备考2019高考数学二轮复习选择填空狂练十八解三角形理

b 2 cos A
b 2 cos A 2
∵ △ABC 是锐角三角形，
0

A

π 2
∴ 0 B 2A π ，解得 π A π ，

2
6
4
0

C

π

3A

π 2
∴
3 tan A 1 ，∴ 3
3 6

1 2
tan
A

1 2
．即
a sin b
A
的值范围是

8．[2018·莆田一中]在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c ，且满足
2b cos B a cos C c cos A ，若 b 3 ，则 a c 的最大值为（ ）
A． 2 3
B．3
C． 3 2
D．9
9．[2018·重庆期中]在 △ABC
sin A sin π
6
且 cosC cosA B cos Acos B sin Asin B 6 2 ，
4
由余弦定理可得 c a2 b2 2ab cos C 1 2 2 1 2 6 2 6 2 ，故选A．
4
2
3．【答案】A
因 A ， B 0, π， A B 0, π，故 A B 或者 A B π ，所以 △ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形．
2 故选A． 10．【答案】A
【解析】 a4 b4 c4 a2 b2

2c2
a4 b4 c4 2a2c2 2b2c2 2a2b2 2a2b2 ，即 a2 b2 c2 2 2a2b2 ，


3 2
2

23
3 2

1 9

41 4
，
所以 AD 41 ，故答案是 41 ．
2
2
14．【答案】 3
【解析】b 2sin C cos A 2sin AcosC ，b cos A 2sin C cos A sin AcosC 2sin A C 2sin B
【解析】b a cos C 1 C ，sin B sin Acos C 1 sin C ，
2
2
sin A C sin Acos C cos Asin C sin Acos C 1 sin C ，
2
cos Asin C 1 sin C ， cos A 1 ， A 60 ，故选A．
18 解三角形
一、选择题
1．[2018·白城十四中]在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边为 a ， b ， c ， B 60 ， a 4 ，其面积 S 20 3 ，则 c （ ）
A．15
B．16
C．20
D． 4 21
2．[2018·东师附中]在 △ABC 中， a 1， A π ， B π ，则 c （ ）
由余弦定理 c2 a2 b2 2ab cos C ，得 a2 b2 c2 2ab cos C ，代入上式， 4a2b2 cos2 C 2a2b2 ，解得cos C 2 ，
2

C
为锐角，
A

B

C

π
，
C

π 4
，
B

3π 4

A
，
A


0,
3π 4
中，若
tan A tan B

a2 b2
，则 △ABC
的形状是（
）
A．等腰或直角三角形 C．不能确定
B．直角三角形 D．等腰三角形
10．[2018·长春150中]在 △ABC
中，内角
A，B
，C
所对的边分别为 a ， b ， c
，且
a4 b4 c4 a2 b2

2c2 ，
若 C 为锐角，则 sin B 2 sin A 的最大值为（ ）
4
8．【答案】A
【解析】 2b cos B a cos C c cos A ，则 2sin B cos B sin Acos C sin C cos A ，
所以 2sin B cos B sin A C sin B ， cos B 1 ， B π ．
2
3
又有 cos B a2 c2 b2 a2 c2 3 1 ，将式子化简得 a2 c2 3 ac ，
2ac
2ac 2
则 a c2 3 3ac 3 3a c2 ，所以 1 a c2 3 ， a c 2 3 ．故选A．
4
4
9．【答案】A
【解析】由正弦定理有
tan tan
A B

4R2 4R2
sin 2 sin 2
A B
，因
sin
A

0
，故化简可得
sin Acos A sin B cos B ，即 sin 2A sin 2B ， 所以 2A 2B 2kπ 或者 2A 2B π 2kπ ， k Z ．

5π 6
，
1 2

sin

B

π 6


3 ，∴ 2
3 l 3 3 ．故选B． 2
二、填空题
13．【答案】 41 2
【解析】在 △ABC 中，根据余弦定理，可得 cosB 32 32 42 1 ， 233 9
在 △ABD
中，根据余弦定理，可得
AD2

32
D． 36π
6．[2018·黄冈模拟]如图所示，设 A ， B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C ，
测出 AC 的距离为 50 m ， ACB 45 ， CAB 105 后，就可以计算出 A ， B 两点的距离为（ ）
A． 50 2 m
B． 50 3 m
C． 25 2 m

，
sin B
2
sin
A

sin

3π 4

A


2 sin A
5 sin A
5 ，其中 tan 1 ，故选A． 3
11．【答案】D
【解析】∵ B 2A ，∴ sin B sin 2A 2sin Acos A ，
由正弦定理得 b 2a cos A ，∴ a 1 ，∴ a sin A sin A 1 tan A ．
6．【答案】A
【解析】在 △ABC 中， AC 50 m ， ACB 45 ， CAB 105 ，即 ABC 30 ，
则由正弦定理
AB

