计算方法2_方程求根

习题2
2.1 试构造迭代收敛的公式求解下列方程：
（1）4
sin cos x x x +=
; (2)x x 24-=。

2.2 方程0123=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式： （1）211x x +=,对应迭代公式2111k
k x x +=+; （2）231x x +=，对应迭代公式3211k k x x +=+;
（3）112-=x x ,对应迭代公式1
11-=+k k x x 。

判断以上三种迭代公式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛公式求出5.10=x 附近的根到4位有效数字。

2.3 已知)(x x ϕ=在[a,b]内有一根*x ，)(x ϕ在[a,b]上一阶可微，且13)(],,[<-'∈∀x b a x ϕ，试构造一个局部收敛于*
x 的迭代公式。

2.4 设)(x ϕ在方程)(x x ϕ=根*x 的邻近有连续的一阶导数，且1)(*<'x ϕ，证明迭代公式)(1k k x x ϕ=+具有局部收敛性。

2.4 )5()(2-+=x x x αϕ，要使迭代法)(1k k x x ϕ=+局部收敛到5*=x ，
则α的取值范围是______________。

2.5 用牛顿法求方程0742)(2
3=---=x x x x f 在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。

2.6 试证用牛顿法求方程0)3()2(2=+-x x 在[1,3]内的根2*=x 是线性收敛的。

2.7 应用牛顿法于方程03
=-a x , 导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。