2016～2017学年度高中数学人教A必修五同步训练题库章末综合测评1及解析

章末综合测评(一)
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC 中,若sin A ＋cos A ＝7
12,则这个三角形是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形
D.等边三角形
【试题解析】 若A ≤90°,则sin A ＋cos A ≥1>7
12,∴A >90°. 【参考答案】 A
2.在△ABC 中,内角A 满足sin A ＋cos A >0,且tan A －sin A <0,则A 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，π2 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，3π4 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，3π4 【试题解析】 由sin A ＋cos A >0得2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A ＋π4>0.
∵A 是△ABC 的内角,∴0<A <3π
4. ① 又tan A <sin A ,∴π
2<A <π. ②
由①②得,π2<A <3π
4. 【参考答案】 C
3.已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a ,那么a 的取值范围为( ) 【导学号：05920080】
A.(8,10)
B.(22,10)
C.(22,10)
D.(10,8) 【试题解析】 设1,3,a 所对的角分别为∠C 、∠B 、∠A ,由余弦定理知a 2＝
12＋32－2×3cos A <12＋32＝10,
32＝1＋a 2－2×a cos B <1＋a 2, ∴22<a <10. 【参考答案】 B
4.已知圆的半径为4,a ,b ,c 为该圆的内接三角形的三边,若abc ＝162,则三角形的面积为( )
A.2 2
B.8 2
C. 2
D.22
【试题解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ＝8, ∴sin C ＝c 8,∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝162
16＝ 2. 【参考答案】 C
5.△ABC 的三内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,设向量p ＝(a ＋c ,b ),q ＝(b －a ,c －a ),若p ∥q ,则角C 的大小为( )
A.π6
B.π3
C.π2
D.2π3
【试题解析】 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0, 即c 2
－a 2
－b 2
＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2＝cos C .
∴C ＝π3.
【参考答案】 B
6.在△ABC 中,若sin B sin C ＝cos 2A
2,则下面等式一定成立的是( ) A.A ＝B B.A ＝C C.B ＝C
D.A ＝B ＝C
【试题解析】 由sin B sin C ＝cos 2A
2＝1＋cos A
2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒
cos(B －C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .
又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1,∴B －C ＝0,即B ＝C . 【参考答案】 C
7.一角槽的横断面如图1所示,四边形ADEB 是矩形,且α＝50°,β＝70°,AC ＝90 mm,BC ＝150 mm,则DE 的长等于( )
图1
A.210 mm
B.200 mm
C.198 mm
D.171 mm
【试题解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°,在△ABC 中应用余弦定理可以求出AB 的长,即为DE 的长.
【参考答案】 A
8.(2014·江西高考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c 2＝(a －b )2＋6,C ＝π
3,则△ABC 的面积是( )
A.3
B.932
C.33
2 D.
3 3
【试题解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6,∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3,∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π
3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0,即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33
2. 【参考答案】 C
9.(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC 中,sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B ),则△ABC 的形状是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
【试题解析】 由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ,
即2a 2b ＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3,∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2,∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2,∴a 2＋b 2＝c 2,∴△ABC 为直角三角形,故选D.
【参考答案】 D
10.在△ABC 中,sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ,则A ＝( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【试题解析】 由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2, ∴b 2
＋c 2
－a 2
＝－bc ,∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12,
又0°<A <180°,∴A ＝120°. 【参考答案】 C
11.在△ABC 中,A ∶B ＝1∶2,∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分,则cos A 等于( )
A.13
B.12
C.3
4 D.0
【试题解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线, ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等.
∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等. ∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2,∴AC BC ＝3
2. 由正弦定理sin B sin A ＝3
2,又∵B ＝2A , ∴sin 2A sin A ＝32,即2sin A cos A sin A ＝32,∴cos A ＝34. 【参考答案】 C
12.如图2,在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B 后,又测得C 对于山坡的斜度为45°,若CD ＝50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cos θ( )
图2
A.23＋1
B.23－1
C.3－1
D.3＋1 【试题解析】 在△ABC 中,BC ＝
AB sin ∠BAC
sin ∠ACB
＝
100sin 15°
sin(45°－15°)
＝50(6－2),
在△BCD中,sin∠BDC＝BC sin∠CBD
CD
＝50(6－2)sin 45°
50＝3－1,
又∵cos θ＝sin∠BDC,∴cos θ＝3－1.
【参考答案】 C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形,且∠C为钝角,则a2＋b2与c2的大小关系为.
【试题解析】∵cos C＝a2＋b2－c2
2ab,且∠C为钝角.
∴cos C<0,∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2<c2.
【参考答案】a2＋b2<c2
14.(2013·安徽高考)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b＋c ＝2a,3sin A＝5sin B,则角C＝.
