考点30 直线、平面平行的判定及其性质-高考全攻略之备战2019年高考数学(文)考点一遍过

（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理：
·如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
·如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.
理解以下性质定理，并能够证明：
·如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
·如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.
·垂直于同一个平面的两条直线平行.
（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
一、直线与平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行的判定定理
2．直线与平面平行的性质定理
二、平面与平面平行的判定与性质1．平面与平面平行的判定定理
2．平面与平面平行的性质定理
3．平行问题的转化关系
三、常用结论（熟记）
1．如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
2．如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线．
3．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
4．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
5．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
6．如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．
7．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．8．如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．
考向一线面平行的判定与性质
线面平行问题的常见类型及解题策略：
(1)线面平行的基本问题
①判定定理与性质定理中易忽视的条件．
②结合题意构造图形作出判断．
③举反例否定结论或反证法证明．
(3)线面平行的探索性问题
①对命题条件的探索常采用以下三种方法：
a.先猜后证，即先观察与尝试，给出条件再证明；
b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；
c.把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．
②对命题结论的探索常采用以下方法：
首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.
典例1已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.
其中正确的有________．（填序号）
【答案】④
1．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是
A．B．
C．平面D．平面
典例2 如图，四棱锥中，，
1
2
AB BC AD
==，，，分别为线段，，的中点，
与交于点，是线段上一点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
（2）如图，连接，，
∵，分别是，的中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
又∵是的中点，是的中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
又∵，
∴平面平面，
又∵平面，
∴平面.
2．如图，在四棱锥中，平面是的中点.
（1）求证:平面;
（2）求三棱锥的体积.
考向二面面平行的判定与性质
判定面面平行的常见策略：
(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).
典例 3 如图，直角梯形与梯形全等，其中，
1
1
2
AD AB CD
===，且平面
，点是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面的距离．
（2）设点到平面的距离为， 易知，
由，
得21111
sin603232
AE d CG AD DE ⨯
⨯⨯︒⨯=⨯⨯⨯⨯，
即2
sin60CG AD DE d AE ⨯⨯==⨯︒， ∵平面平面，
∴平面
与平面
3．如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，1AO ⊥底面ABCD ，
1AB AA ==
（1）证明：平面1A BD ∥平面11CD B ； （2）求三棱柱111ABD A B D -的体积．
1．已知直线,m n 和平面α，满足,m n αα⊄⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．平面α与平面β平行的条件可以是 A ．α内的一条直线与β平行 B ．α内的两条直线与β平行
C ．α内的无数条直线与β平行
D ．α内的两条相交直线分别与β平行 3．平面α与△ABC 的两边AB ，AC 分别交于点D ，
E ，且AD ︰DB =AE ︰EC ，如图，则BC 与α的位置关系是
A ．异面
B ．相交
C．平行或相交D．平行
4．下列命题中，错误的是
A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
5．如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则HG与AB的位置关系是
A．平行B．相交
C．异面D．平行和异面
6．设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是
A．，则B．，则
C．,则D．，则
7．在长方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是A．矩形B．菱形
C．平行四边形D．正方形
8．如图,正方体中,分别为棱的中点,则在平面内且与平面平行的直线
A ．有无数条
B ．有2条
C ．有1条
D ．不存在
9．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，点E 在11A B 上，且11B E =，平面α∥平面1BC E （平面α是图中的阴影平面），若平面α 平面111AA B B A F =，则AF 的长为
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．3 10．在正方体
中,
分别是棱的中点,是与
的交点,平面
与平面
相
交于,平面与平面相交于,则直线
的夹角为 A ．π
2 B ．
π6
C ．
π3
D ．0
11．如图，直三棱柱
中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边
、
、
、
、
的中点，动点在四边形的内部运动，并且始终有
平面
，则动
点的轨迹长度为
A ．
B ．
C ．2π
D ．
12．已知点S 是正三角形ABC 所在平面外一点，点D ，E ，F 分别是SA ，SB ，SC 的中点，则平面DEF 与
平面ABC 的位置关系是________．
13．如图,在长方体ABCD A B C D ''''-中，E ,F ,G ,H 分别为CC',C'D',D'D ,CD 的中点,N 是BC 的中点,点M 在
四边形EFGH 内运动,则M 满足 时,有MN //平面B'BDD'．
14．下列四个正方体图形中,
为正方体的两个顶点,分别为其所在的棱的中点,能得出AB ∥平面
的图形的序号是 ．
15．如图,已知空间四边形ABCD ,E ,F ,G ,H 分别是其四边上的点且共面,AC ∥平面EFGH ,AC =m ,BD =n ,当EFGH
是菱形时,
AE
EB
= .
