB
综上：（S
）max=1．
△AOB。