AC
，得 AB AC sin ACB 50
2 2 50
2 m ，故选A．
sinACB sinABC
sin ABC
D． 25 2 m 2
7．[2018·长春实验]在 △ABC 中， a ， b ， c 分别是 A ， B ， C 所对的边，若 a cos C 4 c cos A ， B π ， 3
a 4 6 ，则 cos C （ ） 3
A． 1 4
B． 2 6 4
C． 2 6 4
D． 6 2 4
）
2
2 3 3 3 A． 2 , 2
3 3 B． 3, 2
1 3 2 3 C． 2 , 2
1 3 3 3 D． 2 , 2
二、填空题
13．[2018·遵义航天]在 △ABC 中， AB 3 ， AC 4 ， BC 3 ， D 为 BC 的中点，则 AD __________． 14．[2018·黄陵中学]在 △ABC 中，三个内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，若

1 2
,
3 2
D．
3 1 6 , 2
12．[2018·江南十校]在 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 A 是 B 和 C 的等差中项，
AB BC 0 ， a
3 ，则 △ABC 周长的取值范围是（
6
4
A． 6 2 2
B． 6 2 2
C． 6 2
D． 2 2
3．[2018·长春质检]在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 b a cos C 1 c ，则角 A 为 2
（）
A． 60
B．120
C． 45
D．135
4．[2018·大庆实验] △ABC 中 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c 其面积 S a2 b2 c2 ，则中 C 的大小是 4
1
2
7．【答案】D
【解析】由余弦定理知， a b2 a2 c2 4 c b2 c2 a2 ，即 b 4 ，
2ab
2bc
46
由正弦定理知 4 3 ，解得 sin A 2 ，因为 a b ，所以 A π ，
sin π sin A
2
4
3
cos C cos A B cos Acos B sin Asin B 6 2 ，故选D．
2 sin π
1 ，∴ b
sinB ， c
sinC

sin

2π 3

B

，
3
所以 △ABC 的周长为 l a b c
3 2

sinB

sin

2π 3

B


3sin

B

π 6


3， 2
又
π 2

B

2π 3
，
2π 3

B

π 6
答案与解析
一、选择题
1．【答案】C
【解析】由三角形面积公式可得 S△ABC

1 ac sin B 2

1 4 c sin 60 2

20
3，
据此可得 c 20 ．本题选择C选项．
2．【答案】A
【解析】由正弦定理
a

b
可得 b

a sin
B

1 sin
π 4

2，
sin A sin B
A． 5
B． 2 1
C． 3
D． 2
11．[2018·长沙模拟]已知锐角 △ABC 的三个内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 B 2A ，则
a sin A 的取值范围是（ ） b
A．
3 ,
6
3 2
B．
3 ,
4
3 2
C．
（）
A． 30
B． 90
C． 45
D．135
5．[2018·银川一中]已知 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 cos C 2 2 ， 3
b cos A a cos B 2 ，则 △ABC 的外接圆面积为（ ）
A． 4π
B． 8π
C． 9π
3 1 6 , 2 ，故选D．
12．【答案】B
【解析】∵ A 是 B 和 C 的等差中项，∴ 2A B C ，∴ A π ， 3
又
AB

BC

0
，则
cos π

B

0
，从而
B

π
，∴
π
Bຫໍສະໝຸດ 2π，2
2
3
3
∵
a sin A

b sin B

c sin C

b 2sin C cos A 2sin Acos C ，且 a 2 3 ，则 △ABC 面积的最大值是________．
15．[2018·江苏卷]在 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， ABC 120 ， ABC 的角平 分线交 AC 于点 D ，且 BD 1，则 4a c 的最小值为________． 16．[2018·成都七中]在锐角 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 A 、 B 、 C 成等差数 列， b 3 ，则 △ABC 面积的取值范围是__________．
2
2
4．【答案】C
【解析】∵ △ABC 中， S 1 ab sin C ， a2 b2 c2 2ab cos C ，且 S a2 b2 c2 ，
2
4
∴ 1 ab sin C 1 ab cos C ，即 tan C 1 ，则 C 45 ．故选C．
2
2
5．【答案】D
【解析】由
b cos A a cos B 2
a sin A

b sin B

c sin C

2R
，可得
sin
B
cos
A

sin
A cos
B

1 R
，
所以 sin A B 1 ，即 sinC 1 ，又 cos C＝2 2 ，所以 sin C 1 ，
R
R
3
3
所以 R 3 ，所以 △ABC 的外接圆面积为 s 4πR2 36π ．故选D．