16．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，
则截面的面积是________.
17．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，E 是棱1CC 的中点，F 是AB 的
中点，112AC BC AA ===,. （1）求证：CF ∥平面1AB E ； （2）求三棱锥1C AB E -的高．
18．如图,四边形ABCD 与ADEF 均为平行四边形，,,M N G 分别是,,AB AD EF 的中点.
(1)求证: BE ∥平面DMF ; (2)求证:平面BDE ∥平面MNG .
19．如图所示,斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点D ,D 1分别为AC ,A 1C 1上的点
.
(1)当
11
11
A D D C 等于何值时,BC 1∥平面A
B 1D 1? (2)若平面B
C 1
D ∥平面AB 1D 1,求AD
DC
的值.
20．如图,四边形
中,=
==分别在上,,现将四边形
沿
折起,使
.
(1)若,在折叠后的线段上是否存在一点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,说
明理由;
(2)求三棱锥的体积的最大值,并求出此时点到平面的距离.
1．（2017新课标全国Ⅰ文科）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（2016浙江文科）已知互相垂直的平面αβ， 交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则 A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l
D ．m ⊥n
3．（2018江苏节选）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．
求证：11AB A B C 平面∥．
4．（2018新课标全国Ⅲ文科）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧 CD
所在平面垂直，M 是 CD 上异于C ，D 的点．
（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．
5．（2017新课标全国Ⅱ文科）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面
ABCD ,1
,2
AB BC AD BAD ==
∠90.ABC =∠=︒ （1）证明：直线BC ∥平面PAD ;
（2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积.
6．（2016新课标全国Ⅲ文科）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，AD BC ∥，
3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．
（1）证明MN ∥平面PAB ； （2）求四面体N BCM -的体积.
7．（2016四川文科）如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC =∠P AB =90°，BC =CD =
1
2
AD .
（1）在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由； （2）证明：平面P AB ⊥平面PBD .
1．【答案】C
2．【解析】（1）取PB 中点M ,连接AM ,MN . ∵MN 是△BCP 的中位线,∴MN ∥BC ,且MN =BC . 依题意得，1
2
AD BC =∥，则有 AD MN =∥, ∴四边形AMND 是平行四边形,∴ND ∥AM, ∵ND ⊄平面PAB ,AM ⊂平面PAB , ∴ND ∥平面PAB .
3．【解析】（1）由题设知，BB 1=∥DD 1， ∴四边形11BB D D 是平行四边形， ∴11BD B D ∥.
又BD ⊄平面11CD B ，11B D ⊂平面11CD B ， ∴BD ∥平面11CD B . ∵11A D =∥11B C =∥BC ，
∴四边形11A BCD 是平行四边形， ∴11A B D C ∥.
又1A B ⊄平面11CD B ，1D C ⊂平面11CD B ， ∴1A B ∥平面11CD B . 又∵1BD A B B = ， ∴平面1A BD ∥平面11CD B . （2）∵1AO ⊥平面ABCD ，
∴1AO 是三棱柱111ABD A B D -的高．
又∵11
12
AO AC AA =
==,
∴1
1AO ==.
