2016年高中数学选修2-3 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 导学案

课题：1。

3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
一、【学习目标】
知识目标
1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；
2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．
能力目标
1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；
2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．
情感、态度与价值观
1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．
2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．
二、【重点难点】
重点:二项式系数的性质及其应用；
难点:杨辉三角的基本性质的探索和发现.
三、【知识链接】
1、二项式定理:________________________________________________;
通
项：
;
二项式系数：______________________________________________；2、（1+x) n =________________________________________________;
四、【合作探究】
探究问题一杨辉三角的来历及规律
问题1:把( a+b)n (n=1,2,3,4,5,6)展开式的二项式系数填入课本P32的表格。

通过填表，你发现了每一行的系数有什么规律?
问题2:为了方便，可将上表改写成如下形式,表示形式的变化后你发现新的规律吗？
（a+b）1 (11)
（a+b）2…………………………………………………1 2 1
(a+b)3………………………………………………1 3 3 1
(a+b)4……………………………………………1 4 6 4 1
（a+b）
5…………………………………………1 5 10 10 5 1
（a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………
归纳小结：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点?
蕴含规律：1、项数规律
2、系数规律
3、指数规律
问题3：你能介绍杨辉三角的来历吗？
探究问题二 从函数角度分析二项式系数
问题1：( a+b) n 展开式的二项式系数
为 ，从函数角度看，
r n
C 可看成是以r 为自变量的函数f （r),令f （r)=
r n
C ，定
义域为
问题2:当n=6时，作出函数f(r)的图象如下，其图象是七个孤立
的点.你能作当n=7时函数f （r ）的图象吗？
问题3:当n=7时，函数f（r)的图象是对称的吗?对称轴在哪儿？
探究问题三通过图象归纳二项式系数的重要性质
问题1：(对称性）与首末两端“等距离"的两个二项式系数相等吗？由公式怎么表示?
问题2：(增减性与最大值) 由函数f（r）的图象知，二项式系数的前半部分是逐渐(增大，减小）的,由对称性
知它的后半部分是逐渐的.如何证明？
问题3：二项式系数在中间处取得最大值，那么
（1)当n是偶数时，中间最大的一项二项式系数是，是二项式展开式的第几项？
(2)当n是奇数时，中间最大的两项二项式系数是和，
是二项式展开式的第几项？
变式提升: 在10
+的展开式中，二项式系数最大
(1)x
为；
在11
(1)x
-的展开式中，二项式系数最大为.
探究问题四 各项二项式系数的和
问题1：（ 1+x ） n =0
n C +1n C x+2n C x 2+…+r n C x r +…+n n C x n ,
那么
0n C +1n C +2n C +…+n n C =？
问题2：试证:在（a+b ）n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和
等于偶数项的二项式系数的和.
归纳小结:取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和
时经常使用的一种 ,除此之外还有倒序相加法。

变式提升： 已知7722107
....)
21(x a x a x a a x ++++=-
则 (1) =++++++7654321a a a a a a a
（2) =+++7531a a a a
（3）
=+++6420a a a a
(4）
=+++++76210...a a a a a
五、【达标自测】
1、(a+b ）n 的各二项式系数的最大值是____________；
2、111C +311C +…+11
11C =________；
3、=+++++++++++++1
1
211101210n n n n n n
n
n n n C C C C C C C C __________; 4、证明：0n C +2n C +4
n C +…+ n
n C =2n-1 (n 是偶数） ；
5、()10
求的展开式中系数最大的项。

12x
+
六、【归纳总结】
1。

这节课我们收获那些新知识?
二项式系数的三个性质⎧⎪⎨
⎪
⎩
2。

在探究这些新知识的过程中我们用到了那些数学思想和方法?
*知识拓展*
11世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》里讨论这种形式的数表,并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图"。

故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角"。

在欧洲直到1623年以后,法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

布莱士·帕斯卡的著作T raité du triangle arithmétique(1655年）介绍了这个三角形。

帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题,影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡来称呼这个三角形。

达标自测参考答案
1. 若
n 为偶数，则2n n c ，若n 为奇数,则1122,n n n
n
c
c
-+；
2. 102；
3.
12
; 4. 略； 5. 34960T x =。