3.第一章综合测试卷 人教A版必修二

3.第一章综合测试卷
空间几何体
(测试时间 120分钟, 满分150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 （ ）
A ．棱柱
B ．棱台
C ．圆柱
D ．圆台 2．(教材习题改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．π
D ．2π
3.正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） 2 C.
4.(2012·长春调研)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，且PD 垂直于底面ABCD ，N 为PB 中点，则三棱锥P －ANC 与四棱锥P －ABCD 的体积比为( )
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶4
D ．1∶8
5. （2013浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（ ）
A ．108cm 3
B ．100 cm 3
C ．92cm 3
D ．84cm 3.
6．（2013年高考山东卷（文））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是
（ ）
A
． B
．83 C
．8
1),3
D ．8,8
7 ．如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A,B,C 对面的字母分别为（ ） A ． D ,E ,F B ． F ,D ,E
C ． E, F ,
D D ． E, D,F
8．(2011～2012·龙岩一模)有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为(
)
A ．12πcm 2
B ．15πcm 2
C ．24πcm 2
D ．36πcm 2
9．（温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若某几何体的二视图
如图所示,则此几何体的体积是( )
C B A
A D C E
B C
10.(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A ．72π
B ．48π
C ．30π
D ．24π
11.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该
几何体的表面积是( )
A ．20＋3π
B ．24＋3π
C ．20＋4π
D ．24＋4π 12．(2012·河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知
该饰物的正视图、侧视图都是面积为
3
2
，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为( )
A. 3 B ．2 3 C ．4 3 D ．4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分,满分20分.将答案写在题中横线上）
13．(2012·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展
开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
14．(2013·郑州模拟)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
15．用相同的单位正方体搭一个几何体(如下图)，其正视图(从正面看到的图形)、俯视图(从上面看到的图形)和左视图(从左面看到的图形)分别如下：
则该几何体的体积为________．
16．已知一个圆台的下底面半径为r ，高为h ，当圆台的上底半径r ′变化时，圆台体积的变化范围是________．
三、解答题（本大题共6个小题，满分74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分12分)画出如图所示几何体的三视图．
18．(本题满分12分)
圆柱的高是8cm ，表面积是130πcm 2，求它的底面圆半径和体积．
19．(本题满分12分)如图，圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为h h h
113
， ,若将圆锥倒置后， 圆锥内水面高为h h 22，求.
20．(本题满分12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m ，高为7m ，制造这个塔顶需要多少铁板？
21．(本题满分12分)
如下图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．
22．(本题满分14分)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
3.第一章综合测试卷空间几何体答案与解析
1．解析：选D 看图即可，为圆台。

棱柱正视图为平行四边形，棱台俯视图为多边形，圆柱正视图为矩形
2．B解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πrl＋πr2＝3π，
πl ＝2πr .解得r ＝1，即直径为2.答案：2
3．D 解析：正方体边长a 为内切球的直径2r ，正方体的体对角线和外
接球的直径2R 相等,因此半径比为:r R =
4.解析：选C 设正方形ABCD 面积为S ，PD ＝h ，则体积比为 13Sh －13·12S ·12h －13·12Sh 13
Sh ＝1
4.
5. 解析：答案B 直观图为一长方体在其一角处切去一个小三棱锥，故其体
积为10081084)342
1
(31636=-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯ cm 3
6．解析：答案B 画出四棱锥直观图为正四棱锥，底面是正方形边长为2，
高为2,2182233V =⨯⨯=,1
=422
S ⨯⨯侧7．解析：选D 字母A 对面的字母分别E,字母B 对面的字母分别D,字母C 对面的字母分别F
8．答案 C 解析：由三视图可知该几何体是圆锥，S 表＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2＝π×3×5＋π×32＝24π(cm 2)，故选C.
9．解析：答案A 此图为平放的底面为梯形（正视图形状）高为1的四棱
柱，故体积为211)31(2
1
=⨯⨯+=V
10．解答:由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.
V ＝V 半球＋V 圆锥＝1
2·43π·33＋13
·π·32·4＝30π.
11.解析：选 A 根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中，正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2.故该几何体的表面积为4×5＋2×π＋2×1
2
π＝20＋3π.
12.解析：选D 依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为8×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12×1×1＝4. 13.解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为
32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26.答案：26
14．答案：43π解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其
外接球的半径为R ，则⎩⎨⎧
a 2＋
b 2＝62，
b 2＋
c 2＝52，
c 2
＋a 2
＝52
，
得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋
c 2＝43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝43π.
15．答案：6解析：由几何体的三视图知，该几何体由6个单位正方体构成． 16．答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13πr 2h ，πr 2h 解析：当r′→0时，圆台趋近于圆锥．而V
圆锥
＝1
3
πr 2h ，当r′→r 时，圆台趋近于圆柱，而圆柱V 圆柱＝πr 2h.因此，当r′变化时，圆台的体积的变化范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13πr 2h ，πr 2h .
17解：该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示．
评分提示：图形和比例都合适12分 比例不合适减去2-6分 图画错一个减4分
18解:设圆柱的底面圆半径为r cm ，
∴S 圆柱表＝2π·r ·8＋2πr 2＝130π. (4分)
∴r ＝5(cm)，即圆柱的底面圆半径为5cm. (6分)
则圆柱的体积V ＝πr 2h ＝π×52×8＝200π(cm 3
) (12分) 19．解：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比.
27
8)32(3=
=--h h
V V CD
S AB S (6分)
h h h h h V V V V 31927192719::27193
3
1
32332=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∴===∴锥水锥
水倒置后：(12分)
小结：此题若用 V V 水台=计算是比较麻烦的，因为台体的上底面半径还需用
h h 11
3
=
导出来，我们用 V V V V V 水锥空空锥，而与=-的体积之间有比例关系，可以直接求出.
20解：如图所示，连接AC 和BD 交于O ，连接SO .作SP ⊥AB ，连接OP .
在Rt △SOP 中，SO ＝7(m)，OP ＝1
2BC ＝1(m)，(4分)
所以SP ＝22(m)，(6分)
则△SAB 的面积是1
2×2×22＝22(m 2)．(10分)
所以四棱锥的侧面积是4×22＝82(m 2)， 即制造这个塔顶需要82m 2铁板．(12分)
21解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ′. 圆锥的高h ＝42－22＝23，(2分) 又∵h ′＝3，
∴h ′＝12h .∴r 2＝23－3
23
，∴r ＝1. (6分)
∴S 表面积＝2S 底＋S 侧＝2πr 2＋2πrh ′(10分) ＝2π＋2π×3＝2(1＋3)π. (12分) 22.解：(1)直观图如图所示．
(6分)
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角，且该几何体的体积是以
A 1A、A
1
D
1
、A1B1为棱的长方体的体积的
3
4
.
在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1，则AA1EB是正方形，
∴AA1＝BE＝1. (8分)
在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，∴BB1＝ 2.
∴几何体的表面积S＝S正方形AD1＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD
＋S矩形A1B1C1D1 (10分)
＝1＋2×1
2
(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2
＝7＋2(m2)．(12分)
∴几何体的体积V1＝3
4
×1×2×1＝
3
2
(m3)．
∴该几何体的表面积为(7＋2) m2，体积为3
2
m3. (14分)。