又∵1
12
ABD S =
=△， ∴1111
1ABD A B D ABD V S AO -=⨯=△. 【名师点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——割补法、等体积法．
①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决． ②等体积法：应用等体积法的前提是几何体的体积通过已知条件可以得到，利用等体积法可以用来求解几何体的高，特别是在求三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三棱锥的高，而通过直接计算得到高的数值．
1．【答案】A
【解析】若,m n αα⊄⊂，m n ∥，由线面平行的判定定理可得m α∥，若,m n αα⊄⊂，m α∥，则
m 与n 可以是异面直线，所以“m n ∥”是“m α∥”的充分而不必要条件，故选A.
2．【答案】D
3．【答案】D
【解析】在ABC △中，因为AD AE
DB EC
=，所以DE BC ∥，又BC ⊄平面α，DE ⊂平面α，所以BC ∥平面α，选D ． 4．【答案】C
【解析】如果两个平面平行，则位于这两个平面内的直线可能平行，可能异面． 5．【答案】A
【解析】∵E ,F 分别是AA 1,BB 1的中点,∴EF //AB ． 又AB ⊄平面EFGH ,EF ⊂平面EFGH ,∴AB //平面EFGH . 又AB ⊂平面ABCD ,平面ABCD ∩平面EFGH =GH ,∴AB //GH . 6．【答案】D
7．【答案】C 【解析】长方体中，平面
与平面平行，又经过
的平面分别交
和
于点
，根据面面平行的性质定理，得
，
同理可证，所以四边形
为平行四边形，故选C ．
8．【答案】A
【解析】如图所示,延长D 1F 交直线DC 于点P ,连接PE 并延长,交DA 的延长线于点R ,连接RD 1,交AA 1于Q ,则QD 1是平面
与平面
的交线,在平面
内,与直线QD 1平行的直线有无数条,由直线与平面平行的判定定理可知,这无数条直线与平面
都平行,故答案为A ．
9．【答案】A
【解析】因为平面α∥平面1BC E ，平面α 平面111AA B B A F =，平面1BC E 平面11AA B B BE =，
所以1∥A F BE .又1∥A E BF ，所以四边形1A
EBF 是平行四边形，所以12A E BF ==，所以1AF =. 10．【答案】D
【解析】如图所示，∵E ，F 分别是棱的中点,∴EF ∥AC ，则平面
即平面EFCA 与平面
相交于
,即直线m ；由CF ∥OE ，可得CF ∥平面OD 1E ，故平面
与平面
相交于n 时，必有
n ∥CF ，即m //n ,则直线
的夹角为0.
11．【答案】A
【解析】因为AC ,所以
平面
.取
中点N ,因为
,所以
平面
，从而平
面
平面
,即动点的轨迹为线段HF ,因此长度为4，选A ．
12．【答案】平行
13．【答案】M 在线段FH 上移动
【解析】当M 在线段FH 上移动时,有MH //DD'.而HN //BD ,∴平面MNH //平面B'BDD'. 又MN ⊂平面MNH ,∴MN //平面B'BDD'. 14．【答案】①④
【解析】对于①,该正方体的对角面∥平面得出AB ∥平面
;
对于②,直线与平面不平行; 对于③,直线与平面不平行; 对于④,直线与平面
内的直线
平行.
15．【答案】
m n
16．【答案】
9
2
【解析】在正方体1111ABCD A BC D -中，因为平面1MCD 平面111DCC D CD =，所以平面1MCD 平面11ABB A MN =，且1∥MN CD ，所以N 为AB 的中点（如图），所以该截面为等腰梯形1MNCD .
因为正方体的棱长为2，所以MN CD 1=MD 1
所以等腰梯形MNCD 1的高MH =
所以截面面积为
1
9
2
22
⨯⨯
=.
（2）∵三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥底面ABC ，11AA BB ∥，
∴1BB ⊥平面ABC ． ∵AC ⊂平面ABC ， ∴1AC BB ⊥， ∵90ACB ∠=︒， ∴AC BC ⊥，
∵11BB BC B BB =⊂ ,平面1EB C BC ⊂,平面1EBC ， ∴AC ⊥平面1EBC ， ∵1CB ⊂平面1EBC ， ∴1AC CB ⊥， ∴111111
(11)13326
A E
B
C EB C V S AC -=
⋅=⨯⨯⨯⨯=△.