【试题解析】由3sin A＝5sin B,得3a＝5b.又因为b＋c＝2a,
所以a＝5
3b,c＝
7
3b,
所以cos C＝a2＋b2－c2
2ab＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
5
3b
2＋b2－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
7
3b
2
2×
5
3b×b
＝－
1
2.因为C∈(0,π),所以C＝
2π
3.
【参考答案】2π3
15.在锐角△ABC中,BC＝1,B＝2A,则
AC
cos A的值等于,AC的取值范围
为.
【试题解析】设A＝θ⇒B＝2θ.
由正弦定理得
AC
sin 2θ＝
BC
sin θ,
∴
AC
2cos θ＝1⇒
AC
cos θ＝2.
由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°,
故30°<θ<45°⇒
2
2<cos θ<
3
2,
∴AC＝2cos θ∈(2,3).
【参考答案】2(2,3)
16.(2014·全国卷Ⅰ)如图3,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°,C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°;从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m,则山高MN＝m.
图3
【试题解析】根据图示,AC＝100 2 m.
在△MAC中,∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得
AC
sin 45°＝
AM
sin 60°⇒AM＝100 3 m.
在△AMN中,MN
AM＝sin 60°,
∴MN＝1003×
3
2＝150(m).
【参考答案】150
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a sin
A sin B＋b cos2A＝2a.
(1)求b a;
(2)若c2＝b2＋3a2,求B.
【解】(1)由正弦定理得,sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A,即sin B(sin2A＋
cos 2A )＝2sin A .
故sin B ＝2sin A ,所以b
a ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝
b 2＋3a 2, 得cos B ＝(1＋3)a
2c .
由(1)知b 2＝2a 2,故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝1
2,又cos B >0, 故cos B ＝2
2,所以B ＝45°.
18.(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a ＝2,cos B ＝35.
(1)若b ＝4,求sin A 的值;
(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4,求b ,c 的值. 【解】 (1)∵cos B ＝3
5>0,且0<B <π, ∴sin B ＝1－cos 2B ＝4
5. 由正弦定理得a sin A ＝b
sin B , sin A ＝a sin B b ＝2×4
5
4＝2
5. (2)∵S △ABC ＝1
2ac sin B ＝4, ∴12×2×c ×4
5
＝4,∴c ＝5. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×3
5＝17,∴b ＝17. 19.(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC 中,∠A ＝3π
4,AB ＝6,AC ＝32,点D 在BC 边上,AD ＝BD ,求AD 的长.
【解】 设△ABC 的内角∠BAC ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,
由余弦定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos ∠BAC ＝(32)2
＋62
－2×32×6×cos 3π
4
＝18＋36－(－36)＝90,
所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝10
10
, 由题设知0<B <π
4, 所以cos B ＝1－sin 2B ＝
1－110＝31010. 在△ABD 中,因为AD ＝BD ,所以∠ABD ＝∠BAD ,所以∠ADB ＝π－2B ,故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )
＝6sin B 2sin B cos B ＝3
cos B ＝10.
20.(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处,由城A 出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去,走了20千米后到达D 处,此时C 、D 间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?
【解】 如图所示,
设∠ACD ＝α,∠CDB ＝β.
在△CBD 中,由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－
17, ∴sin β＝43
7.
而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝53
14. 在△ACD 中,21sin 60°＝AD sin α, ∴AD ＝21×sin α
sin 60°＝15(千米).
所以这人还要再走15千米可到达城A .
21.(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.
(1)求角C 的大小;
(2)若b ＝2a ,△ABC 的面积为2
2sin A sin B ,求sin A 及c 的值. 【导学号：05920081】
【解】 (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0, ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0,即(2cos C ＋1)2＝0, ∴cos C ＝－2
2. 又C ∈(0,π),∴C ＝3π
4.
(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2, ∴c ＝5a ,即sin C ＝5sin A , ∴sin A ＝
15
sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ,且S △ABC ＝2
2sin A sin B , ∴12ab sin C ＝2
2sin A sin B ,
∴ab
sin A sin B sin C ＝2,由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫c sin C 2
sin C ＝2,解得c ＝1. 22.(本小题满分10分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0,π]上的单调递减区间;
(2)若△ABC 中,f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ,角A ,B ,C 所对的边分别是
a ,
b ,
c ,且C ＝60°,c ＝3,求△ABC 的面积.
【解】 (1)由题意,f (x )的最大值为m 2＋2,所以m 2＋2＝2. 又m >0,所以m ＝2,f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4.
令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π
2(k ∈Z ), 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4(k ∈Z ).
所以f (x )在[0,π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，π.
(2)设△ABC 的外接圆半径为R , 由题意,得2R ＝c sin C ＝3
sin 60°＝2 3. 化简f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ,
得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B .
由正弦定理,得2R (a ＋b )＝26ab ,a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理,得a 2＋b 2－ab ＝9, 即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②
将①式代入②,得2(ab )2－3ab －9＝0, 解得ab ＝3或ab ＝－3
2(舍去), 故S △ABC ＝12ab sin C ＝33
4.。