∵11AE EB AB ==，
∴12
AB E S =
△∵11C AB E A EB C V V --=， ∴三棱锥1C AB E -
的高为
1133
C AB E AB E
V S -=
△. 18．【解析】(1)连接AE ,则AE 必过DF 与GN 的交点O ,
连接MO ,则MO 为ABE △的中位线, 所以BE MO ∥,
又BE ⊄平面,DMF MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .
【名师点睛】在立体几何中，常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的．在解决问题的过程中，要灵活运用平行关系的判定定理.
（
1）应用判定定理证明线面平行的步骤：
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
（2）利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤: 第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面； 第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．
19．【解析】(1)如图所示,取D 1为线段A 1C 1的中点,此时11
11
A D D C =1.
连接A 1B ,交AB 1于点O ,连接OD 1
.
(2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1,且平面A 1BC 1∩平面BC 1D =BC 1,平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1=D 1O ,得BC 1∥D 1O , ∴
11111A D AO
D C OB
=. 又平面AB 1D 1∩平面ACC 1A 1=AD 1,平面BDC 1∩平面ACC 1A 1=DC 1, ∴AD 1∥DC 1, ∴AD =D 1C 1,DC =A 1D 1, ∴
11111
D C AD OB
CD A D AO ===1.
(2)设BE x =,
∴AF =(04),x x FD <≤=6x -, 故A CDF V -=()112632x x ⨯
⨯⨯-=()
21
63
x x -+, ∴当3x =时,A CDF V -有最大值,且最大值为3,
此时1,EC AF ==3,3,FD DC ==在ACD △中,由余弦定理得cos ADC ∠=
222
2AD DC AC AD DC
+-⋅=1
2,
∴sin ADC ∠=
ADC S △=1
sin 2
DC DA ADC ⋅⋅⋅∠=,
设点F 到平面ADC 的距离为h , 由于A CDF F ACD V V --=,即3=13
ADC h S ⋅⋅△,
∴h
即点F 到平面ADC
1．【答案】A
【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 2．【答案】C
【解析】由题意知,l l αββ=∴⊂ ，,n n l β⊥∴⊥ .故选C.
【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．
3．【解析】在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．
因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．
4．【解析】（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．
因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为 CD
上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．
证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．
MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．
（2）取AD 的中点M ，连接PM ，CM ， 由1
2
AB BC AD ==
及BC ∥AD ，∠ABC =90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .
因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ， 所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD ， 因为CM ABCD ⊂底面， 所以PM ⊥CM .
设BC =x ，则CM =x ，CD =
，PM =
，PC =PD =2x .
取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ，所以.
因为△PCD 的面积为，
所以
，解得x =−2（舍去），x =2，
于是AB =BC =2，AD =4，PM =，
所以四棱锥P −ABCD 的体积
.
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型： (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
（2）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为PA 2
1
. 取BC 的中点E ，连接AE .
由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=
BE AB AE .
由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，
故1
42
BCM S =
⨯=△.
所以四面体BCM N -的体积132N BCM BCM PA V S -=
⨯⨯=
△ 【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；
（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键是找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．
7．【解析】（1）取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点. 理由如下：
(说明：取棱PD 的中点N ,则所找的点可以是直线MN 上任意一点)
（2）由已知，P A ⊥AB , P A ⊥CD ,
因为AD ∥BC,BC =12
AD ， 所以直线AB 与CD 相交，
所以P A ⊥平面ABCD .从而P A ⊥BD .
因为AD ∥BC,BC =12
AD ， 所以BC ∥MD,且BC =MD .
所以四边形BCDM 是平行四边形.
所以BM =CD =
12
AD ， 所以BD ⊥AB .
又AB ∩AP =A,
所以BD ⊥平面P AB .
又BD 平面PBD,
所以平面P AB ⊥平面PBD .
【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过平面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分.证明面面垂直时，先证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可能有哪些线
面垂直，确定要证哪些线线垂直，切忌不加思考，随便写．。